% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\sqr{\mathop\square\nolimits}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\Pl{{\text{Pl}}}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\e{{\rm e}}
\def\i{{\rm i}}
\def\cA{{\mathcal A}}
\def\cB{{\mathcal B}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cI{{\mathcal I}}
\def\cJ{{\mathcal J}}
\def\cK{{\mathcal K}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cR{{\mathcal R}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cT{{\mathcal T}}

\def\boldk{{\boldsymbol k}}
\def\boldn{{\boldsymbol n}}
\def\boldp{{\boldsymbol p}}
\def\boldr{{\boldsymbol r}}
\def\boldv{{\boldsymbol v}}
\def\boldA{{\boldsymbol A}}
\def\boldE{{\boldsymbol E}}
\def\boldH{{\boldsymbol H}}
\def\boldP{{\boldsymbol P}}
\def\boldR{{\boldsymbol R}}
\def\boldS{{\boldsymbol S}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\begin{document}

\title[Лекция 5. Поля в гравитационном поле.]{Лекция 5. Поля в гравитационном поле. Тензор энергии"=импульса}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Лагранжево описание теории поля}

\vspace{-5pt}
Пусть $\phi^r(x)$ ($r=1,\ldots,N$) "--- набор вещественных полей. Рассмотрим теорию с действием
\eq$$
S[\phi]=\int d^dx\,\cL(\phi,\d_\bullet\phi),
\label{S[phi]-general}
$$
где функция $\cL(\phi,\d_\bullet\phi)$ поля и его производных называется \emph{плотностью лагранжиана}.
\pause
Уравнение движения имеет вид
\eq$$
{\d\cL\over\d\phi^r}-\d_\mu{\d\cL\over\d(\d_\mu\phi^r)}=0.
\label{eqmov-general}
$$
\pause

Простой \emph{пример:} $N=1$ и
\eq$$
S[\phi]={1\over2}\int d^{d-1}x\left(\eta^{\mu\nu}\d_\mu\phi\,\d_\nu\phi-\omega_0^2\phi^2\right).
\label{S-KG}
$$
\pause
Соответствующее уравнение движения
\eq$$
\eta^{\mu\nu}\d_\mu\d_\nu\phi+\omega_0^2\phi=0
\label{eqmov-KG}
$$
называется \emph{уравнением Клейна"--~Г\'{о}рдона}.
\pause
Подставляя
$$
\phi_{k,\alpha}(x)=\Re\e^{\i kx+\i\alpha},
$$
легко находим
\eq$$
k^2=\omega_0^2\quad\Leftrightarrow\quad k^0=\varepsilon\omega_\boldk\equiv\varepsilon\sqrt{\omega_0^2+\boldk^2},
\quad
\varepsilon=\pm.
\label{KG-dispersion}
$$
\pause
Общее решение является линейной комбинацией плоских волн с различными $\boldk$, знаками $\varepsilon$ и значениями фазы, например, $\alpha=0,{\pi\over2}$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Трансляционная инвариантность. Канонический тензор энергии"=импульса}

В плоском пространстве"=времени плотность лагранжиана $\cL$ для фундаментальный полей не зависит от координат.
\pause

Изучим изменение действия при \emph{сдвигах} $x=x'+\xi$, $\xi=\const$:
\eq$$
0=\delta_\xi S
=\int_Ud^dx\left({\d\cL\over\d\phi}\delta_\xi\phi+{\d\cL\over\d\phi_{,\lambda}}\delta_\xi\phi_{,\lambda}\right)
-\int_Ud^dx\,\xi^\mu\d_\mu\cL.
\label{deltaS-sr}
$$
\pause
Имеем для производных Ли по постоянным векторам
$$
\delta_\xi\phi=\xi^\mu\phi_{,\mu},
\qquad
\delta_\xi\phi_{,\lambda}=\xi^\mu\phi_{,\lambda\mu}.
$$
\pause
Перегруппируя слагаемые, получаем
\eq$$
0=\delta_\xi S
=\int_Ud^dx\,\xi^\mu\phi_{,\mu}\left({\d\cL\over\d\phi}-\d_\lambda{\d\cL\over\d\phi_{,\lambda}}\right)
+\xi^\mu\int_Ud^dx\,\d_\lambda T_\mu{}^\lambda,
\label{deltaS-sr-fin}
$$
\pause
где
\eq$$
T_\mu{}^\nu=\d_\mu\phi^r\,{\d\cL\over\d(\d_\nu\phi^r)}-\delta_\mu^\nu\cL+\d_\lambda f_\mu{}^{\nu\lambda},
\qquad
f_\mu{}^{\nu\lambda}=-f_\mu{}^{\lambda\nu},
\label{Tmunu-def}
$$
называется \emph{каноническим тензором энергии"=импульса}.
\pause
Добавка $f_\mu{}^{\nu\lambda}$ выбирается так, чтобы тензор $T^{\mu\nu}=\eta^{\mu\lambda}T_\lambda{}^\nu$ был симметричен:
\eq$$
T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}.
\label{Tmunu-symm}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Законы сохранения импульса и момента импульса}

Из (\ref{deltaS-sr-fin}) следует, что на решениях уравнений движения
\eq$$
\d_\nu T^{\mu\nu}=0.
\label{Tmunu-continuity}
$$
\pause
Отсюда величина
\eq$$
P^\mu=\int_Sdf_\nu\,T^{\mu\nu},
\label{Pmu-Tmunu}
$$
где интеграл берется по пространственноподобной поверхности $S$ не зависит от $S$.
\pause
Если взять поверхность $x^0=t$, то
\eq$$
\dot P^\mu\equiv{dP^\mu\over dt}=0.
\label{Pmu-conservation}
$$
\pause
\emph{Момент импульса}
\eq$$
J^{\mu\nu}=\int_Sdf_\lambda\,(x^\mu T^{\nu\lambda}-x^\nu T^{\mu\lambda}).
\label{Jmunu-Tmunu}
$$
также не зависит от поверхности $S$, если тензор энергии"=импульса симметризуем.
\pause
Если выбрать поверхность $x^0=t$, получаем закон сохранения
\eq$$
\dot J^{\mu\nu}=0.
\label{Jmunu-conserv}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Смысл компонент тензора энергии"=импульса}

Компоненты тензора энергии"=импульса:
\eq$$
\rho=T^{00},
\qquad
S^i=T^{0i}=T^{i0},
\qquad
\sigma^{ij}=-T^{ij}
\quad(i,j=1,\ldots,d-1).
\label{Tmunu-components}
$$
\pause
Здесь
\begin{itemize}
\item $\rho$ "--- плотность энергии;
\pause
\item $S^i$ "--- плотность потока энергии или плотность импульса;
\pause
\item $\sigma^{ij}$ "--- тензор напряжений.
\end{itemize}
\pause

\emph{Пример.} Электромагнитное поле:
\eq$$
S_{EM}[A]=-{1\over4}\int d^4x\,F^{\mu\nu}F_{\mu\nu},
\quad
F_{\mu\nu}=A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu}.
\label{S-em}
$$
\pause
Для компонент тензора энергии"=импульса имеем
\eq$$
\rho={\boldE^2+\boldH^2\over2},
\qquad
\boldS=\boldE\times\boldH,
\qquad
\sigma^{ij}=E_iE_j+H_iH_j-\rho\delta_{ij}.
\label{WSsigma-em}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Теория поля в искривленном пространстве"=времени}

Рассмотрим пространство с метрикой $g$. Действие зависит от полей $\phi^r$ и метрики:
\eq$$
S[\phi|g]=\int d^dx\,\sqrt{|g|}\cL(\phi,\d_\bullet\phi|g,\d_\bullet g,\ldots).
\label{S-phi|g}
$$
По полям $\phi$ мы будем варьировать, а метрику рассматривать как параметр.
\pause
Лагранжиан называется \emph{общековариантным}, если действие инвариантно по отношению к преобразованиям координат.
\pause

\emph{Пример.} Лагранжианы для скалярных полей вида
\eq$$
\cL(\phi,\d_\bullet\phi)={1\over2}g^{\mu\nu}G_{ij}(\phi)\,\d_\mu\phi^i\,\d_\nu\phi^j-U(\phi)-RV(\phi)
\label{cL-sigma-model-g}
$$
являются общековариантными.
\pause

Прием для построения общековариантных лагранжианов. Надо взять любой лагранжиан специальной теории относительности и сделать замену
\eq$$
\eta_{\mu\nu}\to g_{\mu\nu},
\qquad
\d_\mu\to\nabla_\mu.
\label{gencov-substitution}
$$
Такие лагранжианы называются лагранжианами \emph{с минимальной связью.}
\pause
Иными словами,
\eq$$
\cL(\phi,\d_\bullet\phi|g,\d_\bullet g,\ldots)=\cL(\phi,\nabla_\bullet\phi|g,0,\ldots,0).
\label{cL-minimal}
$$

\pause

\emph{Вопрос:} при каком условии лагранжиан (\ref{cL-sigma-model-g}) является лагранжианом с минимальной связью?\only<6>{\red\vrule width 2pt}\
\pause
\emph{Ответ:} $V(\phi)=0$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Вариация действия при преобразованиях координат}

Рассмотрим изменение действия при преобразовании координат $x^\mu=x^{\prime\mu}+\xi^\mu$.
\pause
Точнее говоря, выполним преобразование полей и метрики вида
$$
t(x)\to (1+K_t(\xi))t(x+\xi),
\quad
t=\phi,g,
$$
где $1+K_t(\xi)$ представляет собой соответствующее преобразование тензорных компонент поля $t$. Соответственно, вариация поля при этом преобразовании дается \emph{производной Ли}
$$
\delta_\xi t=\xi t+K_t(\xi)t=\nabla_\xi t+\tilde K_t(\xi)t.
$$
\pause

Посмотрим, как меняется вид действия:
\Align$$
0=\delta_\xi S
&\uncover<4->{=\int_Ud^dx\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi}\,\delta_\xi\phi
+{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}\,{\red\underline{{\black(\delta_\xi\phi)_{,\lambda}}}}\right)}
\notag
\\
&\quad
\uncover<5->{{}+\int_Ud^dx\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu}}\,\delta_\xi g_{\mu\nu}
+{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}\,{\red\underline{{\black(\delta_\xi g_{\mu\nu})_{,\lambda}}}}\right)}
\notag
\\
&\quad
\uncover<6->{{}-\int_Ud^dx\,\d_\mu(\xi^\mu\sqrt{|g|}\cL).}
\label{deltaS}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Вариация действия при преобразованиях координат: $\rm(I)+(III)$}

Сумму первого и третьего слагаемых можно переписать в виде
$$
\Aligned{
&{\rm(I)+(III)}=
\\
&=\int d^dx\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi}-\d_\lambda{\d\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}\right)\delta_\xi\phi
+\int d^dx\,\d_\lambda\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}\delta_\xi\phi-\sqrt{|g|}\cL\xi^\lambda\right).
}
$$
\pause
Первый интеграл обращается в нуль в силу уравнений движения
\eq$$
{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi}-\d_\lambda{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}=0
\quad\Leftrightarrow\quad
{\d\cL\over\d\phi}-\nabla_\lambda{\d\cL\over\d\phi_{,\lambda}}=0.
\label{eqmov-nabla}
$$
\pause
То, что остается, является дивергенцией и сводится к интегралу по границе $\d U$ области~$U$:
$$
{\rm(I)+(III)}
=\int df_\lambda\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}(\xi^\mu\nabla_\mu\phi+\tilde K_\phi(\xi)\phi)-\sqrt{|g|}\cL\xi^\lambda\right).
$$
\pause
Если мы введем аналог канонического тензора энергии"=импульса
\eq$$
\tilde T^\mu{}_\nu=\nabla_\nu\phi\,{\d\cL\over\d(\d_\mu\phi)}-\cL\delta^\mu_\nu,
\label{emTensor-phi}
$$
\pause
мы можем переписать эту сумму в виде
$$
{\rm(I)+(III)}
=\int df_\lambda\left(\sqrt{|g|}\tilde T^\lambda{}_\kappa\xi^\kappa+{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\lambda}}\tilde K_\phi(\xi)\phi\right),
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Вариация действия при преобразованиях координат: $\rm(II)$}

Вклад производной Ли от метрики:
\Align*$$
{\rm(II)}
&=\int d^dx\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu}}\delta_\xi g_{\mu\nu}
+{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}(\delta_\xi g_{\mu\nu})_{,\lambda}\right)
\\
&=\int d^dx{\red\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu}}-\d_\lambda{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}\right)}\delta_\xi g_{\mu\nu}
+\int df_\lambda\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}\delta_\xi g_{\mu\nu}\right).
$$
\pause
Определим \emph{метрический тензор энергии"=импульса}:
\eq$$
T^{\mu\nu}=-{2\over\sqrt{|g|}}{\delta S\over\delta g_{\mu\nu}}
=-{2\over\sqrt{|g|}}\left({\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu}}-\d_\lambda{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}+\cdots\right).
\label{T-def}
$$
\pause
Так как $\delta_\xi g_{\mu\nu}=\xi_{\mu;\nu}+\xi_{\nu;\mu}$, имеем
$$
{\rm(II)}=-\int d^dx\,\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}\xi_{\mu;\nu}
+2\int df_\lambda\,{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}\xi_{\mu;\nu}.
$$
\pause
Используя тождество
$$
\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}\xi_{\mu;\nu}=\sqrt{|g|}(T^{\mu\nu}\xi_\mu)_{;\nu}-\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}{}_{;\nu}\,\xi_\mu
=(\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}\xi_\mu)_{,\nu}-\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}{}_{;\nu}\,\xi_\mu,
$$
\pause
получаем
$$
{\rm(II)}=\int_Ud^dx\,\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}{}_{;\nu}\xi_\mu
+\int df_\lambda\,\left(2{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\mu\nu,\lambda}}\xi_{\mu;\nu}-\sqrt{|g|}T^{\mu\lambda}\xi_\mu\right).
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Ковариантное сохранение тензора энергии"=импульса}

Собирая все вместе, получаем
\Align$$
0
&=\delta_\xi S=\int_Ud^dx\,\sqrt{|g|}T^{\mu\nu}{}_{;\nu}\xi_\mu
\notag
\\
&\quad
+\int_{\d U}df_\nu\left(\sqrt{|g|}(\tilde T^{\mu\nu}-T^{\mu\nu})\xi_\mu
+2{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\lambda\mu,\nu}}\xi_{\mu;\lambda}+{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d\phi_{,\nu}}\tilde K_\phi(\xi)\phi\right).
\label{deltaS-fin}
$$
\pause
Если выбрать поле $\xi$ так, чтобы оно обращалось в нуль на $\d U$ вместе со всеми своими производными,
\pause
мы получим \emph{ковариантное сохранение метрического тензора энергии"=импульса}:
\eq$$
T^{\mu\nu}{}_{;\nu}=0.
\label{T-covconserv}
$$
Это \emph{не} настоящий закон сохранения.
\pause

Теперь возьмем произвольное векторное поле $\xi$. Так как в силу (\ref{T-covconserv}) на решениях уравнений движения \emph{объемное слагаемое обращается в нуль}, должен быть равен нулю и поверхностный интеграл в~(\ref{deltaS-fin}).

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Связь канонического тензора энергии"=импульса с метрическим}

\vspace{-5pt}
Для теории \emph{скалярного} поля $\phi$ с \emph{минимальной связью} имеем
$$
{\d(\sqrt{|g|}\cL)\over\d g_{\lambda\mu,\nu}}=0,
\quad
\tilde K_\phi(\xi)=0.
$$
\pause
Поэтому второй и третий член под интегралом равны нулю и мы получаем
\eq$$
\tilde T^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}.
\label{T-metric-deriv}
$$
\pause
В общей теории \emph{с минимальной связью} производные от $g$ входят только в символы Кристоффеля и мы имеем
$$
{\d\cL\over\d g_{\lambda\mu,\nu}}={\d\cL\over\d\phi_{;\rho}}{\d\phi_{;\rho}\over\d g_{\lambda\mu,\nu}},
$$
\pause
Отсюда можно показать, что члены с $\xi_{\mu;\nu}$ сокращаются вкладами из $\tilde K_\phi(\xi)\phi$.
\pause
Сложно, но можно показать, что последние два слагаемых собираются в свертку $\xi$ с производной от антисимметричного тензора $\psi$, так что:
\eq$$
\tilde T^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}+|g|^{-1/2}\d_\lambda(|g|^{1/2}\psi^{\mu\nu\lambda}),
\label{T-metric-deriv-gen}
$$
\pause
Мы всегда будем рассматривать теории с минимальной связью. Можно сказать, что \emph{общая теория относительности} представляет собой метрическую теорию гравитации с \emph{минимальной связью} материи и метрики и \emph{действием Эйнштейна"--~Гильберта} для метрики (см.\ следующую лекцию).

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Тензор энергии"=импульса точечной частицы}

Найдем метрический тензор энергии"=импульса для точечной частицы.
\pause
Для этого перепишем ее действие в виде пространственно"=временного интеграла:
$$
S[x|g]=\int d^dx\,\int d\tau\,\delta(x^\bullet-x^\bullet(\tau))\left(-m\sqrt{g_{\mu\nu}(x)\dot x^\mu(\tau)\dot x^\nu(\tau)}
-eA_\mu(x)\dot x^\mu(\tau)\right).
$$
\pause
Теперь продифференцируем по метрике:
$$
T^{\mu\nu}=\int d\tau\,{\delta(x^\bullet-x^\bullet(\tau))\over\sqrt{|g|}}
{m\dot x^\mu(\tau)\dot x^\nu(\tau)\over\sqrt{g_{\mu\nu}(x)\dot x^\mu(\tau)\dot x^\nu(\tau)}}.
$$
\pause
В калибровке
$$
g_{\mu\nu}(x(\tau))\dot x^\mu(\tau)\dot x^\nu(\tau)=1,
$$
то есть $\tau=s$, имеем
$$
T^{\mu\nu}=\int ds\,{\delta(x^\bullet-x^\bullet(s))\over\sqrt{|g|}}m\dot x^\mu(s)\dot x^\nu(s).
$$
\pause
Первый множитель представляет собой инвариантную дельта"=функцию на псевдоримановом многообразии:
\eq$$
\delta_g(x,y)={\delta(x^\bullet-y^\bullet)\over\sqrt{|g(y)|}},
\quad
\int dV\,\delta_g(x,y)f(x)=\int d^dx\,\sqrt{|g(y)|}{\delta(x^\bullet-y^\bullet)\over\sqrt{|g(y)|}}f(x)=f(y).
\label{delta-def}
$$
\pause
Поэтому окончательно получаем
\eq$$
T^{\mu\nu}=\int ds\,\delta_g(x,x(s))\,m\dot x^\mu(s)\dot x^\nu(s).
\label{T-particle}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар}

\emph{1.~Пылевидная материя.} Тензор энергии"=импульса пылевидной материи в ее системе покоя имеет вид
$$
T=\rho\,\d_0\otimes\d_0=\pMatrix{\rho&&&\\&0&&\\&&0&\\&&&0}.
$$
Как выглядит тензор энергии"=импульса в СО, в которой материя движется со скоростью $\boldv$?

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар}

\emph{2. Жидкость с плотностью $\rho$ и давлением $p$.} В системе покоя
$$
T=\rho\,\d_0\otimes\d_0+p\,\d_i\otimes\d_i=\pMatrix{\rho&&&\\&p&&\\&&p&\\&&&p}.
$$
Как выглядит тензор энергии"=импульса в СО, в которой материя движется со скоростью $\boldv$?

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар}

\emph{2a. Уравнение состояния нерелятивистского идеального газа.}
\vskip 3.75cm

\emph{2b. Уравнение состояния ультрарелятивистского идеального газа.}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар}

\emph{3. Задача о движущемся конденсаторе.}

Рассмотрим плоский конденсатор с пластинами площадью $S$ и расстоянием между пластинами $l$. Пластины перпендикулярны оси~$x$. Тензор энергии"=импульса его электромагнитного поля равен
$$
T={E^2\over2}\d_0\otimes\d_0-\left(E_iE_j-{E^2\over2}\delta_{ij}\right)\d_i\otimes\d_j=\pMatrix{E^2/2&&&\\&-E^2/2&&\\&&E^2/2&\\&&&E^2/2}.
$$
Его электромагнитная масса равна $m_\text{em}=\rho Sl={E^2Sl\over2}$. Перейдем в СО, в которой он движется со скоростью $v$ в направлении оси~$x$. При таком преобразовании электрическое поле $E$ и площадь $S$ не меняются, а длина уменьшается: $l'=l\sqrt{1-v^2}$. Таким образом, его электромагнитная энергия в новой СО равна $\varepsilon_\text{em}=m_\text{em}\sqrt{1-v^2}$. Это противоречит общей формуле, следующей из преобразований Лоренца: $\varepsilon=m/\sqrt{1-v^2}$. Как решить этот парадокс?

\end{frame}



\end{document}
