% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,subcaption,cancel,transparent,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\sqr{\mathop\square\nolimits}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\Pl{{\text{Pl}}}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\e{{\rm e}}
\def\i{{\rm i}}
\def\cA{{\mathcal A}}
\def\cB{{\mathcal B}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cI{{\mathcal I}}
\def\cJ{{\mathcal J}}
\def\cK{{\mathcal K}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cR{{\mathcal R}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cT{{\mathcal T}}

\def\boldk{{\boldsymbol k}}
\def\boldn{{\boldsymbol n}}
\def\boldp{{\boldsymbol p}}
\def\boldr{{\boldsymbol r}}
\def\boldv{{\boldsymbol v}}
\def\boldA{{\boldsymbol A}}
\def\boldE{{\boldsymbol E}}
\def\boldH{{\boldsymbol H}}
\def\boldP{{\boldsymbol P}}
\def\boldR{{\boldsymbol R}}
\def\boldS{{\boldsymbol S}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\def\unpause{\onslide<+->}

\begin{document}

\title[Лекция 8. Гравитационные волны]{Лекция 8. Гравитационные волны}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Разложение по плоским волнам}
\unpause

Вернемся к линейным уравнениям Эйнштейна в пространстве без материи в рассмотренной калибровке:
\eq$$
\sqr\psi_{\mu\nu}=0,
\qquad
\psi^{\bar\mu}_{\nu,\mu}=0.
\label{Eeq-1order-homo}
$$
\unpause
Раньше мы рассматривали решения, достаточно быстро спадающие на бесконечности. Ослабим это ограничение: разрешим ограниченные на бесконечности функции.
\unpause
Вначале рассмотрим комплексные решения в виде плоских волн:
\eq$$
\psi_{\mu\nu}(x)=A_{\mu\nu}\e^{-\i kx},
\qquad
A_{\nu\mu}=\tikz[overlay] \node[left=3pt] (symone) {};A_{\mu\nu},
\label<.>{psi-planewave}
$$
\unpause
Из волнового уравнения получаем спектр
\eq$$
k^{\bar0}=\pm\sqrt{(k^{\bar i})^2}=\pm|\boldk|\tikz[overlay] \node[left=3pt] (kone) {};,
\qquad
\boldk=k^{\bar i}\d_i,
\label<.>{planewave-spectrum}
$$
\unpause
Из калибровочного условия получаем пространственно"=временную поперечность
\eq$$
k^{\bar\mu}A_{\mu\nu}=\tikz[overlay] \node[left=3pt] (trone) {};0.
\label<.>{psigauge-planewave}
$$
\unpause
Построим \emph{вещественные}\tikz[overlay] \node[left=3pt] (realone) {}; линейные комбинации таких решений:
\eq$$
\Gathered{
\psi_{\mu\nu}(x)={1\over2}\sum_{\varepsilon=\pm}\int{d^{d-1}k\over(2\pi)^{d-1}}\,
A^\varepsilon_{\mu\nu}(\boldk)\e^{-\i\varepsilon(|\boldk|\tikz[overlay] \node[above left=1pt] (ktwo) {};x^0-\boldk\boldr)},
\uncover<.-.(3)>{\tikz[overlay] \draw[->,red,opacity=.7] (kone) to (ktwo);}
\\
\uncover<+->{A^\pm_{\nu\mu}(\boldk)=\tikz[overlay] \node[above left=3pt] (symtwo) {};A^\pm_{\mu\nu}(\boldk),}
\uncover<.-.(2)>{\tikz[overlay] \draw[->,purple,opacity=.7] (symone) to (symtwo);}
\quad
\uncover<+->{|\boldk|A^\pm_{0\nu}(\boldk)+k^iA^\pm_{i\nu}(\boldk)\tikz[overlay] \node[above left=3pt] (trtwo) {};=0,}
\uncover<.-.(1)>{\tikz[overlay] \draw[->,green,opacity=.7] (trone) to (trtwo);}
\quad
\uncover<+->{A^-_{\mu\nu}(\boldk)=\tikz[overlay] \node[above left=3pt] (realtwo) {};\left(A^+_{\mu\nu}(\boldk)\right)^*.}
\uncover<.>{\tikz[overlay] \draw[->,blue,opacity=.7] (realone) to (realtwo);}
}\label<.>{psi-homo-gensolution}
$$
\unpause

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Плоская монохроматическая волна}
\unpause

Рассмотрим монохроматическую плоскую волну, движущуюся вправо вдоль оси~$x^1$, то есть с $k^{\bar0}=k^{\bar1}=\omega\ne0$, $k^a=0$ ($a\ge2$):
\eq$$
\psi_{\mu\nu}(x)=\Re A_{\mu\nu}\e^{-\i\omega(x^0-x^1)}.
\label<.>{planewave-x1}
$$
\unpause
Будем обозначать $\alpha,\beta,\ldots=0,1$; $a,b,\ldots=2,\ldots,d-1$.
\unpause

Условие калибровки дает $d$ уравнений
\eq$$
A_{0\nu}=-A_{1\nu}.
\label<.>{psigauge-planewave-x1}
$$
\unpause
Остаточные калибровочные преобразования:
\eq$$
\psi'_{\mu\nu}=\psi_{\mu\nu}+\xi_{\bar\mu,\nu}+\xi_{\bar\nu,\mu}-\eta_{\mu\nu}\xi^\lambda{}_{,\lambda},
\quad
\sqr\xi^\mu=0.
\label<.>{psi-transf}
$$
\unpause
Будем рассматривать преобразования с вектором $\xi$ вида
\eq$$
\xi^\mu=\Re X^\mu\,\e^{-\i\omega(x^0-x^1)}.
\label<.>{xi-planewave}
$$
Такие преобразования не меняют вида волны~(\ref{planewave-x1}).
\unpause
Из (\ref{psi-transf}) получаем
\eq$$
\Aligned{
A'_{00}
&=A_{00}-\i\omega(X^0+X^1),
&&\uncover<+->{{\red\Rightarrow\ \text{фиксируем $A'_{00}=0$}}}
\\
A'_{0a}
&=A_{0a}+\i\omega X^a,
&&\uncover<+->{{\red\Rightarrow\ \text{фиксируем $A'_{0a}=0$}}}
\\
A'_{ab}
&=A_{ab}-\i\omega(X^0-X^1)\delta_{ab}.
&&\uncover<+->{{\red\Rightarrow\ \text{фиксируем $\sum A'_{aa}=0$}}}
}\label<.>{A-planevave-transf}
$$
Всего $d$ независимых преобразований.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Поперечная калибровка и число степеней свободы}
\unpause

Итак, наложим $d$ условий
\eq$$
A_{00}=-A_{01}=0,
\quad
A_{0a}=-A_{1a}=0,
\quad
\sum_aA_{aa}=0.
\label<.>{A-planewave-trasverse}
$$
\unpause
Всего имеется
$$
\underbrace{d(d+1)\over2}_{A_{\mu\nu}=A_{\nu\mu}}-\underbrace d_{\substack{\text{калибровочное}\\\text{условие}\\A_{0\mu}=-A_{1\mu}}}
-\underbrace d_{\substack{\text{остаточная}\\\text{калибровочная}\\\text{свобода}}}={d(d-3)\over2}
$$
степеней свободы.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Фурье"=преобразование и степени свободы}
\unpause
\vspace{-7pt}
Преобразование Фурье $f(x)=\Re\int^\infty_0{dk\over2\pi}\,\tilde f_k\e^{-\i kx}$ дает взаимно"=однозначное соответствие между $f:\R\to\R$ и $\tilde f_k:[0,\infty)\to\C$.
\unpause

Пусть $f(x^0,x^1)$ удовлетворяет волновому уравнению:
$$
(\d_0^2-\d_1^2)f=0.
$$
\unpause
Перепишем в координатах светового конуса $x^\pm=x^0\pm x^1$:
$$
\d_-\d_+f=0,
\quad
\d_\pm={\textstyle{1\over2}}(\d_0\pm\d_1)
$$
\unpause
Общее решение этого уравнения
\vspace{-10pt}
$$
f(x^0,x^1)=f_R(x^-)+f_L(x^+)
={\red\overbrace{\black f_R(x^0-x^1)}^{\smash{\text{правая волна}}}}+{\red\overbrace{\black f_L(x^0+x^1)}^{\smash{\text{левая волна}}}},
$$
где $f_{R,L}(u)$ "--- две произвольные вещественнозначные функции.
\unpause

Чтобы решить задачу Коши, нужно задать две функции при $x^0=0$. Можно выбрать $f(0,x^1)$ и $\d_0f(0,x^1)$. Действительно, тогда мы знаем
$$
\Aligned{
\d_1f(0,x^1)
&=-\dot f_R(-x^1)+\dot f_L(x^1),
\\
\d_0f(0,x^1)
&=\dot f_R(-x^1)+\dot f_L(x^1).
}
$$
Интегрированием находим обе функции $f_{R,L}(u)$ с точностью до константы.
\unpause

Итак, если в результате изучения монохромной волны, движущейся направо, мы нашли \emph{одно комплексное} число $\tilde f_k$, то ему соответствуют в прямом пространстве \emph{два вещественных числа} $f(0,x^1)$ и $\dot f(0,x^1)$ в начальный момент времени \emph{в каждой точке} пространства $x^1$.
\unpause
То есть мы имеем \emph{одну} степень свободы в каждой точке.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Поперечная калибровка в координатном пространстве}
\unpause

Рассмотрим одномерную волну $h_{\mu\nu}(x)$, не зависящую от $x^a$ ($a=2,\ldots,d-1$). Запишем ее в координатах светового конуса:
\eq$$
ds^2=h_{++}(dx^+)^2+h_{--}(dx^-)^2+(1+2h_{+-})\,dx^+\,dx^--(\delta_{ab}-h_{ab})\,dx^a\,dx^b.
\label<.>{lightcone-1order}
$$
\unpause
Волновое уравнение и условие калибровки имеют вид
\eq$$
\d_+\d_-\psi_{\mu\nu}=0,
\qquad
\d_+\psi_{-\mu}+\d_-\psi_{+\mu}=0.
\label<.>{Eeq-1order-planewave}
$$
\unpause
Из волнового уравнения немедленно находим
\eq$$
\psi_{\mu\nu}=\psi^R_{\mu\nu}(x^-)+\psi^L_{\mu\nu}(x^+).
\label<.>{psi-psiRL}
$$
\unpause
Калибровочное условие дает $\dot\psi^L_{-\mu}(x^{\red+})=-\dot\psi^R_{+\mu}(x^{\red-})$.
\unpause
Левая часть зависит только от $x^+$, а правая "--- только от~$x^-$. $\Rightarrow$ Обе части постоянны.
\unpause
Линейные вклады $\psi^{R,L}_{\mu\nu}(t)=at+b$ нас не интересуют. Поэтому примем
\eq$$
\psi^L_{-\mu}=\psi^R_{+\mu}=0.
\label<.>{psiRL-gauge}
$$
\unpause
Нетрудно показать, что калибровочным преобразованием можно обратить в нуль компоненты $\psi^L_{+\mu},\psi^R_{-\mu}$ и следы $\psi^{R,L}=\eta^{\mu\nu}\psi^{R,L}_{\mu\nu}$ (поперечная калибровка).
\unpause
Тогда $h_{\mu\nu}=\psi_{\mu\nu}$ и решения будут иметь вид
\eq$$
h_{ab}(x)=h^R_{ab}(x^-)+h^L_{ab}(x^+),
\qquad
h_{\alpha\mu}=0,
\qquad
\eta^{ab}h^{R,L}_{ab}=0.
\label<.>{h-hRL-transverse}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Поляризация гравитационной волны}
\unpause

Рассмотрим волну, движущуюся вправо. Временные компоненты метрики постоянны, а расстояние между соседними точками $x^\bullet$ и $x^\bullet+dx^\bullet$ равно
\eq$$
dl^2=(dx^1)^2+(\delta_{ab}-h_{ab})\,dx^a\,dx^b.
\label{dl2-planewave}
$$
\unpause
Рассмотрим маленькую \emph{$(d-2)$"=мерную сферу} $\delta_{ab}\,dx^a\,dx^b=dr^2$, $dx^1=0$ вокруг точки $x$. Величины $h_{ab}$ деформируют эту сферу. Именно
\begin{itemize}
\item<+->Элемент $h_{ab}$ с $a\ne b$ сжимает сферу вдоль прямой $dx^a=dx^b$ и растягивает вдоль прямой $dx^a=-dx^b$.
\unpause
Действительно, в плоскости $x^ax^b$
$$
\Aligned{
dl^2
&=(dx^a)^2-2h_{ab}\,dx^a\,dx^b+(dx^b)^2\text{ (без суммирования) и}
\\
&\uncover<+->{1)\ dx^a=dx^b=dr/\sqrt2:\ dl^2=dr^2(1-h_{ab}),}
\\
&\uncover<+->{2)\ dx^a=-dx^b=dr/\sqrt2:\ dl^2=dr^2(1+h_{ab}).}
}
$$
\unpause
При этом объем шара $\sum (dx^a)^2\le dr^2$ остается постоянным.

\item<+->Элементы $h_{aa}$ сжимают сферу в направлении оси $x^a$.
\unpause
Поскольку $\sum_ah_{aa}=0$, объем шара опять остается постоянным.
\end{itemize}
\unpause
В силу калибровки $h_{0\mu}=0$ имеем $\Gamma^\mu_{00}={1\over2}g^{\mu\nu}(2h_{0\nu,0}-h_{00,\nu})=0$. Поэтому
$$
\ddot x^\mu=-2\Gamma^\mu_{i0}\dot x^i\dot x^0-\Gamma^\mu_{ij}\dot x^i\dot x^j,
$$
и неподвижная свободная частица ($\dot x^i=0$) остается неподвижной во время прохождении волны.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Поляризация гравитационной волны: $d=4$}
\unpause

Разберем подробнее четырехмерный случай. Имеется две независимые компоненты
\eq$$
h_+=h_{22}=-h_{33},
\qquad
h_\times=h_{23}.
\label{h+x-def}
$$
\unpause
В плоскости, поперечной к направлению движения волны имеем
\eq$$
dl_2^2=(1-h_+)(dx^2)^2+(1+h_+)(dx^3)^2-2h_\times\,dx^2\,dx^3.
\label{dl2-planewave-4d}
$$
\unpause
Опять рассмотрим маленькую окружность радиуса $dr$. Пусть $\theta$ "--- угол между точкой окружности и осью $x^2$:
$$
dx^2=dr\cos\theta,
\qquad
dx^3=dr\sin\theta.
$$
\unpause
Отсюда имеем
\eq$$
dl_2=dr\left(1-{h_+\over2}\cos2\theta-{h_\times\over2}\sin2\theta\right)
=dr\left(1-{h_*\over2}\cos2(\theta-\varphi)\right),
\label{dl-planewave-circ}
$$
где
$$
h_+=h_*\cos2\varphi,
\qquad
h_\times=h_*\sin2\varphi.
$$
\unpause
Наличие двух независимых коэффициентов $h_+$ и $h_\times$ означает, что любую поляризацию волны (в том числе, любую плоскую поляризацию) можно представить как линейную комбинацию двух линейно независимых поляризаций, например, поляризаций с $\varphi=0$ (определяемой функцией~$h_+$) и с $\varphi={\pi\over4}$ (определяемой функцией~$h_\times$).

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Поляризация гравитационной волны: $d=4$}
\unpause

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{subfigure}[b]{3.5cm}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node [anchor=north] {$x^2$};
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [anchor=east] {$x^3$};
\draw[line width=1pt] (0,0) circle(1cm);
\draw[dashed,rotate=58] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[dashed,rotate=148] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw (.3,0) arc [radius=.3, start angle=0, end angle=58] node [midway,anchor=base west] {$\varphi$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[b]{3.5cm}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node [anchor=north] {$x^2$};
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [anchor=east] {$x^3$};
\draw[dashed] (0,0) circle(1cm);
\draw[dashed,rotate=58] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[line width=1pt,rotate=148] (0,0) ellipse(1.1cm and .9cm);
\draw[dashed,rotate=58] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[dashed,rotate=148] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw (.3,0) arc [radius=.3, start angle=0, end angle=58] node [midway,anchor=base west] {$\varphi$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[b]{3.5cm}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node [anchor=north] {$x^2$};
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [anchor=east] {$x^3$};
\draw[dashed] (0,0) circle(1cm);
\draw[dashed,rotate=58] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[line width=1pt,rotate=58] (0,0) ellipse(1.1cm and .9cm);
\draw[dashed,rotate=58] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[dashed,rotate=148] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw (.3,0) arc [radius=.3, start angle=0, end angle=58] node [midway,anchor=base west] {$\varphi$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\caption{Изменение формы пространственной окружности в линейно поляризованной гравитационной волне в поперечной плоскости: (a) исходная окружность до того, как ее достигла волна; (b) фаза~$h_*>0$; фаза~$h_*<0$ (в случае монохромной волны, например, через полупериод после фазы (b)).}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Энергия и импульс гравитационной волны: введение}
\unpause

Выясним, какие энергию и импульс переносит волна. По определению
\eq$$
|g|t^{\mu\nu}=|g|T^{\mu\nu}_{\text{грав}}+\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}{}_{,\lambda\kappa}
=-{|g|\over8\pi G}\left(R^{\mu\nu}-{1\over2}g^{\mu\nu}R\right)+\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}{}_{,\lambda\kappa}.
\label{t-def-gen}
$$
\unpause
Казалось бы, можно положить $T^{\mu\nu}_{\text{грав}}=-T^{\mu\nu}=0$ и вычислить $t^{\mu\nu}=|g|^{-1}\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}{}_{,\lambda\kappa}$, подставив туда полученное решение для $h_{\mu\nu}$,
\unpause
но так вы получите \emph{неправильный ответ}.
\unpause
Дело в том, что $t^{\mu\nu}$ "--- величины \emph{второго порядка} по $h_{\mu\nu}$. Поэтому и метрику надо разлагать до второго порядка.
\unpause

Рассмотрим разложение:
\eq$$
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h^{(1)}_{\mu\nu}+h^{(2)}_{\mu\nu}+\cdots.
\label<.>{g-decomp}
$$
Здесь $h^{(1)}_{\mu\nu}$ "--- решение линейной задачи, а $h^{(2)}_{\mu\nu}$ "--- величина второго порядка по $h^{(1)}_{\mu\nu}$.
\unpause
Находим
\eq$$
\Aligned{
g^{\mu\nu}
&=\eta^{\mu\nu}-h^{(1)\overline{\mu\nu}}-h^{(2)\overline{\mu\nu}}+(h^{(1)2})^{\overline{\mu\nu}}+\cdots,
\\
|g|
&=1+\tr h^{(1)}+\tr h^{(2)}+{1\over2}\left((\tr h^{(1)})^2-\tr h^{(1)2}\right)+\cdots.
}\label<.>{ginv-|g|-decomp}
$$
\unpause
Здесь мы изменили обозначения. Буквами $h,\psi$ мы теперь обозначаем соответствующие матрицы (при необходимости поднимая и опуская индексы с помощью $\eta_{\mu\nu}$), а их следы изображаем значком $\tr$:
$$
\tr a=a^{\bar\mu}_\mu=\eta^{\mu\nu}a_{\mu\nu},
\quad
(ab)_{\mu\nu}=a_\mu{}^{\bar\lambda}b_{\lambda\nu},\ldots
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Символы Кристоффеля во втором порядке}
\unpause

Учтем, что в нашей задаче $h^{(1)}_{\alpha\nu}=0$, $\tr h^{(1)}=0$:
\eq$$
\Aligned{
g^{\alpha\beta}
&=\eta^{\alpha\beta}-h^{(2)\overline{\alpha\beta}},
\quad
g^{\alpha b}=-h^{(2)\overline{\alpha b}},
\\
g^{ab}
&=\eta^{ab}-h^{(1)\overline{ab}}-h^{(2)\overline{ab}}+(h^{(1)2})^{\overline{ab}},
\\
|g|
&=1+\tr h^{(2)}-{1\over2}\tr h^{(1)2}.
}\label<.>{ginv-|g|-decomp-planewave}
$$
\unpause
Наложим калибровочное условие вида
\eq$$
\psi^{(2)\overline{\mu\nu}}{}_{,\nu}=0,
\qquad
\psi^{(2)}_{\mu\nu}=h^{(2)}_{\mu\nu}-{1\over2}\eta_{\mu\nu}\tr h^{(2)}.
\label<.>{psigauge-(2)}
$$
\unpause
В символах Кристоффеля легко отделяются вклады $h^{(2)}$:
\eq$$
\Gamma^\lambda_{\mu\nu}={1\over2}\eta^{\lambda\kappa}(h^{(2)}_{\mu\kappa,\nu}+h^{(2)}_{\nu\kappa,\mu}-h^{(2)}_{\mu\nu,\kappa})
+\tilde\Gamma^\lambda_{\mu\nu},
\label<.>{Gamma(2)-contrib}
$$
\unpause
Вклады, содержащие только $h^{(1)}$ имеют вид
\eq$$
\tilde\Gamma^c_{\alpha b}={1\over2}(\eta^{cd}-h^{(1)\overline{cd}})h^{(1)}_{bd,\alpha},
\qquad
\tilde\Gamma^\gamma_{ab}=-{1\over2}h^{(1)}_{ab}{}^{,\gamma}.
\label<.>{tGamma-planewave-nonzero}
$$
Остальные равны нулю.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Уравнения для $h^{(2)}$}
\unpause

Для тензора Риччи получаем
\eq$$
R_{\mu\nu}=-{1\over2}\sqr h^{(2)}_{\mu\nu}+\tilde R_{\mu\nu},
\label<.>{Ricci-2order}
$$
\unpause
где
\eq$$
\Gathered{
\tilde R_{\alpha\beta}={1\over2}\tr(h^{(1)}h^{(1)}{}_{,\alpha\beta})
+{1\over4}\tr(h^{(1)}{}_{,\alpha}h^{(1)}{}_{,\beta}),
\quad
\tilde R_{\alpha b}=0,
\\
\tilde R_{ab}={1\over4}\sqr(h^{(1)2})_{ab},
\quad
\tilde R={3\over4}\tr(h^{(1),\bar\alpha}h^{(1)}{}_{,\alpha}).
}\label<.>{Ricci-planewave}
$$
\unpause
Получаем уравнение для вклада второго порядка
\subeq{\label{chi-planewave}
\eq$$
\sqr h^{(2)}_{\mu\nu}=2\tilde R_{\mu\nu}.
\label<.>{h(2)-eq}
$$
\unpause
Разложением получаем суперпотенциалы
\Align$$
16\pi G\chi^{\alpha\beta\gamma\delta}
&=\left(1+\tr h^{(2)}-{1\over2}\tr h^{(1)2}\right)(\eta^{\alpha\beta}\eta^{\gamma\delta}-\eta^{\alpha\gamma}\eta^{\beta\delta})
\notag
\\
&\quad
-h^{(2)\overline{\alpha\beta}}\eta^{\gamma\delta}-\eta^{\alpha\beta}h^{(2)\overline{\gamma\delta}}
+h^{(2)\overline{\alpha\gamma}}\eta^{\beta\delta}+\eta^{\alpha\gamma}h^{(2)\overline{\beta\delta}},
\label{chi-planewave-alphabeta}
\\
16\pi G\chi^{\alpha b\gamma\delta}
&=-h^{(2)\overline{\alpha b}}\eta^{\gamma\delta}+\eta^{\alpha\gamma}h^{(2)\overline{b\delta}},
\label{chi-planewave-alphab}
\\
16\pi G\chi^{ab\gamma\delta}
&=\left(1+\tr h^{(2)}-{1\over2}\tr h^{(1)2}\right)\eta^{ab}\eta^{\gamma\delta}
\notag
\\
&\quad-\left(h^{(1)\overline{ab}}+h^{(2)\overline{ab}}-(h^{(1)2})^{\overline{ab}}\right)\eta^{\gamma\delta}
-\eta^{ab}h^{(2)\gamma\delta}.
\label{chi-planewave-ab}
$$}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Псевдотензор энергии импульса гравитационной волны}
\unpause

Теперь надо вычислить $t^{\mu\nu}=|g|^{-1}\chi^{\mu\nu\kappa\lambda}{}_{,\kappa\lambda}$.
\unpause
Для примера найдем
$$
16\pi G\chi^{\alpha b\gamma\delta}{}_{,\gamma\delta}=-\sqr h^{(2)\overline{\alpha b}}+(h^{(2)\overline{b\delta}}{}_{,\delta})^{,\bar\alpha}
=0
$$
Первое слагаемое равно нулю в силу волнового уравнения, а второе "--- в силу калибровочного условия.
\unpause
Во всех остальных компонентах, выражая $\sqr h^{(2)}_{\mu\nu}=-2\tilde R_{\mu\nu}$ и применяя калибровочное условие, тоже можно избавиться от~$h^{(2)}$.
\unpause

Окончательно получаем
\subeq{\label{t-planewave-dd}
\Align$$
t^{\alpha\beta}
&={1\over32\pi G}\left(\tr h^{,\alpha}h^{,\beta}-{1\over4}\eta^{\alpha\beta}\sqr\tr h^2\right),
\label{t-planewave-dd-alphabeta}
\\
\uncover<+->{t^{\alpha b}}
&\uncover<.->{=0,}
\label{t-planewave-dd-alphab}
\\
\uncover<+->{t^{ab}}
&\uncover<.->{={1\over32\pi G}\left(\sqr(h^2)^{ab}-{1\over4}\eta^{ab}\sqr\tr h^2\right).}
\label{t-planewave-dd-ab}
$$}
\unpause
Поперечные компоненты $t^{ab}$ не равны нулю только когда имеется две встречные волны:
$$
h(x)=h^R(x^-)+h^L(x^+).
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Псевдотензор энергии импульса бегущей гравитационной волны}
\unpause

Если $h^L=0$, выражение упрощается, поскольку $\sqr f(h(x^-))=0$ для любой функции $f$ компонент $h$. Поэтому
\eq$$
t^{\alpha\beta}={1\over32\pi G}h^{a,\alpha}_bh^{b,\beta}_a,
\qquad
t^{\alpha b}=0,
\qquad
t^{ab}=0.
\label{t-planewave-R}
$$
\unpause
В лоренц"=инвариантном виде (когда направление волнового вектора произвольно) можно написать
\eq$$
t^{\mu\nu}={1\over32\pi G}\tr h^{,\mu}h^{,\nu}={1\over32\pi G}h^{\lambda,\mu}_\kappa h^{\kappa,\nu}_\lambda.
\label{t-planewave}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Сильная гравитационная волна}
\unpause

Рассмотрим решение для метрики в вакууме, которое зависит лишь от одной координаты, которую обозначим~$x^-$:
\eq$$
g_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}(x^-)
\quad\Leftrightarrow\quad
\d_i g_{\mu\nu}=0\quad(i\ne\mathord-).
\label<.>{gmunu-xminus}
$$
\unpause
Такое решение допускает замену координат вида
\eq$$
x^i=x^{\prime i}+\varphi^i(x^{\prime-}),
\qquad
x^-=\varphi^-(x^{\prime-}),
\label<.>{xminus-trans}
$$
\unpause
При этом метрика преобразуется по правилу
\eq$$
g'_{--}=(\dot\varphi^-g_{--}+2\dot\varphi^ig_{-i})\dot\varphi^-+g_{ij}\dot\varphi^i\dot\varphi^j,
\quad
g'_{-i}=\dot\varphi^-g_{-i}+\dot\varphi^jg_{ij},
\quad
g'_{ij}=g_{ij},
\label<.>{g0i-xminus-trans}
$$
где точкой мы обозначили производную по~$x^{\prime-}$.
\unpause

\emph{Задача 1.} Покажите, что если $\det(g_{ij})\ne0$, таким преобразованием мы можем перейти к синхронной системе координат.

{\alt<.(1)->{\transparent{0}}{}\red\hrule}
\unpause

Пусть теперь $\det(g_{ij})=0$. Пусть $(g^i)$ есть такой вектор, что $g_{ij}g^j=0$. Выберем одну из координат (обозначим ее $x^+$), для которой $g^+\ne0$. Изменяя норму $(g^i)$ мы можем положить $g^+=-1$. Полагая $a,b=2,\ldots,d-1$, получаем
\eq$$
g_{a+}=g_{ab}g^b,
\qquad
g_{++}=g_{ab}g^ag^b.
\label<.>{+coord}
$$
\unpause
\emph{Задача 2.} Покажите, что преобразованием вида (\ref{xminus-trans}) можно привести метрику к виду
\eq$$
g_{--}=0,
\qquad
g_{-+}={1\over2},
\qquad
g_{-a}=0,
\qquad
a=2,\ldots,d-1.
\label<.>{+--gauge}
$$
{\red\hrule}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Сильная гравитационная волна}
\unpause

Тогда метрику можно записать в виде
\eq$$
ds^2=dx^-\,dx^++g_{ab}(dx^a+g^a\,dx^+)(dx^b+g^b\,dx^+).
\label<.>{+--gauge-ggen}
$$
\unpause
\emph{Задача 3.} Найдите компоненты $R_{ab}$ тензора Риччи.

{\alt<.(1)->{\transparent{0}}{}\red\hrule}
\unpause
\eq$$
R_{ab}=-g_{ac}\dot g^cg_{bd}\dot g^d.
\label<.>{+--gauge-Rab}
$$
\unpause
В силу уравнений Эйнштейна $R_{ab}=0$. Следовательно, $\dot g^a=0$.
\unpause
Тогда преобразованием $x^a+g^ax^+\to x^a$ приводим метрику к виду
\eq$$
ds^2=dx^-dx^++g_{ab}(x^-)\,dx^a\,dx^b.
\label<.>{+--gauge-gfin}
$$
\unpause
\emph{Задача 4.} Найдите символы Кристоффеля.

{\alt<.(1)->{\transparent{0}}{}\red\hrule}
\unpause
\eq$$
\Gamma^a_{b-}={1\over2}\kappa^a_b={1\over2}g^{ac}\dot g_{cb},
\qquad
\Gamma^+_{ab}=-\kappa_{ab}=-\dot g_{ab}.
\label<.>{+--gauge-Gamma}
$$
\unpause
\emph{Задача 5.} Найдите компоненту тензора Риччи $R_{--}$.

{\alt<.(1)->{\transparent{0}}{}\red\hrule}
\unpause
\eq$$
R_{--}=-{1\over2}\dot\kappa^a_a-{1\over4}\kappa^b_a\kappa^a_b
=-{1\over2}g^{ab}\ddot g_{ab}+{1\over4}g^{ab}\dot g_{bc}g^{cd}\dot g_{da}.
\label{+--gauge-R00}
$$
\unpause
Уравнение $R_{--}=0$ является единственным уравнением на $g_{ab}$. Это значит, что любое решение зависит от ${(d-1)(d-2)\over2}-1={d(d-3)\over2}$ произвольных функций.
\unpause
Положим
\eq$$
g_{ab}=-\chi^2\gamma_{ab},
\qquad
\det(\gamma_{ab})=1.
\label{+--gauge-gab-decom}
$$
\unpause
\emph{Задача 6.} Найдите дифференциальное уравнение для $\chi(x^-)$.

{\alt<.(1)->{\transparent{0}}{}\red\hrule}
\unpause
\eq$$
\ddot\chi={1\over4(d-2)}\dot\gamma^{ab}\dot\gamma_{ab}\chi.
\label{+--gauge-chi-eq}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Сильная гравитационная волна}
\unpause
\vspace{-5pt}
Заменой координат (\ref{xminus-trans}) можно добиться того, чтобы $\gamma(0)=1$, $\dot\gamma(0)=0$. Значит в координатах
$$
\textstyle
x^0={1\over2}(x^++x^-),
\qquad
x^1={1\over2}(x^+-x^-)
$$
начальные данные следует задавать $d(d-3)/2$ произвольными функциями $x^1$.
\unpause

Рассмотрим опять слабую волну $g_{ab}=\eta_{ab}+h_{ab}$ тогда $\chi(x^-)\simeq1$ и
$$
\dot\chi\simeq-{1\over4(d-2)}\int^t_0dt\,(\dot\gamma_{ab})^2.
$$
Поэтому $\chi$ будет убывать по закону $\chi(t)=1-\const\cdot t^2$.
\unpause
В какой-то момент $x^-=t_0$ величина $\chi$ достигнет нуля.
\unpause

Рассмотрим метрику вблизи точки $t_0$:
\eq$$
ds^2=dx^-dx^+-A^2(x^--t_0)^2\delta_{ab}\,dx^a\,dx^b.
\label{gravwave-sing}
$$
\unpause
\emph{Задача 7.} Сделайте замену координат
\vspace{-5pt}
\eq$$
x^-=y^-+t_0,
\qquad
x^a={y^a\over Ay^-},
\qquad
x^+=y^+-{\delta_{ab}y^ay^b\over y^-}
\label{gravwave-trans}
$$
\vspace{-10pt}

и найдите метрику в новых координатах.

{\alt<.(1)->{\transparent{0}}{}\red\hrule}
\unpause
\eq$$
ds^2=dy^-\,dy^+-\delta_{ab}\,dy^a\,dy^b.
\label{gravwave-nonsing}
$$
Это преобразование показывает, что в на поверхности $x^-=t_0$ многообразие не имеет особенности.

\end{frame}

\end{document}
