% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,subcaption,cancel,transparent,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\sqr{\mathop\square\nolimits}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}\limits}
\def\Pl{{\text{Pl}}}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\e{{\rm e}}
\def\i{{\rm i}}
\def\cA{{\mathcal A}}
\def\cB{{\mathcal B}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cI{{\mathcal I}}
\def\cJ{{\mathcal J}}
\def\cK{{\mathcal K}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cR{{\mathcal R}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cT{{\mathcal T}}

\def\boldk{{\boldsymbol k}}
\def\boldn{{\boldsymbol n}}
\def\boldp{{\boldsymbol p}}
\def\boldr{{\boldsymbol r}}
\def\boldv{{\boldsymbol v}}
\def\boldA{{\boldsymbol A}}
\def\boldE{{\boldsymbol E}}
\def\boldH{{\boldsymbol H}}
\def\boldP{{\boldsymbol P}}
\def\boldR{{\boldsymbol R}}
\def\boldS{{\boldsymbol S}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\def\unpause{\onslide<+->\relax}

\begin{document}

\title[Лекция 9. Излучение гравитационных волн]{Лекция 9. Излучение гравитационных волн}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Запаздывающее решение и запаздывающая функция Грина}
\unpause

Рассмотрим систему движущихся частиц в конечном объеме и изучим вынужденное гравитационное поле на больших расстояниях $R=\sqrt{X^iX^i}$ с учетом запаздывания. На больших расстояниях будет два вклада:
\begin{enumerate}
\item<+->Постоянный «продольный» вклад $\psi_{00}=AR^{3-d}$, $\psi_{0i}=B^{ij}\d_jR^{3-d}$, $\psi_{ij}=0$.
\item<+->Переменный запаздывающий вклад $\psi_{\mu\nu}=M_{\mu\nu}(t-R,\boldn)R^{3-d}$ ($\boldn=\boldR/R$), $M_{0\nu}+M_{i\nu}n^i=0$. Этот вклад может быть приведен к поперечному бесследовому виду ($M_{0\nu}=0$, $M_{ij}X^j=0$, $M_{ii}=0$) и неотличим от гравитационной волны.
\end{enumerate}
\unpause
Явное вычисление мы выполним для нерелятивистских частиц в размерности $d=4$, но начнем с общего случая.
\unpause

Нас будет интересовать \emph{запаздывающее} решение, то есть решение $\psi_{\mu\nu}(x)$, зависящее только от значений $T_{\mu\nu}(x')$ при $t'<t$.
\unpause

Такое решение можно записать в виде
\eq$$
\psi_{\mu\nu}(t,\boldr)=-16\pi G\int^t_{-\infty}dt'\int d^{d-1}x'\,G^R(t-t',|\boldr-\boldr'|)T_{\mu\nu}(t',\boldr'),
\label<.>{psi-retarded-gend}
$$
где \emph{запаздывающая функция Грина} $G^R(t,\boldr)$,
\unpause
то есть решение уравнения
\eq$$
\sqr G^R(t,\boldr)=\delta(t)\delta(\boldr)
\label<.>{GR-eq}
$$
с начальным условием
\eq$$
G^R(t,\boldr)=0\ \text{при $t<r$.}
\label<.>{GR-init}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Запаздывающая функция Грина: метод Фурье}
\unpause

Рассмотрим фурье"=преобразование
\eq$$
G^R(x)=\int{d^dk\over(2\pi)^d}\,\tilde G^R(k)e^{-ikx}.
\label<.>{GR-Fourier}
$$
\unpause
С другой стороны,
\eq$$
\delta(x)=\int{d^dk\over(2\pi)^d}\,e^{-ikx}.
\label<.>{delta-Fourier}
$$
\unpause
Подставляя это в уравнение $\sqr G^R(x)=\delta(x)$, получаем
\eq$$
(-ik)^2\tilde G^R(k)=1
\quad\Rightarrow\quad
\tilde G^R(k)=-{1\over k^2}.
\label<.>{tildeGR-gensolution}
$$
\unpause
Это решение \emph{недоопределено}, поскольку имеет особенность на «массовой поверхности» $k^2=0$ и интеграл (\ref{GR-Fourier}) неоднозначен.
\unpause
Иными словами, надо выбрать, как контур интегрирования по переменной $k^0$ обходит полюсы $k^0=\pm|\boldk|$.
\unpause

Потребуем, чтобы интеграл обращался в нуль при $t<0$.
\unpause
Множитель $e^{-ik^0t}$ стремится к нулю при $t<0$, если $\Im k^0\to+\infty$.
\unpause
Если мы выберем контур, который обходит полюсы \emph{сверху}, интеграл по нему обратится в нуль при $t<0$:
$$
\begin{tikzpicture}[]
\draw (-2.1,.9) node[circle,inner sep=1pt,draw] {$k^0$};
\draw[fill] (-1,0) circle (1pt) node[below] {$-|\boldk|$};
\draw[fill] (1,0) circle (1pt) node[below] {$|\boldk|$};
\alt<+->
  {\draw[-,thick,gray] (-1.5,0) -- (-1.1,0) arc(180:0:.1) -- (.9,0) arc (180:0:.1) -- (1.5,0);}
  {\draw[-,thick] (-1.5,0) -- (-1.1,0) arc(180:0:.1) -- (.9,0) arc (180:0:.1) -- (1.5,0);}
\uncover<.->{
\draw[dash pattern=on 2pt off 1pt,->,gray] (-1.2,.2) -- +(0,.5);
\draw[dash pattern=on 2pt off 1pt,->,gray] (0,.2) -- +(0,.5);
\draw[dash pattern=on 2pt off 1pt,->,gray] (1.2,.2) -- +(0,.5);
\draw[-,thick] (-1.5,.9) -- (1.5,.9) node[right,yshift=2pt,black] {$e^{-ik^0t}\to0$ при $t<0$};
}
\end{tikzpicture}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Запаздывающая функция Грина: ответы}
\unpause

При $t>0$ мы сдвигаем контур вниз
$$
\begin{tikzpicture}[]
\draw (-2.1,-.1) node[circle,inner sep=1pt,draw] {$k^0$};
\draw[fill] (-1,0) circle (1pt) node[below=1pt] {$-|\boldk|$};
\draw[fill] (1,0) circle (1pt) node[below=1pt] {$|\boldk|$};
\uncover<.>{\draw[-,thick] (-1.5,0) -- (-1.1,0) arc(180:0:.1) -- (.9,0) arc (180:0:.1) -- (1.5,0);}
\uncover<+->{
\draw[dash pattern=on 2pt off 1pt,->,gray] (-1.4,-.2) -- +(0,-.5);
\draw[dash pattern=on 2pt off 1pt,->,gray] (0,-.2) -- +(0,-.5);
\draw[dash pattern=on 2pt off 1pt,->,gray] (1.3,-.2) -- +(0,-.5);
\draw[-,thick] (-1,0) circle (.1); \draw[-{Stealth[length=3pt]}] ([shift={(150:.2)}]-1,0) arc (150:40:.2) -- +(-50:3pt);
\draw[-,thick] (1,0) circle (.1); \draw[-{Stealth[length=3pt]}] ([shift={(150:.2)}]1,0) arc (150:40:.2) -- +(-50:3pt);
\draw[-,thick] (-1.5,-.9) -- (1.5,-.9) node[right,yshift=2pt,black] {$e^{-ik^0t}\to0$ при $t>0$};
}
\end{tikzpicture}
$$
\unpause
и интеграл сводится к сумме вычетов по двум полюсам:
\eq$$
G^R(x)
=i\int{d^{d-1}k\over(2\pi)^{d-1}}\left(\res_{\omega=-|\boldk|}+\res_{\omega=|\boldk|}\right){e^{-i\omega t+i\boldk\boldr}\over\omega^2-\boldk^2}
=\int{d^{d-1}k\over(2\pi)^{d-1}}\,{e^{i\boldk\boldr}\sin|\boldk|t\over|\boldk|}.
\label<.>{GR-solution}
$$
\unpause
В четном числе измерений $d$ интеграл можно взять и функция $G^R(x)$ имеет носитель на световом конусе $x^2=0$, $t\ge0$ (кроме $d=2$). В нечетном числе измерений носитель содержит внутренность светового конуса: $x^2\ge0$, $t\ge0$.
\unpause

При \emph{$d=4$} запаздывающая функция Грина имеет простой вид
\eq$$
G^R(t,\boldr)={\delta(t-r)\over4\pi r}.
\label<.>{GR-d=4}
$$
\unpause
Соответственно, для гравитационных потенциалов имеем
\eq$$
\psi_{\mu\nu}(t,\boldr)=-4G\int d^3x'\,{T_{\mu\nu}(t-|\boldr-\boldr'|,\boldr')\over|\boldr-\boldr'|}.
\label<.>{psi-retarded}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Волновая зона}
\unpause

Здесь изменим обозначения: \emph{$\boldr\to\boldR$, $\boldr'\to\boldr$}:
\eq$$
\psi_{\mu\nu}(t,\boldR)=-4G\int d^3x\,{T_{\mu\nu}(t-|\boldR-\boldr|,\boldr)\over|\boldR-\boldr|}.
\tag{\ref{psi-retarded}}
$$
\unpause
Будем рассматривать гравитационные потенциалы в \emph{волновой зоне}, то есть на большом расстоянии $R$ от системы: $R\gg r_\text{ист},r_\text{ист}^2/\lambda$, где $r_\text{ист}$ "--- характерный размер области, где находится материя, $\lambda$ "--- характерная длина волны.
\unpause
В этом случае мы можем заменить $|\boldR-\boldr|$ в знаменателе на $R$.
\unpause
Однако в числителе такая замена приведет к ошибке из-за запаздывания.
\unpause
В волновой зоне имеем $|\boldR-\boldr|\simeq R-\boldn\boldr$, где $\boldn=\boldR/R$. Получаем
\eq$$
\psi_{\mu\nu}(t,\boldR)=-{4GM_{\mu\nu}(t-R,\boldn)\over R},
\quad
M_{\mu\nu}(t,\boldn)=\int d^3x\,T_{\mu\nu}(t+\boldn\boldr,\boldr).
\label<.>{psi-retarded-faraway}
$$
Величины $M_{\mu\nu}$ не преобразуются как компоненты тензора.
\unpause

Для удобства давайте расположим «приемник» на оси $x^1$: $\boldR=R\d_1$. Тогда
\eq$$
M_{\mu\nu}(t)\equiv M_{\mu\nu}(t,\d_1)=\int d^3x\,T_{\mu\nu}(t+x^1,\boldr).
\label<.>{Mmunu-def-x1}
$$
\unpause
Чтобы упростить вычисление этих величин, воспользуемся законами сохранения энергии и импульса.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Законы сохранения энергии и импульса}
\unpause

Из уравнения непрерывности имеем
$$
T_{0\nu,0}(t+x^1,\boldr)
=T_{k\nu,k\tikz[overlay] \node[left] (commak) {};}(t+x^1,\boldr\tikz[overlay] \node[left=-2pt] (boldrfirst) {};)
=\d_k\tikz[overlay] \node[left] (dk) {};T_{k\nu}(t+x^1\tikz[overlay] \node[left] (xone) {};,\boldr\tikz[overlay] \node[left] (boldrsecond) {};)
-T_{1\nu,0}(t+x^1,\boldr).
\uncover<+->{\tikz[overlay,red] \draw[->] (commak) to[bend right] (boldrfirst);}
\uncover<+->{\tikz[overlay,red] \draw[->] (dk) to[bend right] (xone); \tikz[overlay,red] \draw[->] (dk) to[bend right] (boldrsecond);}
$$%
\unpause
Положим
\eq$$
T^-_\nu=2T_{+\nu}=T_{0\nu}+T_{1\nu},
\quad
M^-_\nu(t)=M_{0\nu}(t)+M_{1\nu}(t).
\label<.>{M-nu-def}
$$
Это соответствует координатам светового конуса $x^\pm=x^0\pm x^1$.
\unpause
Отсюда получаем
\eq$$
\dot T^-_\nu(t+x^1,\boldr)=\d_kT_{k\nu}(t+x^1,\boldr).
\label<.>{Tconserv-1order-comp}
$$
\unpause
Отсюда имеем сохранение величин $M^-_\nu$:
\eq$$
\dot M^-_\nu=\int d^3x\,\dot T^-_\nu(t+x^1,\boldr)
=\int d^3x\,\d_kT_{k\nu}(t+x^1,\boldr)=0.
\label<.>{M-nu-conserv}
$$
\unpause
В самом деле, $M^-_\nu=P_\nu$, просто поверхность интегрирования была выбрана $x^-=\const$. Переходя к поверхности $t=\const$, имеем
\eq$$
M^-_0=\int d^3x\,T^0_0(t,\boldr)=M,
\qquad
M^-_i=0.
\label<.>{M+0-intrho}
$$
\unpause
Отсюда следует, что
\eq$$
\psi_{0\nu}(R\d_1)+\psi_{1\nu}(R\d_1)=-{4GM\over R}\eta_{0\nu}.
\label<.>{psi+=0}
$$
Это продольный вклад, который не устраняется остаточным калибровочным преобразованием. Но этот вклад отвечает постоянному полю $\omega=0$, а не гравитационной волне.
\unpause
Нас будут интересовать компоненты $M_{ab}$ отвечающие поперечному полю.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Выражение для $M_{ij}$. Шаг 1}
\unpause

Умножим уравнение сохранения импульса
\eq$$
\dot T^-_j(t+x^1,\boldr)=\d_kT_{kj}(t+x^1,\boldr)
\tag{\ref{Tconserv-1order-comp}a}
$$
на $x^i$ и проинтегрируем по всему пространству:
\Align*$$
&\d_0\int d^3x\,T^-_j(t+x^1,\boldr)x^i
\uncover<+->{{}=\int d^3x\,(\d_kT_{kj}(t+x^1,\boldr))x^i}
\\
&\quad
\uncover<+->{{}=\int d^3x\,\d_k(T_{kj}(t+x^1,\boldr)x^i)-\int d^3x\,T_{ij}(t+x^1,\boldr)}
\\
&\quad
\uncover<+->{{}={\red\alt<.>{\transparent0}{}\xcancel{\black\transparent1\int df_{0k}\,T_{ki}(t+x^1,\boldr)x^i}}-M_{ij}}
\\
&\quad
\uncover<+->{{}=-M_{ij}}.
$$
\unpause
Симметризуя по $i,j$, получаем
\eq$$
M_{ij}=-\d_0\int d^3x\,(T_{+i}(t+x^1,\boldr)x^j+T_{+j}(t+x^1,\boldr)x^i).
\label<.>{Mij-intT+j}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Выражение для $M_{ij}$. Шаг 2}
\unpause

Итак,
\eq$$
M_{ij}=-\d_0\int d^3x\,(T_{+i}(t+x^1,\boldr)x^j+T_{+j}(t+x^1,\boldr)x^i).
\tag{\ref{Mij-intT+j}}
$$
\unpause
Теперь возьмем уравнение при $\nu=+$ (то есть полусумму 0 и 1)
\eq$$
\dot T^-_+(t+x^1,\boldr)=\d_kT_{k+}(t+x^1,\boldr),
\tag{\ref{Tconserv-1order-comp}b}
$$
умножим на $x^ix^j$ и проинтегрируем по всему пространству:
\Align*$$
&\d_0^2\int d^3x\,{\red\overbrace{\black2T_{++}}^{\tikz[overlay] \node[above=-4pt] {\small$T^-_+$};}}(t+x^1,\boldr)x^ix^j
\uncover<+->{{}=\d_0\int d^3x\,(\d_kT_{+k}(t+x^1,\boldr))x^ix^j}
\\
&\quad
\uncover<+->{{\red\alt<.>{\transparent0}{}\xcancel{\black\transparent1{}=\d_0\int d^3x\,\d_k(T_{+k}(t+x^1,\boldr)x^ix^j)}}}
\\
&\qquad
\uncover<.->{{}-\d_0\int d^3x\,(T_{+i}(t+x^1,\boldr)x^j+T_{+j}(t+x^1,\boldr)x^i)}
\uncover<+->{{}=M_{ij}.}
$$
\unpause
Окончательно получаем
\eq$$
M_{ij}(t)=\d_0^2\int d^3x\,2T_{++}(t+x^1,\boldr)x^ix^j.
\label<.>{Mij-intT++}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Плоские поляризации}
\unpause

Как и раньше, определим две компоненты: $h_+={1\over2}(h_{22}-h_{33})={1\over2}(\psi_{22}-\psi_{33})$ и $h_\times=h_{23}=\psi_{23}$.
\unpause
Тогда
\eq$$
h_+(t,\boldR)=-{4GM_+(t-R,\boldn)\over R},
\qquad
h_\times(t,\boldR)=-{4GM_\times(t-R,\boldn)\over R},
\label<.>{h+*-M+*}
$$
\unpause
где
\eq$$\Aligned{
M_+(t)
&=\d_0^2\int d^3x\,T_{++}(t+x^1,\boldr)((x^2)^2-(x^3)^2),
\\
M_\times(t)
&=\d_0^2\int d^3x\,T_{++}(t+x^1,\boldr)\cdot2x^2x^3.
}\label<.>{M+*-def}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Нерелятивистский предел}
\unpause

Теперь рассмотрим нерелятивистский предел, в котором $|T_{0i}|,|T_{ij}|\ll|T_{00}|$ и компоненты тензора энергии"=импульса медленно меняются со временем, точнее почти не меняются на интервале времен $\sim r_\text{ист}$.
\unpause
Тогда мы можем положить
$$
T_{++}(t+x^1,\boldr)\simeq{1\over4}T_{00}(t,\boldr)={1\over4}\rho(t,\boldr).
$$
\unpause
Получаем
\eq$$\Aligned{
M_+(t)
&={1\over4}\,\d_0^2\int d^3x\,\rho(t,\boldr)\left((x^2)^2-(x^3)^2\right),
\\
M_\times(t)
&={1\over2}\,\d_0^2\int d^3x\,\rho(t,\boldr)x^2x^3.
}\label<.>{M+*-nonrel}
$$
\unpause
Удобно выразить их через \emph{квадрупольный момент} плотности энергии
\eq$$
D_{ij}(t)=\int d^3x\,\rho(t,\boldr)(3x^ix^j-r^2\delta_{ij}).
\label<.>{Dquadrup-def}
$$
Квадрупольный момент имеет нулевой след: $D_{ii}(t)=0$.
\unpause
Имеем
\eq$$\Aligned{
h_+(t,R\d_1)
&=-{G\over3R}(\ddot D_{22}(t-R)-\ddot D_{33}(t-R)),
\\
h_\times(t,R\d_1)
&=-{2G\over3R}\ddot D_{23}(t-R).
}\label<.>{h+*-nonrel}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Поток энергии}
\unpause

Из формулы $t^{\alpha\beta}={1\over32\pi G}h^{a,\alpha}_bh^{b,\beta}_a$ найдем плотность потока энергии:
\eq$$
t^{01}(t+R,R\d_3)={G\over36\pi R^2}\left(\left(\dddot D_{22}(t)-\dddot D_{33}(t)\over2\right)^2+\dddot D_{23}^2(t)\right).
\label<.>{t01-nonrelsource}
$$
\unpause
Для потока энергии в телесный угол имеем
\eq$$
dI(t,\d_1)=t^{01}(t+R,R\d_1)R^2\,do
={G\over36\pi}\left(\left(\dddot D_{22}(t)-\dddot D_{33}(t)\over2\right)^2+\dddot D_{23}^2(t)\right)do.
\label<.>{dI-x1-def}
$$
\unpause
Здесь мы «откатили» время назад, чтобы узнать потери энергии системой в момент времени~$t$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Суммирование по поляризациям}
\unpause

Мы хотим «освободиться» от специальной системы координат.
\unpause
В качестве первого шага освободимся от специального выбора базисных поляризаций.
\unpause
Формулу (\ref{dI-x1-def}) можно записать в виде
\eq$$
dI(t,\d_1)={G\over72\pi}\sum^2_{s=1}(\dddot D_{ij}e^{(s)}_{ij})^2\,do,
\label<.>{dI-x1-sumpolar}
$$
\unpause
где
\eq$$
e^{(1)}=e^{(+)}={\scriptsize\pMatrix{0&0&0\\0&1/\sqrt2&0\\0&0&-1/\sqrt2}},
\
e^{(2)}=e^{(\times)}={\scriptsize\pMatrix{0&0&0\\0&0&1/\sqrt2\\0&1/\sqrt2&0}}.
\label<.>{e(s)ij-x1-def}
$$
\unpause
Эти тензоры удовлетворяют условиям
\eq$$
e^{(s)}_{ii}=0,
\qquad
e^{(s)}_{ij}=e^{(s)}_{ji},
\qquad
e^{(s)}_{ij}n_j=0,
\qquad
e^{(s)}_{ij}e^{(s')}_{ij}=\delta^{ss'}.
\label<.>{e(s)ij-eq}
$$
\unpause
{\red$\blacktriangleright$} Формула (\ref{dI-x1-sumpolar}) верна для \emph{любой} пары трехмерных тензоров, удовлетворяющих этим четырем условиям.
\unpause
Перепишем (\ref{dI-x1-sumpolar}) для произвольного $\boldn$ в виде
\eq$$
dI(t,\boldn)={G\over72\pi}\dddot D_{ij}\dddot D_{kl}E_{ijkl}(\boldn)\,do,
\quad
E_{ijkl}(\boldn)=\sum^2_{s=1}e^{(s)}_{ij}(\boldn)e^{(s)}_{kl}(\boldn).
\label<.>{dI-sumpolar}
$$
\unpause
Найдем $E_{ijkl}(\boldn)$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Суммирование по поляризациям}
\unpause

Из свойств тензоров $e^{(s)}$ легко находим
$$
\Gathered{
E_{iikl}=0,
\quad
E_{ijkl}=E_{jikl}=E_{klij},
\quad
E_{ijkl}n_i=0,
\\
E_{2222}(\d_1)=E_{3333}(\d_1)=E_{2323}(\d_1)=-E_{2233}(\d_1)={\textstyle{1\over2}}.
}
$$
\unpause
Из второго свойства находим
\Align$$
E_{ijkl}
&=E_1n_in_jn_kn_l+E_2(n_in_j\delta_{kl}+n_kn_l\delta_{ij})
\notag
\\
&\quad+E_3(n_in_k\delta_{jl}+n_jn_k\delta_{il}+n_in_l\delta_{jk}+n_jn_l\delta_{ik})
\notag
\\
&\quad+E_4\delta_{ij}\delta_{kl}+E_5(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}).
\label{Eijkl-form}
$$
\unpause
Из остальных свойств получаем
\eq$$
E_1=E_2=-E_3=-E_4=E_5={\textstyle{1\over2}}.
\label<.>{Eijkl-solution}
$$
\unpause
Окончательно находим для интенсивности
\eq$$
dI(\boldn)={G\over36\pi}\left({1\over4}(\dddot D_{ij}n_in_j)^2+{1\over2}\dddot D_{ij}^2-\dddot D_{ij}\dddot D_{ik}n_jn_k\right)do.
\label{dI-final}
$$
\unpause
Интегрируя по углам, находим полную скорость потери энергии системой
\eq$$
-{d\cE\over dt}=I={G\over45}\dddot D_{ij}^2.
\label{I-final}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Открытие гравитационно"=волновых потерь}
\unpause

Для звездных систем эта потеря энергии очень мала, и может быть измерена только для тесных систем по измерению систематического изменения периода их обращения. Экспериментальное открытие таких радиационных потерь в 1979 Расселом Халсом и Джозефом Тейлором для системы из двух нейтронных звезд было первым подтверждением существования гравитационных волн. В 1991 году авторы открытия были удостоены Нобелевской премии.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Взаимодействие гравитационных волн с материей}
\unpause

\emph{1. Взаимодействие со сплошной средой.} Гравитационная волна вызывает изменение расстояния между точками:
$$
dl^{\prime2}=dl^2-h_{ij}\,dx^i\,dx^j.
$$
\unpause
Если она идет через сплошную среду, это приводи к деформации среды
$$
dl^{\prime2}=dl^2+2u_{ij}\,dx^i\,dx^j.
$$
\unpause
Поэтому деформация связана с потенциалами:
\eq$$
u_{ij}=-{1\over2}h_{ij},
\qquad
h_{ii}=0.
\label<.>{uij-hij-rel}
$$
\unpause
Мы предполагаем, что размер тела $l$, через которое проходит волна, достаточно велик, чтобы частоты собственных колебаний тела были много меньше частоты волны. Кроме того, мы будем считать, что скорость звука в среде много меньше скорости света. Тогда релаксацией среды можно пренебречь.
\unpause

Упругие свойства твердой изотропной среды определяются законом Гука
\eq$$
\sigma_{ij}=Ku_{kk}\delta_{ij}+2\mu\left(u_{ij}-{1\over3}\delta_{ij}u_{kk}\right).
\label<.>{Hooke-law}
$$
\unpause
Так как плотность среды при прохождении гравитационной волны не меняется, переменная часть тензора энергии"=импульса определяется сдвигами:
\eq$$
\Delta T_{ij}=-\Delta\sigma_{ij}=\mu h_{ij}.
\label<.>{DeltaT-elastic}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Взаимодействие гравитационных волн с материей}
\unpause

В результате уравнение движения волн имеет вид
\eq$$
\sqr\psi_{ij}+16\pi G\mu\psi_{ij}=0.
\label<.>{gwave-elastic-eq}
$$
\unpause

\emph{Задача 1.} Найдите закон дисперсии и групповую скорость волны в твердой среде.

{\alt<.(1)->{\transparent{0}}{}\red\hrule}
\unpause

\eq$$
\omega^2=\boldk^2+16\pi G\mu,
\quad
\boldv_{\text{гр}}={\d\omega\over\d\boldk}={\boldk\over\omega}<1.
\label<.>{gwave-elastic-dispersion}
$$
\unpause
В космосе этот эффект может реализовываться при прохождении гравитационной волны через межзвездный газ. В бесстолкновительном газе имеет место закон $pL=\const$, где $p$ "--- давление в некотором направлении, а $L$ "--- масштаб в этом же направлении. Тогда для газа со средним давлением $p$ имеем
\eq$$
\Delta T_{ij}=-pu_{ij}={p\over2}h_{ij}.
\label<.>{DeltaT-collisionless}
$$
Таким образом, межзвездный газ ведет себя как твердая среда с модулем сдвига~$\mu=p/2$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Взаимодействие гравитационных волн с материей}
\unpause

Для жидкости имеем
\eq$$
\sigma_{ij}=\zeta\dot u_{kk}\delta_{ij}+2\eta\left(\dot u_{ij}-{1\over3}\delta_{ij}\dot u_{kk}\right),
\label<.>{viscosity}
$$
где $\eta,\zeta$ "--- коэффициенты вязкости.
\unpause
Имеем
\eq$$
\sqr\psi_{ij}+16\pi G\eta\dot\psi_{ij}=0.
\label<.>{gwave-viscosity-eq}
$$
\unpause
\emph{Задача 2.} Найдите закон дисперсии для гравитационной волны в жидкости.

{\alt<.(1)->{\transparent{0}}{}\red\hrule}
\unpause

\eq$$
\omega^2+16\pi\i G\eta\omega=\boldk^2.
\label<.>{gwave-viscosity-dispersion}
$$
\unpause
Это значит, что частота имеет отрицательную мнимую часть, что отвечает поглощению.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Взаимодействие гравитационных волн с материей}
\unpause

\emph{2. Генерация гравитационной волны электромагнитной волной}

Рассмотрим электромагнитную волну, движущуюся в направлении $x^1$ и поляризованную в плоскости $(x^1,x^2)$. Ее тензор энергии"=импульса равен
\eq$$
T^{\bullet\bullet}=\pMatrix{S&S&0&0\\S&S&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0},
\qquad
S=E_0^2\cos^2\omega x^-.
\label<.>{T-el-planewave}
$$
\unpause
Он не содержит поперечных компонент, поэтому электромагнитная волна не порождает гравитационной.
\unpause
Чтобы это изменить, включим внешнее магнитное поле $\boldH_{\text{внеш}}=H_\perp\d_2+H_\parallel\d_3$.
\unpause

\emph{Задача 2.} Найдите компоненты $T_{23}$ и $T_{22}-T_{33}$ тензора энергии"=импульса электромагнитной волны во внешнем поперечном магнитном поле. Какова будет частота генерируемой гравитационной волны?

{\alt<.(1)->{\transparent{0}}{}\red\hrule}
\unpause

$$
\Gathered{
T_{23}
=-H_\perp E_0\cos\omega x^-+\const,
\\
{1\over2}(T_{22}-T_{33})
=H_\parallel E_0\cos\omega x^-+\const.
}
$$

\end{frame}

\end{document}
