% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\sqr{\mathop\square\nolimits}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\Pl{{\text{Pl}}}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\e{{\rm e}}
\def\i{{\rm i}}
\def\cA{{\mathcal A}}
\def\cB{{\mathcal B}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cI{{\mathcal I}}
\def\cJ{{\mathcal J}}
\def\cK{{\mathcal K}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cR{{\mathcal R}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cT{{\mathcal T}}

\def\boldk{{\boldsymbol k}}
\def\boldn{{\boldsymbol n}}
\def\boldp{{\boldsymbol p}}
\def\boldr{{\boldsymbol r}}
\def\boldv{{\boldsymbol v}}
\def\boldA{{\boldsymbol A}}
\def\boldE{{\boldsymbol E}}
\def\boldH{{\boldsymbol H}}
\def\boldP{{\boldsymbol P}}
\def\boldR{{\boldsymbol R}}
\def\boldS{{\boldsymbol S}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\def\unpause{\onslide<+->}

\begin{document}

\title[Лекция 7. Слабое гравитационное поле]{Лекция 7. Слабое гравитационное поле}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Приближение и оценки}

\unpause
Когда имеет смысл говорить о слабом гравитационном поле?
\begin{enumerate}[<+->]
\item Когда плотность и давление вещества, создающего поле, малы. Частный случай "--- нерелятивистский предел.
\item Вдали от гравитирующих тел в асимптотически плоском пространстве"=времени.
\end{enumerate}
\unpause
Под приближением слабого гравитационного поля мы будем понимать предел
\eq$$
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},
\qquad
|h_{\mu\nu}|\ll1,
\label<.>{g-weak}
$$
так чтобы уравнения Эйнштейна можно было бы считать линейными.
\unpause
Для этого тензор энергии"=импульса материи должен быть достаточно мал
\eq$$
G|T^{\mu\nu}|l^2\ll1,
\label<.>{T-weak}
$$
где $l$ "--- характерные масштабы, на которых меняется метрика.
\unpause

Если вещество занимает большой объем масштаба $L$,
\unpause
условие слабости поля во всем пространстве имеет вид
\eq$$
G|T^{\mu\nu}|L^2\ll1.
\label<.>{T-weak-L}
$$
\unpause
Если это условие не выполнено, пространство"=время надо разбить на участки, на каждом из которых метрику можно приблизить~$\eta_{\mu\nu}$ в подходящих координатах.
\unpause
Для глобальных задач существует модифицированная техника слабого возмущения на фоне медленно меняющейся метрики.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Линеаризованные уравнения Эйнштейна}

\unpause
Итак,
\eq$$
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},
\qquad
|h_{\mu\nu}|\ll1,
\tag{\ref{g-weak}}
$$
\unpause
В этом приближении будем поднимать и опускать индексы с помощью $\eta_{\mu\nu}$, для ясности снабжая индекс черточкой: $a^{\bar\mu}=\eta^{\mu\nu}a_\nu$.
\unpause

В первом порядке по $h_{\mu\nu}$ имеем
\eq$$
g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-h^{\overline{\mu\nu}},
\qquad
|g|=1+h,
\qquad
h=h^{\bar\mu}_\mu.
\label<.>{g-1order}
$$
\unpause
Для тензора Риччи в первом порядке получаем
\eq$$
R^{(1)}_{\mu\nu}={1\over2}\left(
-h_{\mu\nu,\lambda}{}^{\bar\lambda}+h^{\bar\lambda}_{\mu,\nu\lambda}+h^{\bar\lambda}_{\nu,\mu\lambda}-h_{,\mu\nu}
\right).
\label<.>{R-1order}
$$
\unpause
Подставляя в уравнения Эйнштейна, получаем
\eq$$
\eta^{\lambda\kappa}h_{\mu\nu,\lambda\kappa}-h^{\bar\lambda}_{\mu,\nu\lambda}-h^{\bar\lambda}_{\nu,\mu\lambda}+h_{,\mu\nu}
=-16\pi G\left(T_{\mu\nu}-{\eta_{\mu\nu}\over d-2}T^{\bar\lambda}_\lambda\right).
\label<.>{Eeq-1order}
$$
\unpause
\emph{Линеаризованные уравнения Эйнштейна} выгладят довольно сложно.
\unpause
Но, главное, они, с одной стороны, не допускают однозначного решения, а с другой стороны, решаются не для любых функций $T_{\mu\nu}$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Калибровочная свобода}

\unpause
Формулу (\ref{R-1order}) можно записать в виде
\eq$$
R^{(1)}_{\mu\nu}=K_{\mu\nu}{}^{\lambda\kappa}h_{\lambda\kappa},
\label<.>{R=Kh}
$$
\unpause
где $K$ "--- дифференциальный оператор вида
\eq$$
K_{\mu\nu}{}^{\lambda\kappa}={1\over2}\left(-\delta^\lambda_\mu\delta^\kappa_\nu\sqr
+\delta^\lambda_\mu\eta^{\kappa\alpha}\d_\alpha\d_\nu+\delta^\kappa_\nu\eta^{\lambda\alpha}\d_\alpha\d_\mu
-\eta^{\lambda\kappa}\d_\mu\d_\nu\right),
\label<.>{Kop-def}
$$
действующий на \emph{симметричных} 2"=формах. Здесь
\eq$$
\sqr=\eta^{\mu\nu}\d_\mu\d_\nu
\label{DeltaMink-def}
$$
"--- \emph{даламбертиан}.
\unpause

Оператор $K$ \emph{вырожденный}, так как для любой 1"=формы $\xi$ имеем
$$
K_{\mu\nu}{}^{\lambda\kappa}(\xi_{\mu,\nu}+\xi_{\nu,\mu})=0.
$$
\unpause
То есть
\eq$$
K_{\mu\nu}{}^{\lambda\kappa}h_{\lambda\kappa}=K_{\mu\nu}{}^{\lambda\kappa}h'_{\lambda\kappa},
\quad\text{если}\quad
h'_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}+\xi_{\mu,\nu}+\xi_{\nu,\mu}.
\label<.>{h-transform}
$$
\unpause
Это соответствует калибровочному преобразованию метрики $\delta_\xi g_{\mu\nu}=\xi_{\mu;\nu}+\xi_{\nu;\mu}$ при замене координат $x^\mu=x^{\prime\mu}+\xi^\mu$ в первом порядке по $|h_{\mu\nu}|\ll1$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Фиксация калибровки}

\unpause
Чтобы избавиться от этой свободы, нужно наложить $d$ условий. Удобно выбрать условия вида
\eq$$
\psi^{\bar\mu}_{\nu,\mu}=0,
\qquad
\psi_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}-{\eta_{\mu\nu}\over2}h.
\label<.>{psigauge}
$$
\unpause
Обратно,
\eq$$
h_{\mu\nu}=\psi_{\mu\nu}-{\eta_{\mu\nu}\over d-2}\psi,
\qquad
\psi=\psi^{\bar\mu}_\mu=-{d-2\over2}h.
\label{hpsi-rel}
$$
\unpause
При условии (\ref{psigauge}) имеем
\eq$$
R^{(1)}_{\mu\nu}=-{1\over2}\sqr h_{\mu\nu}
\quad\Leftrightarrow\quad
R^{(1)}_{\mu\nu}-{\eta_{\mu\nu}\over2}R^{(1)}=-{1\over2}\sqr\psi_{\mu\nu}.
\label{R-1order-psigauge}
$$
Даламбертиан вырожден сравнительно «слабо». Его вырождение не связано с выбором системы координат и имеет физически содержательные последствия. В частности, он не имеет нулевых мод на стационарных решениях, убывающих как $O(r^{3-d})$ на бесконечности.
\unpause

Линеаризованные уравнения Эйнштейна упрощаются
\eq$$
\sqr\psi_{\mu\nu}=-16\pi GT_{\mu\nu}.
\label{Eeq-1order-psigauge}
$$
\unpause
Вычисляя дивергенцию обеих частей этого уравнения, получаем
$$
T^{\bar\mu}_{\nu,\mu}=-(16\pi G)^{-1}\sqr\psi^{\bar\mu}_{\nu,\mu}=0.
$$
\unpause
То есть в линейном приближении \emph{энергия, импульс и момент импульса материи сохраняются}. Это является пределом ковариантного уравнения непрерывности $T^{\mu\nu}{}_{;\mu}=0$, верного в общем случае.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Статические решения и нерелятивистский предел}

Статические (не зависящие от времени) решения удовлетворяют уравнению
\eq$$
\Delta\psi_{\mu\nu}=16\pi GT_{\mu\nu},
\quad
\Delta=\sum^{d-1}_{i=1}\d_i^2,
\label<.>{Eeq-1order-static}
$$
\unpause
и могут быть найдены явно при условии $G|T_{\mu\nu}|L^2\ll1$:
\eq$$
\psi_{\mu\nu}(\boldr)=-{16\pi G\over(d-3)S_{d-1}}\int d^{d-1}x'\,{T_{\mu\nu}(\boldr')\over|\boldr-\boldr'|^{d-3}},
\label<.>{psi-static-solution}
$$
где $S_n=n\pi^{n/2}/\Gamma({n\over2}+1)$ "--- площадь поверхности единичной гиперсферы в $n$"=мерном эвклидовом пространстве. Выполнение калибровочных условий следует из $\d_iT_{i\nu}=0$.
\unpause

Рассмотрим теперь нерелятивистский предел. Это значит:
\begin{enumerate}[<+->]
\item скорости частиц много меньше единицы, а поле мы усредняем по временам $T\gg L,r$;
\item $|T^{0i}|,|T^{ij}|,|T^{00}-\rho|\ll\rho$ (плотность массы).
\end{enumerate}
\unpause
В таком случае мы можем использовать статическое решение в каждый «момент» времени~$t$:
\eq$$
\psi_{00}(t,\boldr)=-{16\pi G\over(d-3)S_{d-1}}\int d^{d-1}x'\,{\rho(t,\boldr')\over|\boldr-\boldr'|^{d-3}},
\quad
\psi_{0i}(t,\boldr)=\psi_{ij}(t,\boldr)=0.
\label<.>{psi-nonrel-solution}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Нерелятивистский предел. Ньютоновский потенциал}

\unpause
Перейдем к величинам $h_{\mu\nu}$:
$$
h_{00}={d-3\over d-2}\psi_{00},
\quad
h_{ij}={\psi_{00}\over d-2}\delta_{ij}.
$$
\unpause
Следовательно,
\eq$$
h_{00}(t,\boldr)=(d-3)h_{ii}(t,\boldr)=-{16\pi G\over(d-2)S_{d-1}}\int d^{d-1}x'\,{\rho(t,\boldr')\over|\boldr-\boldr'|^{d-3}}.
\label<.>{h-nonrel-solution}
$$
\unpause
Вспомним, что гравитационный потенциал $\phi={1\over2}h_{00}$. Полагая, что гравитационное поле создается системой точечных масс $m_a$ в точках $\boldr_a(t)$, получаем
\eq$$
\phi(t,\boldr)=-{8\pi G\over(d-2)S_{d-1}}\sum_a{m_a\over|\boldr-\boldr_a(t)|^{d-3}}.
\label<.>{phi-nonrel}
$$
\unpause
\emph{Но:} диагональные элементы $h_{ii}$ не равны нулю: $h_{ii}=2\phi/(d-3)$.
\unpause
Отсюда следует, действие для частицы:
$$
S=\int dt\,\left(-m+\left(1-\alt<+(1)->{\xcancel{2\phi(t,\boldr)\over d-3}}{{2\phi(t,\boldr)\over d-3}}\right){m\boldv^2\over2}-m\phi(t,\boldr)\right).
$$
\unpause
Так как $\phi\sim v^2\ll1$, слагаемое $-2\phi/(d-3)$ в скобках является превышением точности и им нужно пренебречь.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Потенциальная энергия взаимодействующих тел}

\unpause
При $d=4$ получаем закон всемирного тяготения Ньютона:
\Align$$
U(t,\{\boldr_a\})
&={1\over2}\sum_a\lim_{\boldr'\to\boldr_a}m_a\left(\phi(t,\boldr')+G{m_a\over|\boldr'-\boldr_a(t)|}\right)
\notag
\\
&=-\sum_{a<b}G{m_am_b\over|\boldr_a(t)-\boldr_b(t)|}.
\label<.>{Newton's-law}
$$
\unpause
Отсюда заключаем, что $G$ совпадает с ньютоновской гравитационной постоянной.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Статическое поле вдали от тел. Постановка задачи}

\unpause
Теперь рассмотрим поле произвольного (релятивистского), но стационарного источника. Нас будет интересовать асимптотика на больших расстояниях, где $T_{\mu\nu}=0$, а $|h_{\mu\nu}|\ll1$.
\unpause
Тогда
\eq$$
\Delta\psi_{\mu\nu}=0,
\qquad
\d_i\psi_{0i}=0,
\qquad
\d_i\psi_{ij}=0.
\label<.>{Eeq-1ordre-vac-stat}
$$
\unpause
Наш план состоит в том, чтобы решить эти уравнения на больших расстояниях, затем вычислить суперпотенциалы $\tau^{\mu\nu\lambda}$ и $\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}$, а через них выразить полные массу $M=P^0$ и момент импульса $J^{ij}$ источника гравитации.
\unpause

Мы уже знаем, что $\Delta r^{3-d}=0$.
\unpause
Отсюда следует, что и любые производные $\d_{i_1}\cdots\d_{i_k}r^{3-d}$ являются решениями уравнения Лапласа.
\unpause
Асимптотика общего вида является линейной комбинацией этих решений.
\unpause
Мы ограничимся двумя лидирующими членами:
$$
\Aligned{
\psi_{00}
&=Ar^{3-d}+B^k\,\d_kr^{3-d}+O(r^{1-d}),
\\
\psi_{0i}
&=A^ir^{3-d}+B^{ik}\,\d_kr^{3-d}+O(r^{1-d}),
\\
\psi_{ij}
&=A^{ij}r^{3-d}+B^{ijk}\,\d_kr^{3-d}+O(r^{1-d}),
\quad A^{ij}=A^{ji},
\quad B^{ijk}=B^{jik}.
}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Статическое поле вдали от тел. Калибровочное условие}

\unpause
Наложим условие калибровки $\d_i\psi^{\bar i}_\nu=0$:
$$
A^i\,\d_i r^{3-d}=\tikz[overlay]\node[left=3pt] (A) {};A^{ij}\,\d_jr^{3-d}=0,
\quad
\unpause
B^{ik}\,\d_i\d_k r^{3-d}=\tikz[overlay]\node[left=3pt] (B) {};B^{ijk}\,\d_j\d_kr^{3-d}=0.
$$
\unpause
Отсюда немедленно следует, что
$$
A^i=A^{ij}=\tikz[overlay]\node[above left] (Aeq) {};0,
\tikz[overlay]\draw[->,red] (A) to[bend right] (Aeq);
\qquad
\unpause
\Aligned{
B^{ik}
&=B^{[i\tikz[overlay]\node[above=3pt,red] {[антисимметризатор]};k]}+C\delta^{ik},\tikz[overlay]\node[above left] (Beq) {};
\\
B^{ijk}
&=B^{i[jk]}+C^i\delta^{jk}=\tikz[overlay] \node[left] (Bijk) {};B^{j[ik]}+C^j\delta^{ik}.
\tikz[overlay] \draw[->,red] (B) to[bend left] node[right] {$\substack{B^{[ik]}\d_i\d_kr^{3-d}=0\\\delta^{ik}\d_i\d_kr^{3-d}=\Delta r^{3-d}=0}$} (Beq);
}
$$
\unpause
$$
A^{ij}=0,
\quad
B^{ijk}\tikz[overlay] \node[above right] (Bijkvanish) {};=0
\quad\Rightarrow\quad
\psi_{ij}=0.
\tikz[overlay] \draw[->,red] (Bijk) to[out=-135,in=45] (Bijkvanish);
$$
\unpause
Мы еще можем использовать \emph{остаточные} калибровочные преобразования.
\unpause
Если
\eq$$
\sqr\xi^\mu=0,
\label<.>{Square-xi}
$$
преобразование $x^\mu=x^{\prime\mu}+\xi^\mu$ не нарушает калибровочное условие.
\unpause
Преобразование
$$
\xi^0=-Cr^{3-d},
\quad
\xi^i=-B^i/A
$$
обращает в нуль $C'$ и $B^{\prime i}$.
\unpause
Опуская штрихи, получаем окончательно
\eq$$
\psi_{00}=Ar^{3-d},
\qquad
\psi_{0i}=B^{ik}\d_kr^{3-d}
\quad(B^{ki}=-B^{ik}),
\qquad
\psi_{ij}=0.
\label<.>{psi-r-solution}
$$
\unpause
Осталось связать константы $A$ и $B^{ik}$ с данными об источнике гравитации.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Статическое поле вдали от тел. Масса источника гравитации}

Вычислим суперпотенциалы. Нам достаточно будет $\chi^{\mu0kl}$ и $\tau^{\mu0k}$.
\unpause
Имеем
$$
\chi^{00kl}={|g|\over16\pi G}(g^{00}g^{kl}-\alt<+(1)->{{\red\xcancel{\black g^{0k}g^{0l}}}}{g^{0k}g^{0l}}\tikz[overlay] \node[left] (ggsecond) {};).
$$
\unpause
Имеем $|g|=1+\#r^{3-d}$, $g^{00}g^{kl}=1+\#r^{3-d}$, $g^{0k}g^{0l}=\#r^{4-2d}\tikz[overlay] \node[above right] (ggllgg) {};\ll r^{3-d}$\tikz[overlay] \draw[->,red] (ggllgg) to[out=120,in=-45] (ggsecond);.
\unpause
Окончательно
\eq$$
\chi^{00kl}=-{\delta_{kl}\over16\pi G}(1-Ar^{3-d}),
\qquad
\tau^{00k}=-{(d-3)A\over16\pi G}r^{1-d}x^k.
\label<.>{chi00kl-weak}
$$
\unpause
Отсюда получаем массу системы
\eq$$
M=P^0=\oint df_{0i}\,\tau^{00i}=-{(d-3)A\over16\pi G}\oint {df_{0i}\,x^i\over r^{d-1}}=-{(d-3)S_{d-1}A\over16\pi G}.
\label<.>{P0-weak}
$$
Итак,
\eq$$
A=-{16\pi GM\over(d-3)S_{d-1}}
\label<.>{psi00-fin}
$$
в полном согласии с нерелятивистской формулой~(\ref{psi-nonrel-solution}).
\unpause
В четырехмерном случае имеем
\eq$$
A=-4GM
\qquad(d=4).
\label<.>{psi00-fin-d=4}
$$
\unpause
Важно отметить, что масса $M$ включает в себя и \emph{энергию материи} и \emph{энергию гравитационного поля}. Это «одетая» масса.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Статическое поле вдали от тел. Момент источника гравитации}

\unpause
Теперь вычислим $\chi^{i0kl}$:
$$
\chi^{i0kl}={|g|\over16\pi G}(g^{0i}g^{kl}-g^{ik}g^{0l}).
$$
\unpause
Оба слагаемых в скобках содержат множитель $g^{0i}=1+\#r^{2-d}$, так что мы можем положить $|g|=1$, $g^{ij}=\delta^{ij}$.
\unpause
Получаем
\eq$$
\Aligned{
\chi^{i0kl}
&={d-3\over16\pi G}{(\delta^{kl}B^{im}-\delta^{ik}B^{lm})x^m\over r^{d-1}},
\\
\tau^{i0k}
&={d-3\over16\pi G}{B^{im}(\delta^{km}r^2-(d-1)x^kx^m)\over r^{d+1}}.
}\label<.>{chii0kl-weak}
$$
\unpause
Так как $\tau^{i0k}r^{d-2}\sim r^{-1}\to0$, мы получаем $P^i=0$, как и ожидалось.
\unpause

Для (\emph{«одетого»!}) момента импульса имеем
$$
J^{ij}=\int df_{0k}(x^i\tau^{j0k}-x^j\tau^{i0k}+\chi^{i0kj})={(d-3)S_{d-1}\over8\pi G}B^{ij}.
$$
\unpause
Окончательно
\eq$$
B^{ij}={8\pi G\over(d-3)S_{d-1}}J^{ij}.
\label<.>{psi0i-fin}
$$
\unpause
В четырехмерном случае имеем
\eq$$
B^{ij}=2GJ^{ij}
\qquad(d=4).
\label<.>{psi0i-fin-d=4}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Полная энергия стационарной системы}

\unpause
\emph{Задача 1.} Пусть имеется времениподобное векторное поле Киллинга $\xi$. Выберем систему координат так, что $\xi=\d_0$. Покажите, что в этой системе координат $g_{\mu\nu,0}=0$.
\medskip
\unpause

\emph{Задача 2.} Покажите, что в этой системе координат
\eq$$
\sqrt{|g|}R^0_0=\d_i(\sqrt{|g|}g^{0\mu}\Gamma^i_{0\mu}).
\label{R00-stat}
$$
\medskip
\unpause

\emph{Задача 3.} Предположим, что материя расположена в конечном объеме (или, по крайней мере, тензор энергии"=импульса быстро спадает на бесконечности), но при этом пространственные слои $x^0=t$ являются гладкими многообразиями, определенными для всех значений $\{x^i\}\in\R^{d-1}$. Используя асимптотику для метрики и уравнения Эйнштейна, покажите, что
\eq$$
M=\int d^{d-1}x\,\sqrt{|g|}\left(T^0_0-{1\over d-3}T^i_i\right).
\label{P0-stat}
$$
\medskip
\unpause

Простой \emph{пример}. Гравитационное поле в $d=4$ создается стационарным изотропным газом. Тогда
$$
M=\int d^3x\,\sqrt{|g|}(\rho+3p),
$$







\end{frame}

\end{document}
