% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\sqr{\mathop\square\nolimits}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\Pl{{\text{Pl}}}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\e{{\rm e}}
\def\i{{\rm i}}
\def\cA{{\mathcal A}}
\def\cB{{\mathcal B}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cI{{\mathcal I}}
\def\cJ{{\mathcal J}}
\def\cK{{\mathcal K}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cR{{\mathcal R}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cT{{\mathcal T}}

\def\boldk{{\boldsymbol k}}
\def\boldn{{\boldsymbol n}}
\def\boldp{{\boldsymbol p}}
\def\boldr{{\boldsymbol r}}
\def\boldv{{\boldsymbol v}}
\def\boldA{{\boldsymbol A}}
\def\boldE{{\boldsymbol E}}
\def\boldH{{\boldsymbol H}}
\def\boldP{{\boldsymbol P}}
\def\boldR{{\boldsymbol R}}
\def\boldS{{\boldsymbol S}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\begin{document}

\title[Лекция 6. Уравнения гравитационного поля]{Лекция 6. Уравнения гравитационного поля и законы сохранения}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Действие для гравитационного поля}

\vspace{-5pt}
Теперь мы будем рассматривать метрику $g$ как динамическую переменную. Предположим, что действие теории разбивается в сумму действия для полей материи в искривленном пространстве времени и для гравитации:
\eq$$
S_\text{общ}[\phi,g]=S_\text{мат}[\phi|g]+S_\text{грав}[g].
\label{S-total}
$$
\pause
Уравнение движения для метрики можно представить в виде
\eq$$
T^{\mu\nu}+T^{\mu\nu}_\text{грав}=0,
\label{Tm+Tg=0}
$$
\pause
где $T^{\mu\nu}=-2|g|^{-1/2}\delta S_\text{мат}/\delta g_{\mu\nu}$ "--- метрический тензор энергии импульса материи,\\
\pause
а $T^{\mu\nu}_\text{грав}=-2|g|^{-1/2}\delta S_\text{грав}/\delta g_{\mu\nu}$ "--- формальный метрический тензор энергии"=импульса для гравитационного действия.
\pause

Найдем лагранжиан $\cL_\text{грав}$ гравитационного поля. Потребуем, чтобы
\pause
\begin{itemize}
\item Лагранжиан является скаляром, не зависящим от выбора системы координат.
\pause
\item Лагранжиан зависит от первых производных метрики не более чем квадратично и от вторых не более чем линейно.
\end{itemize}
\pause
Этим условиям удовлетворяют две величины: $1$ и $R$. Поэтому примем
\eq$$
S_\text{грав}=-{1\over16\pi G}\int d^dx\,\sqrt{|g|}(R+2\Lambda),
\label{S-grav-EG}
$$
где $G>0$ и $\Lambda$ "--- постоянные. Это действие называется \emph{действием Эйнштейна"--~Гильберта}.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Лямбда"=член}

Постоянная $G$ совпадает с ньютоновской \emph{гравитационной постоянной}, а постоянная $\Lambda$ называется \emph{космологической постоянной}.
\pause
Космологический член не содержит производных метрики и может быть отнесен к материи с тензором энергии"=импульса
\eq$$
T_\Lambda^{\mu\nu}={\Lambda\over4\pi G\sqrt{|g|}}{\d\sqrt{|g|}\over\d g_{\mu\nu}}={\Lambda\over8\pi G}\,g^{\mu\nu}.
\label{TLambda}
$$
\pause
Такая «материя», разлитая по всему пространству, имеет уравнение состояния
$$
p=-\varepsilon=-\Lambda/8\pi G.
$$
Этот член настолько мал, что существен лишь для эволюции Вселенной как целого. Мы будем его опускать.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Вариация действия}

\vspace{-5pt}
Заметим, что добавлением интеграла от полной дивергенции действие можно привести к виду
\eq$$
S_\text{грав}[g]=-{1\over16\pi G}\int d^dx\,\sqrt{|g|}\,\cR(g,\d_\bullet g),
\label{S-grav-calR}
$$
\pause
где $\cR$ не является скаляром, зато зависит только от метрики и ее первых производных:
\Align$$
\cR
&=g^{\mu\nu}(\Gamma^\kappa_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\kappa}-\Gamma^\kappa_{\mu\nu}\Gamma^\lambda_{\kappa\lambda})
\notag
\\
&\uncover<3->{{}={1\over4}g_{\mu\nu,\rho}g_{\kappa\lambda,\sigma}\left(
  g^{\mu\nu}g^{\kappa\lambda}g^{\rho\sigma}+g^{\mu\kappa}g^{\nu\sigma}g^{\rho\lambda}-2g^{\mu\nu}g^{\kappa\rho}g^{\lambda\sigma}
\right).}
\label{calR-def}
$$
\pause\pause
Значит, в ОТО нет дополнительных степеней свободы, связанных с производными от метрики.
\pause

Теперь вернемся к исходной формуле и проварьируем действие по метрике:
\Align*$$
\delta\int d^4x\,\sqrt{|g|}R
&=\delta\int d^4x\,\sqrt{|g|}g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}
\\
&=\int d^4x\,\left(\delta\sqrt{|g|}\,R+\sqrt{|g|}\,\delta g^{\mu\nu}\,R_{\mu\nu}+\sqrt{|g|}g^{\mu\nu}\,\delta R_{\mu\nu}\right)
\\
&=\int d^4x\,\left(\sqrt{|g|}\left(R_{\mu\nu}-{1\over2}g_{\mu\nu}R\right)\delta g^{\mu\nu}+\sqrt{|g|}g^{\mu\nu}\,\delta R_{\mu\nu}\right).
$$
\pause
Оказывается, последний член под интегралом является полной дивергенцией,
\eq$$
\sqrt{|g|}g^{\mu\nu}\,\delta R_{\mu\nu}
=\d_\lambda(\sqrt{|g|}w^\lambda)=\sqrt{|g|}w^\lambda{}_{;\lambda},
\qquad
w^\lambda=g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-g^{\lambda\mu}\delta\Gamma^\nu_{\mu\nu},
\label{deltaR-div}
$$
и, таким образом, дает нулевой вклад.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Уравнения Эйнштейна}

Добавляя вклад действия для полей материи, получаем \emph{уравнения Эйнштейна}:
\eq$$
R_{\mu\nu}-{1\over2}g_{\mu\nu}R=8\pi GT_{\mu\nu}.
\label{Einstein-eq}
$$
\pause
Это $d(d+1)/2$ уравнений, но не все они одинаковы. Чтобы разобраться, рассмотрим вклады в, содержащие вторые производные по времени $t=x^0$:
\pause
\eq$$
R_{00}=-{1\over2}g^{ij}\ddot g_{ij}+\cdots,
\quad
\uncover<4->{R_{0i}={1\over2}g^{0j}\ddot g_{ij}+\cdots,}
\quad
\uncover<5->{R_{ij}=-{1\over2}g^{00}\ddot g_{ij}+\cdots.}
\label{R_munu-ddot-terms}
$$
\pause\pause
Мы видим, что динамическими переменными являются только пространственные компоненты метрики~$g_{ij}$. Переменные $g_{0\mu}$ не являются динамическими.
\pause

Теперь поднимем один индекс и вычтем, где нужно, скаляр Риччи:
\eq$$
\Gathered{
R^0_\mu-{1\over2}\delta^0_\mu R=0+\cdots,
\\
\uncover<7->{R^i_j-{\delta^i_j\over2}R={1\over2}(g^{0k}g^{0l}-g^{00}g^{kl})(\delta^i_k\ddot g_{jl}-\delta^i_j\ddot g_{kl})+\cdots.}
}\label{R^mu_nu-ddot-terms}
$$
Мы видим, что $d$ уравнений представляют собой \emph{связи},
\pause
а динамических уравнений всего $d(d-1)/2$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Уравнения Эйнштейна: динамические переменные}

\vspace{-5pt}
Изучим теперь переменные $g_{\mu\nu}$. Учтем инвариантность относительно преобразований координат. При малых преобразованиях $x^\mu\to x^\mu+\xi^\mu$ метрика преобразуется по закону
\eq$$
g_{\mu\nu}\to g_{\mu\nu}+\xi_{\mu;\nu}+\xi_{\nu;\mu}.
\label{g-transform}
$$
\pause
В окрестности любой регулярной точки многообразия мы можем выбрать \emph{синхронную систему координат} $g_{0\mu}=\delta_{0\mu}$.
\pause
Это оставляет $d(d-1)/2$ переменную $g_{ij}$ и столько же переменных $\dot g_{ij}$. То есть для решения задачи Коши нужно в каждой точке задать $d(d-1)$ число.
\pause

Учтем \emph{остаточную} калибровочную свободу, не меняющую $g_{0\mu}$. Из (\ref{g-transform}) имеем
$$
\xi_{0;0}=0,
\quad
\xi_{i;0}=-\xi_{0;i}.
$$
\pause
Эти уравнения выражают $\dot\xi_\mu$ через $\xi_\mu$ в любой момент времени.
\pause
Итак, мы имеем $d$ произвольных функций пространственных координат.
\pause

Окончательно, для числа начальных данных в задаче Коши в каждой точке поверхности $x^0=t_0$ имеем:
\eq$$
N=\underbrace{d(d-1)}_{\left[\substack{\text{переменных}\\g_{ij}(x^1,\ldots,x^d)}\right]}
-\uncover<8->{\underbrace d_{\left[\substack{\text{связей}\\R^0_\mu=8\pi GT^0_\mu}\right]}
-\uncover<9->{\underbrace d_{\left[\substack{\text{остаточных}\\\text{преобразований}\\\xi^\mu(x^1,\ldots,x^d)}\right]}
=\uncover<10->{{\blue d(d-3)}}}}
\label{gr-degfreedom}
$$
\pause\pause\pause\pause
То есть как динамическая система гравитация имеет $d(d-3)/2$ степеней свободы в каждой точке пространственно"=подобной поверхности.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Сохранение энергии и импульса в ОТО}

Уравнения Эйнштейна представляют собой условие обращение в нуль плотности энергии, плотности импульса и тензора напряжений материи и гравитации в каждой точке пространства времени:
$$
T^{\mu\nu}+T_\text{грав}^{\mu\nu}=0,
\quad
T_\text{грав}^{\mu\nu}=-{1\over8\pi G}\left(R^{\mu\nu}-{g^{\mu\nu}\over2}R\right).
$$
\pause
С точки зрения физической интуиции это очень неестественно. Хотелось бы определить энергию и импульс системы так, чтобы можно было говорить о конечных и сохраняющихся энергии и импульсе замкнутой системы в асимптотически плоском пространстве"=времени.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Псевдотензор энергии"=импульса Эйнштейна}

Вспомним, что гравитационное действие можно представить в виде
$$
S_\text{грав}[g]=-{1\over16\pi G}\int d^dx\,\sqrt{|g|}\,\cR(g,\d_\bullet g),
\quad
\cR=g^{\mu\nu}(\Gamma^\kappa_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\kappa}-\Gamma^\kappa_{\mu\nu}\Gamma^\lambda_{\kappa\lambda}).
$$
\pause
Будем относиться к $-\sqrt{|g|}\cR/16\pi G$ как к обыкновенному лагранжиану для полей $g_{\mu\nu}$ в плоском пространстве"=времени. Введем соответствующий канонический тензор энергии"=импульса:
\eq$$
\sqrt{|g|}t^E{}_\mu{}^\nu
=-{1\over16\pi G}\left(g_{\alpha\beta,\mu}{\d(\sqrt{|g|}\cR)\over\d g_{\alpha\beta,\nu}}-\delta^\nu_\mu\sqrt{|g|}\cR\right).
\label{tE-def}
$$
\pause
Эти величины не являются компонентами тензора в пространстве"=времени с метрикой $g_{\mu\nu}$. Говорят, что они образуют \emph{псевдотензор} энергии"=импульса Эйнштейна.
\pause
Однако сумма тензора энергии"=импульса материи и псевдотензора энергии"=импульса гравитации удовлетворяет уравнению непрерывности:
\eq$$
\left(\sqrt{|g|}(T_\mu{}^\nu+t^E{}_\mu{}^\nu)\right)_{,\nu}=0,
\label{T+tE-conserv}
$$
\pause
так что вектор
\eq$$
P^E_\mu=\int d^{d-1}x\,\sqrt{|g|}(T_\mu{}^0+t^E{}_\mu{}^0)
\quad
\text{сохраняется: $\dot P^E_\mu=0$.}
\label{PE-def}
$$
\pause
Используя уравнения Эйнштейна, получим
\eq$$
\sqrt{|g|}(T_\mu{}^\nu+t^E{}_\mu{}^\nu)=\underbrace{\sqrt{|g|}(-(T_\text{грав})_\mu{}^\nu+t^E{}_\mu{}^\nu)}_\text{зависит только от метрики}
\uncover<7->{=\underbrace{\d_\lambda\tau^E_\mu{}^{\nu\lambda}}_\text{дивергенция},
\quad
\tau^E_\mu{}^{\nu\lambda}=-\tau^E_\mu{}^{\lambda\nu}.}
\label{tE-superpotential}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Суперпотенциал}

Функция $\tau^E_\mu{}^{\nu\lambda}$ называется \emph{суперпотенциалом}.
\pause
Суперпотенциал определен неоднозначно. Например, он может иметь вид
\eq$$
\tau^E_\mu{}^{\nu\lambda}=|g|^{-1/2}g_{\mu\kappa}\chi^{\kappa\nu\lambda\rho}{}_{,\rho},
\quad
\chi^{\mu\nu\kappa\lambda}={|g|\over16\pi G}(g^{\mu\nu}g^{\kappa\lambda}-g^{\mu\kappa}g^{\nu\lambda}).
\label{tauE-def}
$$
\pause
С его помощью вектор импульса записывается как интеграл по границе пространственно"=подобной поверхности:
\eq$$
P^E_\mu=\int_Sdf_\nu\,\d_\lambda\tau^E_\mu{}^{\nu\lambda}={1\over2}\oint_{\d S}df_{\nu\lambda}\,\tau^E_\mu{}^{\nu\lambda},
\label{PE-surface}
$$
где
$$
df_{\mu_1\ldots\mu_k}={1\over(d-k)!}\epsilon_{\mu_1\ldots\mu_d}\,dx^{\mu_{k+1}}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_d}
$$
\pause
Если пространство является асимптотически плоским, $g_{\mu\nu}\to\eta_{\mu\nu}$ при $|\boldr|\to\infty$, энергия и импульс системы выражаются через асимптотику метрики. Это аналогично тому, как в ньютоновской механике полная масса системы выражается через асимптотику гравитационного потенциала.
\pause

Недостаток псевдотензора Эйнштейна состоит в том, что он ни в каком смысле не симметричен. Поэтому через него нельзя выразить момент импульса. Этот недостаток исправляет псевдотензор Ландау"--~Лифшица.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Псевдотензор энергии"=импульса Ландау"--~Лифшица}

Рассмотрим некоторую точку $x$ пространства времени. В ее окрестности выберем систему координат, в которой $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}(x)=0\Leftrightarrow g_{\mu\nu,\lambda}(x)=0$. В бесконечно малой окрестности этой точки система координат описывает свободно падающий объем. То есть, гравитационное поле в точке $x$ равно нулю.
\pause

Определим \emph{псевдотензор энергии"=импульса Ландау"--~Лифшица} $t^{\mu\nu}$ так, чтобы он был равен нулю в точке~$x$.
\pause
Тогда имеем
$$
|g|T^{\mu\nu}=-|g|T_\text{грав}^{\mu\nu}=\d_\lambda\tau^{\mu\nu\lambda},
$$
где $\tau^{\mu\nu\lambda}$ "--- \emph{суперпотенциал Ландау"--~Лифшица}:
\eq$$
\tau^{\mu\nu\lambda}=-\tau^{\mu\lambda\nu}=\chi^{\mu\nu\lambda\rho}{}_{,\rho}.
\label{tau-def}
$$
\pause
Теперь в произвольной системе координат положим
\eq$$
|g|t^{\mu\nu}=|g|t^{\nu\mu}=|g|T_\text{грав}^{\mu\nu}+\tau^{\mu\nu\lambda}{}_{,\lambda}.
\label{tLL-def}
$$
\pause
Соответственно, величина
\eq$$
|g|(T^{\mu\nu}+t^{\mu\nu})=\tau^{\mu\nu\lambda}{}_{,\lambda}
\label{T+t=dtau}
$$
\pause
удовлетворяет уравнению непрерывности
\eq$$
\left(|g|(T^{\mu\nu}+t^{\mu\nu})\right)_{,\nu}=0.
\label{T+tLL-conserv}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Импульс и момент импульса}

Отсюда следует, что импульс системы, определенный как
\eq$$
P^\mu=\int_Sdf_\nu\,|g|(T^{\mu\nu}+t^{\mu\nu})={1\over2}\oint_{\d S}df_{\nu\lambda}\,\tau^{\mu\nu\lambda}
\label{P-LL}
$$
сохраняется в асимптотически плоском пространстве"=времени: $\dot P^\mu=0$.
\pause
Более того,
$$
P^\mu=P^{E\mu}.
$$
\pause
Момент импульса системы определяется выражением
\eq$$
J^{\mu\nu}=\int_Sdf_\lambda\,|g|\left(x^\mu(T^{\nu\lambda}+t^{\nu\lambda})-x^\nu(T^{\mu\lambda}+t^{\mu\lambda})\right)
\label{J-LL}
$$
\pause
и тоже выражается через интеграл по границе
\eq$$
J^{\mu\nu}={1\over2}\oint_{\d S}df_{\alpha\beta}\,
(x^\mu\tau^{\nu\alpha\beta}-x^\nu\tau^{\mu\alpha\beta}+\chi^{\mu\alpha\beta\nu}).
\label{J-LL-surface}
$$
\pause
Центр инерции системы в данной системе координат определяется формулой
\eq$$
X^i={\int d^{d-1}x\,|g|(T^{00}+t^{00})x^i\over\int d^{d-1}x\,|g|(T^{00}+t^{00})}
\label{CI-def}
$$
В асимптотически плоском пространстве центр инерции движется с постоянной скоростью.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Синхронная система отсчета. Определение и свойства}

Синхронная система отсчета "--- это система координат с метрикой
\eq$$
g_{00}=1,
\quad
g_{0i}=0
\qquad
\Leftrightarrow
\quad
ds^2=dt^2-\gamma_{ij}\,dx^idx^j.
\label{synchr-def}
$$
\pause
\emph{Задача.} Найдите символы Кристоффеля в синхронной системе координат.
\smallskip
\uncover<2>{{\red\hrule}}
\pause
$$
\Gamma^0_{0\mu}=\Gamma^\mu_{00}=0,
\qquad
\Gamma^0_{ij}={1\over2}\gamma_{ij,0},
\qquad
\Gamma^i_{j0}={1\over2}\gamma^{ik}\gamma_{kj,0},
\qquad
\Gamma^i_{jk}=\tilde\Gamma^i_{jk},
$$
где $\tilde\Gamma^i_{jk}$ "--- пространственные символы Кристоффеля, вычисленные по метрике~$\gamma_{ij}$.
\pause

\emph{Задача.} Напишите уравнения геодезических.
\smallskip
\uncover<4>{{\red\hrule}}
\pause
\eq$$
\ddot x^0+\Gamma^0_{ij}\dot x^i\dot x^j=0,
\qquad
\ddot x^i+2\Gamma^i_{j0}\dot x^i\dot x^0+\Gamma^i_{jk}\dot x^i\dot x^k=0.
\label{synchr-geodesics}
$$
\pause
Вы видите, что если $\dot x^i(0)=0$, то и $\dot x^i(\tau)=0$ $\forall\tau$.
\pause
Значит линии $x^i=\const$ образуют \emph{конгруэнцию геодезических}, а $t=\tau+\const$.
\pause

Эта конгруэнция ограничена в пространстве \emph{фокальными точками}. Если сузить область пространства, можно продлить конгруэнцию дальше, но не дальше \emph{каустики}, то есть огибающей поверхности кривых:
$$
\det(\gamma_{ij})=0.
$$
\pause
Таким образом синхронную систему координат можно определить в \emph{достаточном малой} пространственно"=временной окрестности \emph{любой точки}.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Синхронная система отсчета. Каустики}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Синхронная система отсчета. Существование}

\vspace{-5pt}
Собственное время $\tau$ связано с действием свободной частицы соотношением $\tau=-S/m$.
\pause
Поэтому оно как функция конечной точки удовлетворяет уравнению Гамильтона"--~Якоби:
\eq$$
g^{\mu\nu}\tau_{,\mu}\tau_{,\nu}=1.
\label{HJ-tl-geo}
$$
\pause
При этом, как мы знаем
\eq$$
\tau_{,\mu}=g_{\mu\nu}\dot x^\nu.
\label{HJ-tl-geo-momentum}
$$
\pause
Пусть мы имеем полный интеграл, зависящий от постоянных $y^1,\ldots,y^{d-1}$:
\eq$$
\tau=f(y^1,\ldots,y^{d-1};x^0,x^1,\ldots,x^{d-1}).
\label{HJ-tl-geo-fullint}
$$
\pause
Геодезические определяются из уравнения
\eq$$
{\d f\over\d y^i}=z_i.
\label{HJ-tl-geo-algeqs-gen}
$$
\pause
Переопределяя $f\to f+z_iy^i$, запишем эти уравнения в виде
\eq$$
{\d f\over\d y^i}=0.
\label{HJ-tl-geo-algeqs}
$$
\pause
Положим \emph{$y^0=\tau$}. Уравнения (\ref{HJ-tl-geo-fullint}), (\ref{HJ-tl-geo-algeqs}) задают функцию $x(y)=x(y^0,\ldots,y^{d-1})$.
\pause
Тогда в силу (\ref{HJ-tl-geo-algeqs}) имеем
$$
dy^0={\d f\over\d x^\mu}dx^\mu(y).
$$
\pause
Отсюда получаем
\eq$$
{\d f\over\d x^\mu}{\d x^\mu\over\d y^i}=0.
\label{HJ-tl-geo-nullcomb}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Синхронная система отсчета. Существование}

\emph{Задача.} Выразите $ds^2$ через $dy^\mu$.
\smallskip
\uncover<1>{{\red\hrule}}
\pause
\eq$$
ds^2=(dy^0)^2-\gamma_{ij}\,dy^idy^j,
\qquad
\gamma_{ij}=-g_{\mu\nu}{\d x^\mu\over\d y^i}{\d x^\nu\over\d y^j}.
\label{HJ-tl-geo-ds2}
$$
\pause
Вот вывод:
\Align*$$
ds^2
&=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu
=g_{\mu\nu}\left({\d x^\mu\over\d y^0}dy^0+{\d x^\mu\over\d y^i}dy^i\right)\left({\d x^\nu\over\d y^0}dy^0+{\d x^\nu\over\d y^i}dy^i\right)
\\
&\uncover<4->{{}=g_{\mu\nu}\left(g^{\mu\kappa}{\d f\over\d x^\kappa}dy^0+{\d x^\mu\over\d y^i}dy^i\right)
\left(g^{\nu\lambda}{\d f\over\d x^\lambda}dy^0+{\d x^\nu\over\d y^i}dy^i\right)}
\\
&\uncover<5->{{}=\underbrace{g^{\kappa\lambda}{\d f\over\d x^\kappa}{\d f\over\d x^\lambda}}
_{\uncover<6->{\substack{{}=1\\\text{согласно (\ref{HJ-tl-geo})}}}}(dy^0)^2
+2\underbrace{{\d f\over\d x^\mu}{\d x^\mu\over\d y^i}}_{\uncover<7->{\substack{{}=0\\\text{согласно (\ref{HJ-tl-geo-nullcomb})}}}}dy^0dy^i
+\underbrace{g_{\mu\nu}{\d x^\mu\over\d y^i}{\d x^\nu\over\d y^j}}_{\uncover<8->{{}=-\gamma_{ij}}}\,dy^idy^j.}
$$











\end{frame}

\end{document}
