\input xmppt
\input pictex
\def\d{\partial}
\def\const{\mathord{\rm\,const\,}}
\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\half{{1\over2}}
\def\texthalf{{\textstyle\half}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\H{{\cal H}}
\def\L{{\cal L}}
\def\F{{\cal F}}
\def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}

\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }


{\bf
\centerline{Лекция~4}
\centerline{Кроссинг-симметрия и бозонное представление}
}
\bigskip
Рассмотрим модель конформной теории поля общего вида. Пусть $\{\phi_i\}$ ---
набор первичных полей размерностей $(\Delta_i,\bar\Delta_i)$ с
операторными разложениями
$$
\phi_i(x')\phi_j(x)
=\sum_k C_{ij}^k (z'-z)^{\Delta_k-\Delta_i-\Delta_j}
(\bar z'-\bar z)^{\bar\Delta_k-\bar\Delta_i-\bar\Delta_j}
(\phi_k(x)+O(z'-z,\bar z'-\bar z)).
\eqlabel\phiphiope
$$
Поймем прежде всего, как устроены члены, которые мы обозначили как
$O(z'-z,\bar z'-\bar z))$. Понятно, что они состоят из вирасоровских
потомков поля $phi_k$:
$$
\phi_k
+\sum_{p,\bar p\ne0}a_p(\Delta_i,\Delta_j;\Delta_k)
a_{\bar p}(\bar\Delta_i,\bar\Delta_j;\bar\Delta_k)
(z'-z)^{N(p)}(\bar z'-\bar z)^{N(\bar p)}
\phi_k^{p,\bar p}(x),
$$
где $p$, $\bar p$ нумеруют потомки по отношению к $L_{-n}$ и $\bar L_{-n}$
соответственно, а $N(p)$ --- уровень соответствующего потомка. Если потомки
$\phi_k^{p,\bar p}$ как-нибудь нормировать, то коэффициенты $a_p(\Delta)$
полностью определяются алгеброй Вирасоро и, в принципе, можно вычислить.
Это можно сделать, например, действуя операторами $L_n$ ($n>0$) на
левую и правую часть формального равенства
$$
\phi_{\Delta_i}(z)|\Delta_j\rangle
=\sum_p a_pz^{\Delta_k-\Delta_i-\Delta_j+N(p)}L(p)|\Delta_k\rangle
$$
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $z$ (здесь $L(p)$ ---
оператор, производящий потомок $p$ из состояния $|\Delta_k\rangle$.

Введем двойственный базис $\{\phi^i\}$ в пространстве полей:
$$
\langle\phi_i(x')\phi^j(x)\rangle
={\delta_i^j\over(z'-z)^{2\Delta_i}(\bar z'-\bar z)^{2\bar\Delta_i}},
\qquad
\phi_i(x)=\sum_j g_{ij}\phi^j(x).
\eqlabel\dual
$$
Очевидно, что
$$
\Delta_i=\Delta^i,\hbox{ а }
g_{ij}=0,\hbox{ если $\Delta_i\ne\Delta_j$.}
$$
Во многих теориях (например, в рассмотренной нами модели свободного
фермиона $c=1/2$) двойственное поле $\phi^i$ совпадает с исходным $\phi_i$.
Вообще говоря, такого совпадения может не быть. Например, в модели
свободного бозона $c=1$ двойственным к вершинному оператору
$V_\alpha(x)=\lcolon e^{i\alpha\phi(x)}\rcolon$ является оператор
$V^\alpha(x)=V_{-\alpha}(x)$.

Рассмотрим четырехточечную функцию
$$
G_{ijk}{}^l(z,\bar z)
=\langle\phi^l(\infty,\infty)\phi_k(1,1)\phi_j(z,\bar z)\phi_i(0,0)\rangle
=\langle l|\phi_k(1,1)\phi_j(z,\bar z)|i\rangle.
\eqlabel\fpfunction
$$
Вычислим теперь операторное разложение полей $j$ и $i$. Очевидно,
$$
\eqalignno{
G_{ijk}{}^l(z,\bar z)
&=\sum_{m,p,\bar p}C_{ji}^m
a_p(j,i;m)a_{\bar p}(\bar j,\bar i;\bar m)
z^{\Delta_m-\Delta_i-\Delta_j+N(p)}
\bar z^{\bar\Delta_m-\bar\Delta_i-\bar\Delta_j+N(\bar p)}
\langle l|\phi_k(1,1)|m,p\bar p\rangle
\cr
&=\sum_{m,p,\bar p} C_{km}^l C_{ji}^m
a_p(j,i;m)a_{\bar p}(\bar j,\bar i;\bar m)
b_p(k,m;l)b_{\bar p}(\bar k,\bar m;\bar l)
z^{\Delta_m-\Delta_i-\Delta_j+N(p)}
\bar z^{\bar\Delta_m-\bar\Delta_i-\bar\Delta_j+N(\bar p)},
}
$$
где коэффициенты $b_p(\Delta_k,\Delta_m;\Delta_l)$ вычисляются
непосредственно из соответствующих трехточек и тоже определяются
исключительно конформной теорией. По определению, для самих первичных
полей $a_0=b_0=1$. Мы видим, что зависимости от $z$ и $\bar z$ факторизуются
({\it голоморфная факторизация\/}):
$$
G_{ijk}{}^l(z,\bar z)=\sum_m C_{km}^l C_{ji}^m
\F_{ijk}{}^l(m;z)\bar\F_{ijk}{}^l(m;\bar z),
\eqlabel\holfact
$$
где функции
$$
\eqalign{
\F_{ijk}{}^l(m;z)
&=\sum_p a_p(j,i;m)b_p(k,m;l) z^{\Delta_m-\Delta_i-\Delta_j+N(p)},
\cr
\bar\F_{ijk}{}^l(m;\bar z)
&=\sum_{\bar p}
a_{\bar p}(\bar j,\bar i;\bar m)b_p(\bar k,\bar m;\bar l)
\bar z^{\bar\Delta_m-\bar\Delta_i-\bar\Delta_j+N(\bar p)}
}
$$
называются {\it конформными блоками}. На прошлой лекции мы уже
встречались с конформными блоками --- функциями $F_1(z)$, $2F_2(z)$.
Нам удобно нормировать конформные блоки условием
$$
\F_{ijk}{}^l(m;z)=z^{\Delta_m-\Delta_i-\Delta_j}(1+O(z)).
$$
Соотношение (\holfact) гарантирует желаемые свойства монодромии
(например, однозначность) при обходе вокруг точки $z=0$, т.~е.\
желаемые свойства взаимной локальности полей $\phi_i$ и $\phi_j$.
Каковы же свойства монодромии при обходе вокруг точки $z=1$?
Давайте рассмотрим для этого операторное разложение $\phi_k$ и $\phi_j$.
В этом случае аналогично получим
$$
G_{ijk}{}^l(z,\bar z)
=s_{ij}s_{ik}s_{jk}\sum_m C_{jk}^m C_{mi}^l
\F_{jki}{}^l(m;1-z)\bar\F_{jki}{}^l(m;1-\bar z),
\eqlabel\crossholfact
$$
где мы воспользовались преобразованием $z\to 1-z$, а $s_{ij}$ ---
множитель, равный по модулю 1, определяемый соотношением
$\phi_i\phi_j=s_{ij}\phi_j\phi_i$. Соотношения (\holfact)
и (\crossholfact) дают важное тождество, называемое {\it соотношением
кроссинг-инвариантности\/} Белавина, Полякова и Замолодчикова (1983):
$$
\sum_m C_{km}^l C_{ji}^m
\F_{ijk}{}^l(m;z)\bar\F_{ijk}{}^l(m;\bar z)
=
s_{ij}s_{ik}s_{jk}\sum_n C_{jk}^n C_{ni}^l
\F_{jki}{}^l(n;1-z)\bar\F_{jki}{}^l(n;1-\bar z)
\eqlabel\crossing
$$
Графически его можно изобразить следующим образом
$$
\sum_m
\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.8cm,0.8cm> point at 0 0
\rl 0 -0.5 , 0 0.5 \ar 0 0.09 , 0 0.1
\ar -0.6 -1.1 , -0.2 -0.7 \ln -0.2 -0.7 , 0 -0.5
\ar 0.6 -1.1 , 0.2 -0.7 \ln 0.2 -0.7 , 0 -0.5
\ar -0.6 1.1 , -0.2 0.7 \ln -0.2 0.7 , 0 0.5
\ar 0 0.5 , 0.5 1.0 \ln 0.5 1.0 , 0.6 1.1
\put{$i$} [lt] <3pt,-3pt> at 0.6 -1.1
\put{$j$} [rt] <-3pt,-3pt> at -0.6 -1.1
\put{$k$} [rB] <-3pt,3pt> at -0.6 1.1
\put{$l$} [lB] <3pt,3pt> at 0.6 1.1
\put{$m$} [lB] <3pt,-1pt> at 0 0
\endpicture
}
\quad
=\sum_n
\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.8cm,0.8cm> point at 0 0
\rl -0.5 0 , 0.5 0 \ar 0.09 0 , 0.1 0
\ar -1.1 -0.6 , -0.7 -0.2 \ln -0.7 -0.2 , -0.5 0
\ar 1.1 -0.6 , 0.7 -0.2 \ln 0.7 -0.2 , 0.5 0
\ar -1.1 0.6 , -0.7 0.2 \ln -0.7 0.2 , -0.5 0
\ar 0.5 0 , 1.0 0.5 \ln 1.0 0.5 , 1.1 0.6
\put{$i$} [lt] <3pt,-3pt> at 1.1 -0.6
\put{$j$} [rt] <-3pt,-3pt> at -1.1 -0.6
\put{$k$} [rB] <-3pt,3pt> at -1.1 0.6
\put{$l$} [lB] <3pt,3pt> at 1.1 0.6
\put{$n$} [cB] <0pt,3pt> at 0 0
\endpicture
}
$$
Если мы знаем конформные блоки, мы можем найти структурные константы
$C_{ijk}$. Действительно, из кроссинг-симметрии следует, что конформные
блоки в $s$-канале являются линейными комбинациями конформных блоков
в $t$-канале:
$$
\F_{ijk}{}^l(m;z)=\sum_n \alpha_{ijk}{}^l(m,n)\F_{kji}{}^l(n;1-z).
\eqlabel\cbcrossing
$$
Коэффициенты $\alpha(m,n)$ обычно можно найти, вычисляя разложение конформных
блоков $\F_{ijk}{}^l(m;z)$ вблизи точки $z=1$. Подставим (\cbcrossing)
в (\holfact):
$$
G_{ijk}{}^l(z,\bar z)=\sum_{m,n,n'}
C_{km}^l C_{ji}^m \alpha_{ijk}{}^l(m,n)\bar\alpha_{ijk}{}^l(m,n')
\F_{kji}{}^l(n;1-z)\bar\F_{kji}{}^l(n',1-\bar z).
$$
Из совместимости этого разложения с (\crossholfact) следует, что
$$
\sum_m C_{km}^l C_{ji}^m \alpha_{ijk}{}^l(m,n)\bar\alpha_{ijk}{}^l(m,n')
=\delta_{nn'} s_{ij}s_{ik}s_{jk} C_{in}^l C_{jk}^n.
\eqlabel\structconstequations
$$
Совместно с условиями нормировки
$$
C_{i0}^j=\delta_i^j
\quad (\phi_0(x)=1)
\eqlabel\structconstnormalization
$$
и требованием, чтобы $C_{ijk}=\sum_{k'}g_{kk'}C_{ij}^{k'}$ удовлетворял
свойству симметрии
$$
C_{ijk}=s_{ij}C_{jik}=s_{jk}C_{ikj},
$$
эти уравнения определяют структурные константы. Вообще говоря, решения
этих уравнений могут быть не единственны. Однако во многих интересных
случаях они единственны или их немного.

Рассмотрим теперь конформные блоки теории при $c<1$. В этом случае
модуль Верма алгебры Вирасоро содержит нуль-вектор на уровне $mn$, если
$$
\Delta=\Delta_{mn}=\half\alpha_{mn}(\alpha_{mn}-2\alpha_0),
\qquad
\alpha_{mn}={1-m\over2}\alpha_+ +{1-n\over2}\alpha_-
\eqlabel\deltakac
$$
({\it формула Каца\/}). Это значит, что конформные блоки соответствующих
полей представляют собой решения систем дифференциальных уравнений, а
промежуточный канал нумерует эти решения. Сейчас мы построим эти решения
явно.

Есть простой способ построить алгебру Вирасоро с $c<1$. Давайте возьмем
свободный бозон, точнее его <голоморфную часть> $\varphi(z)$ с корреляционной
функцией
$$
\langle\varphi(z')\varphi(z)\rangle=\log{R\over z'-z}.
$$
В принципе мы знаем, что к тензору-энергии импульса можно прибавлять
полную производную, хотя это и может повлиять на граничные условия.
Рассмотрим такой тензор энергии-импульса
$$
T(z)=-\half(\d\varphi)^2+i\alpha_0\d^2\varphi.
\eqlabel\modemtensor
$$
Вычислив операторное разложение $T(z')T(z)$, мы получим, что центральный
заряд изменился под действием дополнительного члена и стал равным
$$
c=1-12\alpha_0^2.
\eqlabel\modc
$$
Можно также вычислить операторные разложения $T(z')V_\alpha(z)$,
где
$$
V_\alpha(z)=\lcolon e^{i\alpha\varphi(z)}\rcolon.
\eqlabel\holvertex
$$
Мы получим, что такой вершинный оператор имеет конформную размерность
$$
\Delta_\alpha=\half\alpha(\alpha-2\alpha_0).
\eqlabel\moddim
$$
Однако это вступает в противоречие с условием, что
$\langle V_\alpha(z')V_\beta(z)\rangle$ отлично от нуля только при
$\beta=-\alpha$, так как $\Delta_{-\alpha}\ne\Delta_\alpha$. Иными
словами, теория не замыкается на сферу --- имеется особенность в точке
$z=\infty$. Заметим, что теперь
$$
\Delta_\alpha=\Delta_{2\alpha_0-\alpha}.
\eqlabel\moddualdim
$$
т.~е.\
$$
V^\alpha(z)=V_{2\alpha_0-\alpha}(z).
\eqlabel\moddual
$$
Чтобы преодолеть эту трудность можно переопределить вакуумное
состояние на бесконечности. Именно, потребовать, чтобы
$$
\langle0,\alpha_0|=\lim_{z\to\infty}\langle0|V_{-2\alpha_0}(z)z^{4\alpha_0^2}
\eqlabel\moddualvac
$$
и положить $\langle X\rangle=\langle 0,\alpha_0|X|0\rangle$. Тогда
$$
\langle V_{\alpha_N}(z_N)\ldots V_{\alpha_1}(z_1)\rangle
=\cases{
  \prod_{i<j}(z_j-z_i)^{\alpha_i\alpha_j},& если $\sum\alpha_i=2\alpha_0$,
  \cr
  0,& в противном случае.}
\eqlabel\modcorr
$$
В частности
$$
\langle V_{2\alpha_0-\alpha}(z')V_\alpha(z)\rangle
={1\over(z'-z)^{2\Delta_\alpha}}.
$$
Среди вершинных операторов можно выделить несколько специальных полей.
Во-первых, это <сопряженная единица> $V_{2\alpha_0}(z)$. Это оператор
нулевой размерности. Во-вторых, имеется два оператора
$V_\pm(z)=V_{\alpha_\pm}(z)$ размерности 1. Удобно рассмотреть
интегралы от этих полей по некоторым контурам ({\it экранирующие операторы}
$$
S_\pm=\int{dz\over2\pi i}V_\pm(z).
\eqlabel\screening
$$
Интегралы по замкнутым контурам коммутируют
с алгеброй Вирасоро:
$$
[L_n,\oint{dw\over2\pi i}\,V_\pm(w)]
=\oint{dw\over2\pi i}\,[L_n,V_\pm(w)]
=\oint{dw\over2\pi i}\,\d(z^{n+1}V_\pm(w))=0
$$
Трудность состоит в том, что устроить замкнутый контур довольно
сложно. Давайте рассмотрим состояния $|\alpha\rangle=V_\alpha(0)|0\rangle$
и фоковские модули над ними. Давайте выясним, когда интеграл
по окружности
$\int_{z_0}^{z_0e^{2\pi i}}{dz\over2\pi i}\,V_-(z)|\alpha\rangle$
является интегралом по замкнутому контуру, т.~е.\ не зависит от начальной
точки $z_0$:
$$
\eqalignno{
\int_{z_0}^{z_0e^{2\pi i}}{dz\over2\pi i}\,V_-(z)|\alpha\rangle
&=\int_{z_0}^{z_0e^{2\pi i}}{dz\over2\pi i}\,V_-(z)V_\alpha(0)|0\rangle
\cr
&=\int_{z_0}^{z_0e^{2\pi i}}{dz\over2\pi i}\,z^{\alpha\alpha_-}
:V_-(z)V_\alpha(0):|0\rangle
\cr
&=\int_{z_0}^{z_0e^{2\pi i}}{dz\over2\pi i}\,z^{\alpha\alpha_-}
(V_{\alpha+\alpha_-}(0)+O(z))|0\rangle.
\lnlabel\oneint}
$$
Очевидно, это так, когда $\alpha\alpha_-=m-1\in\Z$. Так как
$\alpha_+\alpha_-=-2$, имеем $\alpha={1-m\over2}\alpha_+=\alpha_{m1}$,
т.~е.\ когда модуль Верма имеет нуль-вектор на уровне $m$.
Легко проверить, что интеграл (\oneint) равен нулю при $m>0$.
Однако он не обязан быть равным нулю на всем фоковском модуле.
Рассмотрим простейший случай $m=1$ или $\alpha=0$. Тогда первые векторы
в фоковском модуле --- это $|0\rangle$ и
$a_{-1}|0\rangle=\d\varphi(0)|0\rangle$. Посмотрим, как действует на них
$S_-$. Фоковский модуль не имеет структуры модуля Верма, поскольку
$L_{-n}|0\rangle=0$. В то же время вектор $a_{-1}|0\rangle$ находится
как раз на уровне 1 и удовлетворяет соотношению $L_1a_{-1}|0\rangle
\sim|0\rangle$. Так или иначе, он должен выпадать из спектра физических
операторов. Посмотрим как на него действует экранирующий оператор:
$S_-a_{-1}|0\rangle\sim|\alpha_-\rangle\ne0$. Оказывается, на фоковских модулях
$\F_{m1}$ физические векторы удовлетворяют условию $S_-|v\rangle=0$.

Обобщим эту конструкцию. Рассмотрим операторы
$$
Q_\pm^{(n)}(z_0)=\int_{z_0}^{z_0e^{2\pi i}}{dz_1\over2\pi i}
\int_{z_1}^{z_1e^{2\pi i}}{dz_2\over2\pi i}
\ldots\int_{z_1}^{z_1e^{2\pi i}}{dz_n\over2\pi i}
V_\pm(z_1)V_\pm(z_2)\ldots V_\pm(z_n).
$$
Эти операторы не зависят от $z_0$, действуя на фоковское
пространство $\F_\alpha$, если
$\alpha_\pm\bigl(n\alpha+\half n(n-1)\alpha_\pm\bigr)$ --- целое число.
Легко проверить, что это имеет место на модулях с $\alpha=\alpha_{mn}$ для
$Q_-^{(n)}$ и $Q_+^{(m)}$, причем при $m,n>0$ эти операторы
действуют нулем на старших векторах. Можно нарисовать такую коммутативную
(с точностью до множителей) диаграмму:
$$
%\normalbaselines{\baselineskip 20pt \lineskip 3pt \lineskiplimit 3pt }
\def\mapleft#1{\smash{\mathop{\hbox to 25pt{\leftarrowfill}}\limits^{#1}}}
\def\mapdown#1{\Big\downarrow\rlap{$\vcenter{\hbox{$\scriptstyle#1$}}$}}
\matrix{\F_{-m\>n}&\mapleft{Q_+^{(m)}}&\F_{mn}\cr\cr
  \mapdown{Q_-^{(n)}}&&\mapdown{Q_-^{(n)}}\cr\cr
  \F_{-m\>-n}&\mapleft{Q_+^{(m)}}&\F_{m\>-n}}
$$
Обратим внимание на то, что $V_{-m\>-n}(z)=V^{mn}(z)$. В модуле
$\F_{-m\>-n}$ ($m,n>0$) имеется нуль-вектор, равный
$Q_-^{(n)}|\alpha_{-m\>n}\rangle$. Действительно,
$$
L_kQ_-^{(n)}|\alpha_{-m\>n}\rangle
=Q_-^{(n)}L_k|\alpha_{-m\>n}\rangle=0.
$$
Поэтому в модуле $\F_{-m\>-n}$ следует считать равными векторы, разность
которых есть действие $Q_-^{(n)}$ на какой-то вектор. Иными словами
в точках общего положения по $c$ имеем для неприводимого модуля алгебры
Вирасоро ($m,n>0$)
$$
\H_{m,n}^{\rm Vir}\simeq\Ker_{\F_{mn}}Q_-^{(n)}
\simeq\F_{-m\>-n}/\Im_{\F_{-m\>n}}Q_-^{(n)}.
$$
Давайте теперь рассмотрим произведение
$$
V_{m_2n_2}(z)Q_+^{(k)}(z)Q_-^{(l)}(z)V_{m_1n_1}(0)
$$
Если $z$ мало, то издалека этот оператор выглядит как потомок поля
$V_{\alpha'}(0)$ с
$\alpha'=\alpha_{m_1n_1}+\alpha_{m_2n_2}-k\alpha_+-l\alpha_-$, т.~е.\
$V_{m'n'}(0)$ с
$$
\eqalign{
m'
&=m_1+m_2-1-2k,
\cr
n'
&=n_1+n_2-1-2l.
}\eqlabel\fusion
$$
Очевидно, что $k<m_1$, $l<n_1$. Некоторая манипуляция с контурами
дает возможность увидеть, что $k<m_2$, $l<n_2$. Отсюда следует, что
$$
\eqalign{
\span
|m_1-m_2|+1\le m'\le m_1+m_2-1,
\quad
m_1+m_2-1-m'\in2\Z,
\cr
\span
|n_1-n_2|+1\le n'\le n_1+n_2-1,
\quad
n_1+n_2-1-n'\in2\Z.
}\eqlabel\genpointlimits
$$

Теперь сделаем основное утверждение. Конформные блоки модели с $c<1$
имеют вид (Фейгин, Фукс, 1983)
$$
\eqalign{
&\F_{m_1n_1,m_2n_2,m_3n_3}{}^{m_4n_4}(m,n;z)
\cr
&\quad
=
(A_{m_1n_1,m_2n_2}^{mn}A_{mn,m_3n_3}^{m_4n_4})^{-1}
\cr
&\qquad\times
\langle V_{-m_4\>-n_4}(\infty)
V_{m_3n_3}(1)Q_+^{(K-k)}(1)Q_-^{(L-l)}(1)
V_{m_2n_2}(z)Q_+^{(k)}(z)Q_-^{(l)}(z)
V_{m_1n_1}(0)\rangle,
\cr
\span
\eqalign{
K
&=\texthalf(m_1+m_2+m_3-m_4)-1,
&\quad
k
&=\texthalf(m_1+m_2-m-1),
\cr
L
&=\texthalf(n_1+n_2+n_3-n_4)-1,
&\quad
l
&=\texthalf(n_1+n_2-n-1),}
\cr
\span
A_{m_1n_1,m_2n_2}^{mn}
=\langle V(\infty)
V(1)Q_+^{(k)}(1)Q_-^{l}(1)
V(0)\rangle.
}\eqlabel\bosconfbl
$$

Действительно, легко проверить, что при $z\to0$ эти выражения
имеют вид $z^{\Delta_{mn}-\Delta_{m_1n_1}-\Delta_{m_2n_2}}
(1+O(z))$. С другой стороны, операторы $Q_\pm$ коммутируют
с алгеброй Вирасоро и не портят конформных свойств полей.
Обратите внимание, что общее число $K$ операторов $S_+$ и
общее число $L$ операторов $S_-$ не зависят от $m$ и $n$.
Это значит, что конформные блоки для разных промежуточных
состояний различаются только выбором контуров интегрирования,
но не видом подынтегрального выражения. Дело в том, что все
конформные блоки являются решениями одних и тех же дифференциальных
уравнений гипергеометрического типа, а интегралы (\bosconfbl) представляют
собой интегральные представления решений этих уравнений. Теперь вычисление
коэффициентов $\alpha$ в (\cbcrossing) сводится к перекручиванию контуров
и вычислению трехточечных корреляционных функций. Это проделали Доценко
и Фатеев в 1984~г.\ и, решив уравнения (\structconstequations)
для случая диагонального спаривания, т.~е.\ полей $\phi_{mn}(x)$ размерностей
$(\Delta_{mn},\Delta_{mn})$, нашли явно
структурные константы конформных моделей.

Особый случай составляют конформные модели с центральным зарядом
$$
c=1-6{(q-p)^2\over pq},
\qquad
p,q\in\Z,
\qquad
q>p>1.
\eqlabel\minmodccharge
$$
В этом случае $\alpha_+/\alpha_-=q/p$ --- рациональное число, поэтому
$$
\alpha_{m+p\>n+q}=\alpha_{mn}
$$
и
$$
\Delta_{mn}=\Delta_{p-m,q-n}={(qm-pn)^2-(q-p)^2\over4pq}.
\eqlabel\minmoddeg
$$
Это значит, что модуль Верма со старшим весом $\Delta_{mn}$ содержит
по крайней мере два нуль-вектора: на уровне $mn$ и на уровне
$(p-m)(q-n)$. При этом размерности $\Delta_{mn}+mn$ и $\Delta_{mn}+(p-m)(q-n)$
тоже удовлетворяют формуле Каца и соответствующие подмодули имеют
пару общих нуль-векторов. Их подмодули имеют тоже пару общих нуль-векторов
и т.~д. Эту структуру можно изобразить диаграммой:
$$
\def\clap#1{\hbox to 0pt{\hss#1\hss}}
\matrix{&&\clap{$v_0$}&&\cr
&\clap{$\swarrow$}&&\clap{$\searrow$}&\cr
\clap{$u_1$}&&&&\clap{$u'_1$}\cr
\clap{$\downarrow$}&&\clap{$\rlap{$\swarrow$}\searrow$}&&\clap{$\downarrow$}\cr
\clap{$u_2$}&&&&\clap{$u'_2$}\cr
\clap{$\downarrow$}&&\clap{$\rlap{$\swarrow$}\searrow$}&&\clap{$\downarrow$}\cr
\clap{$u_3$}&&&&\clap{$u'_3$}\cr
\clap{$\downarrow$}&&\clap{$\rlap{$\swarrow$}\searrow$}&&\clap{$\downarrow$}\cr
&&\clap{$\ldots$}
}
$$
Заметим, что структурные константы инвариантны по отношению к
замене $(m,n)\to(p-m,q-n)$ в любом из трех индексов, поскольку
они зависят только от конформных размерностей. Это значит, что
можно выполнить следующую редукцию: отождествить поля $\phi_{mn}(x)$
и $\phi_{p-m\>q-n}(x)$. В этом случае операторные разложения
замыкаются в области
$$
1\le m\le p-1,
\quad
1\le n\le q-1.
\eqlabel\mndomain
$$
Ниже мы будем писать первичные поля в виде таблицы:
$$
\matrix{\phi_{1\>q-1}&\phi_{2\>q-1}&\ldots&\phi_{p-1\>q-1}\cr
\cdot&\cdot&&\cdot\cr
\cdot&\cdot&&\cdot\cr
\cdot&\cdot&&\cdot\cr
\phi_{1\>2}&\phi_{2\>2}&\ldots&\phi_{p-1\>2}\cr
\phi_{1\>1}&\phi_{2\>1}&\ldots&\phi_{p-1\>1}}
$$
При этом правило слияния (\genpointlimits) меняется:
$$
\eqalign{
\span
|m_1-m_2|+1\le m'\le m_1+m_2-1,2p-m_1-m_2-1,
\cr
\span
|n_1-n_2|+1\le n'\le n_1+n_2-1,2q-n_1-n_2-1.
}\eqlabel\minpointlimits
$$
Таким образом, минимальные модели содержат конечное число первичных
полей $\lceil pq/2 \rceil$. Особую роль играют теории с $q=p+1$, $p\ge2$:
$$
c=1-{6\over p(p+1)}.
\eqlabel\cunit
$$
Дело в том, что это унитарные теории, не содержащие полей
отрицательных конформных размерностей. Нормируем состояние
$|\Delta\rangle$ условием $\langle\Delta|\Delta\rangle=1$.
Тогда норма состояния $L_{-1}|\Delta\rangle$ равна
$$
\langle\Delta|L_1L_{-1}|\Delta\rangle=2\langle\Delta|L_0|\Delta\rangle
=2\Delta.
$$
Таким образом, необходимым условием унитарности представления
является положительность размерностей.

Унитарная теория с $p=2$ имеет центральный заряд $c=0$ и содержит
только одно первичное поле (и вообще только одно поле)~1. Это
<пустая> теория. В случае $p=3$ центральный заряд равен $c=1/2$ и
мы имеем модель свободного фермиона. Таблица первичных полей и таблица
размерностей имеют вид
$$
\def\normalbaselines{\baselineskip 16pt \lineskip 3pt \lineskiplimit 3pt }
\matrix{\varepsilon&1\cr
\sigma&\sigma\cr
1&\varepsilon}
\qquad\qquad
\matrix{1\over2&0\cr
1\over16&1\over16\cr
0&1\over2}
$$
Следующая теория $p=4$ имеет центральный заряд $c=7/10$ и таблицу размерностей
$$
\def\normalbaselines{\baselineskip 16pt \lineskip 3pt \lineskiplimit 3pt }
\matrix{3\over2&7\over16&0\cr
3\over5&3\over80&1\over10\cr
1\over10&3\over80&3\over5\cr
0&7\over16&3\over2}
$$

Что есть классический предел конформных теорий? Давайте перенормируем
алгебру Вирасоро:
$$
\tilde L_n=\lambda L_n.
$$
Тогда
$$
[\tilde L_m,\tilde L_n]=\lambda(m-n)L_{m+n}
+{\lambda^2c\over12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0}.
$$
Если $\lambda\to0$, можно заменить коммутатор скобкой Пуассона.
Однако сам по себе этот предел ничего не меняет в теории.
Давайте устремим $\lambda$ к нулю так, чтобы остались конечными
оба члена в коммутаторе. Иными словами, пусть произведение $\lambda c$ в этом
пределе остается конечным. Поскольку в нашем классе моделей $c<1$,
мы будем считать, что
$$
c\to-\infty
\eqlabel\wkblimit
$$
и будем удерживать $\lambda c=-1$.
Определим скобку Пуассона как
$$
\{F,G\}_{PB}=\lim_{\lambda\to0}{i\over\lambda}[F,G],
$$
т.~е.\ $\lambda=\hbar$. Тогда
$$
\{\tilde L_m,\tilde L_n\}_{PB}=i(m-n)\tilde L_{m+n}
-im(m^2-1)\delta_{m+n,0}.
\eqlabel\wkbvirasoro
$$
Мы видим, что классический предел нельзя осуществить по унитарным
моделям, для которых $c>0$. В классическом пределе $\alpha_0\to\infty$,
так что $\alpha_+\simeq2\alpha_0\to\infty$, $\alpha_-\simeq-\alpha_0^{-1}\to0$.
Поля $\phi_{mn}$ имеют в этом пределе размерности
$$
\Delta_{mn}={|c|(m^2-1)\over24}-{n-1\over2}.
$$
Это значит, что состояния с $m>1$ следует исключить из классического
спектра.

\end
