% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,subcaption,cancel,transparent,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\sqr{\mathop\square\nolimits}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}\limits}
\def\Pl{{\text{Pl}}}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\e{{\rm e}}
\def\i{{\rm i}}
\def\cA{{\mathcal A}}
\def\cB{{\mathcal B}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cI{{\mathcal I}}
\def\cJ{{\mathcal J}}
\def\cK{{\mathcal K}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cR{{\mathcal R}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cT{{\mathcal T}}

\def\boldk{{\boldsymbol k}}
\def\boldn{{\boldsymbol n}}
\def\boldp{{\boldsymbol p}}
\def\boldr{{\boldsymbol r}}
\def\boldv{{\boldsymbol v}}
\def\boldA{{\boldsymbol A}}
\def\boldE{{\boldsymbol E}}
\def\boldH{{\boldsymbol H}}
\def\boldP{{\boldsymbol P}}
\def\boldR{{\boldsymbol R}}
\def\boldS{{\boldsymbol S}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\def\unpause{\onslide<+->\relax}

\begin{document}

\title[Лекция 10. Решение Шварцшильда]{Лекция 10. Решение Шварцшильда}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Сферически симметричные решения в плоском пространстве"=времени}
\unpause

Что такое «сферически симметричное решение»? Рассмотрим сначала теорию поля в плоском пространстве"=времени.
\unpause
Плоское пространство"=время обладает $SO(3)$"=симметрией, причем группа $SO(3)$ порождается генераторами
\eq$$
J_x=z\,\d_y-y\,\d_z,
\qquad
J_y=x\,\d_z-z\,\d_x,
\qquad
J_z=y\,\d_x-x\,\d_y,
\label<.>{Jxyz-def}
$$
\unpause
образующими алгебру Ли $so(3)\simeq su(2)$ относительно коммутатора:
\eq$$
[J_i,J_j]=\sum^z_{k=x}\epsilon^{ijk}J_k,
\qquad
\epsilon^{xyz}=1,
\qquad
\epsilon^{ijk}=-\epsilon^{jik}=-\epsilon^{ikj}.
\label<.>{Jxyz-so(3)}
$$
\unpause
Генераторы $J_i$ являются векторными полями Киллинга для плоской метрики.
\unpause
Пусть $A(x)$ "--- некоторое тензорное поле (сечение тензорного расслоения). Это поле \emph{сферически"=симметрично}, если выполняется равенство
\eq$$
\delta_{J_i}A=0.
\label<.>{deltaJiA}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Сферические координаты}
\unpause

Сферически"=симметричные решения удобно писать в сферический координатах $t,r,\vartheta,\varphi$,
\eq$$
x=r\sin\vartheta\cos\varphi,
\quad
y=r\sin\vartheta\sin\varphi,
\quad
z=r\cos\vartheta,
\label<.>{r-theta-varphi-def}
$$
\unpause
причем метрика будет даваться формулой
\eq$$
ds^2=dt^2-dr^2-r^2\,d\Omega^2,
\quad
d\Omega^2=d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2.
\label<.>{r-theta-varphi-metric-plane}
$$
($d\Omega^2$ "--- метрика на единичной сфере.)
\unpause

В этих координатах векторы Киллинга $J_i$ имеют вид
\eq$$
J_x=\sin\varphi\,\d_\vartheta+\ctg\vartheta\cos\varphi\,\d_\varphi,
\quad
J_y=-\cos\varphi\,\d_\vartheta+\ctg\vartheta\sin\varphi\,\d_\varphi,
\quad
J_z=-\d_\varphi.
\label<.>{Jxyz-spheric}
$$
Векторные поля $J_i$ действуют на сферах $r,t=\const$, причем группа $SO(3)$ действует на сфере транзитивно.
\unpause
Поэтому скалярные поля для сферически"=симметричного решения должны были бы быть функциями только от $r$ и~$t$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Сферически"=симметричная метрика}
\unpause

Мы будем называть метрику сферически"=симметричной, если в ней имеются пространственно"=подобные поля Киллинга, образующие алгебру Ли $so(3)$.
\unpause

Орбитой группы $SO(3)$ в четырехмерном пространстве является двумерная сфера. Выберем координаты $t,r,\vartheta,\varphi$ так, чтобы $t,r$ были бы постоянны на каждой сфере, а векторные поля Киллинга $J_i$ имели бы вид~(\ref{Jxyz-spheric}).
\unpause

Наложим условие
$$
J_{i\mu;\nu}+J_{i\nu;\mu}=0,
\qquad
J_{i\mu}=g_{\mu\nu}J_i^\nu,
$$
\unpause
Для $J_z$ имеем
\eq$$
0=J_{z\mu;\nu}+J_{z\nu;\mu}=-g_{\mu\varphi,\nu}-g_{\nu\varphi,\mu}+2\Gamma^\lambda_{\mu\nu}g_{\lambda\varphi}=-g_{\mu\nu,\varphi},
\label{g-phindep-sphericsym}
$$
$\Rightarrow$ компоненты метрики не зависят от~$\varphi$.
\unpause

Для $i=x,y$, $\mu,\nu=\vartheta,\varphi$ получаем
\eq$$
g_{\varphi\vartheta}=0,
\qquad
g_{\varphi\varphi}=g_{\vartheta\vartheta}\sin^2\vartheta,
\qquad
\d_\vartheta g_{\vartheta\vartheta}=0.
\label{g-angles-sphericsym}
$$
То есть индуцированная метрика на сфере ${}\sim d\Omega^2$ и $SO(3)$"=инвариантна.
\unpause

Для $\mu=r,t$, $\nu=\vartheta,\varphi$, немедленно получаем
\eq$$
g_{\alpha a}=0,
\qquad
\alpha=t,r,\quad a=\vartheta,\varphi,
\label{g-rad-angles-zero-sphersym}
$$
Это значит, что подпространства $\vartheta=\const$, $\varphi=\const$ ортогональны сферам.
\unpause
Кроме того, формы $J_{i\mu}\,dx^\mu$ лежат в кокасательных расслоениях сфер.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Сферически"=симметричная метрика}
\unpause

Итак,
$$
ds^2=g_{tt}\,dt^2+2g_{tr}\,dt\,dr+g_{rr}\,dr^2+g_{\vartheta\vartheta}\,d\Omega^2.
$$
\unpause
Теперь выбирая $\mu,\nu=t,r$, получаем
\eq$$
\d_\vartheta g_{\alpha\beta}=0,
\qquad
\alpha,\beta=t,r,
\label{g-thetaindep-sphericsym}
$$
\unpause
то есть все четыре функции \emph{$g_{tt}$, $g_{tr}$, $g_{rr}$, $g_{\vartheta\vartheta}$ зависят только от $t$ и~$r$}.
\unpause

Преобразованиями $t,r$ мы можем зафиксировать две функции.
\unpause
Положим
$$
g_{tr}=0,
\qquad
\uncover<.(1)->{g_{\vartheta\vartheta}=-r^2,}
$$
то есть направления $\d_t$ и $\d_r$ ортогональны, \uncover<+->{а площадь сферы $(t,r)$ равна $4\pi r^2$.}
\unpause

Полагая $g_{tt}=e^{2k}$, $g_{rr}=-e^{2h}$, получаем
\eq$$
ds^2=\e^{2k(t,r)}\,dt^2-\e^{2h(t,r)}\,dr^2-r^2\,d\Omega^2.
\label{ds2-central-symm}
$$
\unpause
Эту метрику мы подставим в уравнения Эйнштейна в вакууме
$$
R^\mu_\nu=0.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Символы Кристоффеля, тензор Риччи и уравнения поля}
\unpause

Будем точкой обозначать производную по $t$ и штрихом "--- по~$r$. Имеем для ненулевых символов Кристоффеля
\eq$$
\Aligned{
&\Gamma^t_{tt}=\dot k,
\qquad
\Gamma^t_{rt}=k',
\qquad
\Gamma^r_{tt}=k'\e^{2k-2h},
\\
&\Gamma^r_{rt}=\dot h,
\qquad
\Gamma^t_{rr}=\dot h\e^{2h-2k},
\qquad
\Gamma^r_{rr}=h',
\\
&\Gamma^\vartheta_{r\vartheta}=\Gamma^\varphi_{r\varphi}=r^{-1},
\qquad
\Gamma^r_{\vartheta\vartheta}=-r\e^{-2h},
\qquad
\Gamma^r_{\varphi\varphi}=-r\e^{-2h}\sin^2\vartheta,
\\
&\Gamma^\varphi_{\vartheta\varphi}=\ctg\vartheta,
\qquad
\Gamma^\vartheta_{\varphi\varphi}=-\sin\vartheta\cos\vartheta.
}\label{Gamma-central-symm}
$$
\unpause
Отсюда находим ненулевые компоненты тензора Риччи:
\eq$$
\Aligned{
R^t_t
&={\only<.(1)-.(4)>\blue(-\ddot h+\dot k\dot h-\dot h^2)\e^{-2k}}+({\only<.(2)-.(4)>\blue k''+k^{\prime2}-k'h'}+2r^{-1}k')\e^{-2h},
\\
R^r_r
&={\only<.(1)-.(4)>\blue(-\ddot h+\dot k\dot h-\dot h^2)\e^{-2k}}+({\only<.(2)-.(4)>\blue k''
+k^{\prime2}\tikz[overlay] \node[right] (ksquare) {};-k'h'}
-2r^{-1}\tikz[overlay] \node(hprime) {};h')\e^{-2h},
\\
R^t_r
&=2r^{-1}\e^{-2k}{\only<.(3)>\red\dot h}\tikz[overlay] \node[above] (hdot) {};,
\\
R^\vartheta_\vartheta
&=R^\varphi_\varphi=-r^{-2}({\only<.(5)>\red1+(rh'-\tikz[overlay] \node[left] (Rthth) {};rk'-1)\e^{-2h}}),
}\label{R-central-symm}
$$
\unpause
Получаем уравнения
$$
\Gathered{
\uncover<+->{k'+h'=0\tikz[overlay] \node[above] (khprimesum) {};,}\uncover<.>{\tikz[overlay] \draw[->] (hprime) to[bend left] (khprimesum);}
\quad
\uncover<+->{{\only<.>\red\dot h\tikz[overlay] \node[above right,xshift=4pt] (hdotzero) {};=0,}}
\uncover<.>{\tikz[overlay] \draw[->,red] (hdot) to[bend left] (hdotzero);}
\\
\uncover<+->{\only<.>\blue k''+k^{\prime2}-k'h'+\tikz[overlay] \node[above] (secondorddu) {};r^{-1}(k'-h')=0,}
\uncover<.>{\tikz[overlay] \draw[->,blue] (ksquare) to (secondorddu);}
\\
\uncover<+->{\only<.>\red r(k'-h')\tikz[overlay] \node[above right,xshift=3pt] (lasteq) {};=\e^{2h}-1.}
\uncover<.>{\tikz[overlay] \draw[->,red] (Rthth) to (lasteq);}
}
$$
\unpause

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Решение Шварцшильда}
\unpause

Итак
$$
\Gathered{
\only<.(1)>\blue
k'+h'=0,
\quad
\dot h=0,
\\
k''+k^{\prime2}-k'h'+r^{-1}(k'-h')=0,
\\
r(k'-h')=\e^{2h}-1.
}
$$
\unpause
Из первой строчки получаем
$$
k(t,r)=F(t)-h(r).
$$
\unpause
Заменой координат $t'=\int dt\,\e^{F(t)}$ получаем $e^{2k}dt^2=e^{2k-2F}dt^{\prime2}=e^{-2h}dt^{\prime2}$.
\unpause
Поэтому без потери общности имеем
$$
h=-k,
\qquad
{\only<.(2)>\red k''+2k^{\prime2}+{2k'\over r}=0,}
\qquad
{\only<.(1)>\red{2\,dk\over\e^{-2k}-1}={dr\over r}.}
$$
\unpause
{\only<.>\red Последнее} уравнение легко решается:
$$
\e^{2k}=1-{r_g\over r},
$$
где $r_g$ "--- константа интегрирования.
\unpause
{\only<.>\red Второе} уравнение тоже выполняется на этом решении.
\unpause

Итак, получаем
\eq$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r}\right)\,dt^2-{dr^2\over1-{r_g\over r}}-r^2\,d\Omega^2.
\label{Schwarzschild-metric}
$$
Это единственное (с точностью до замен координат) сферически"=симметричное решение уравнений Эйнштейна, называемое \emph{решением Шварцшильда}. Величина $r_g$ называется \emph{шварцшильдовским радиусом}.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Масса системы}
\unpause

Постоянную $r_g$ можно связать с массой $M$ системы.
\unpause
Рассмотрим асимптотику при $r\gg r_g$:
$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r}\right)\,dt^2-\left(1+{r_g\over r}\right)\,dr^2
-r^2\,d\Omega^2.
$$
\unpause
Эта асимптотика не соответствует калибровке из лекции~7, так как для нее $h=0\ \Rightarrow\ \psi_{rr}=h_{rr}=-r_g/r\ne0$.
\unpause

Выполним преобразование координат $r\to r+{r_g\over2}$. Тогда
$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r}\right)\,dt^2-\left(1+{r_g\over r}\right)\left(dr^2+r^2\,d\Omega^2\right).
$$
\unpause
Теперь $h_{ii}=h_{tt}=-{r_g\over r}$, $h={2r_g\over r}$ $\Rightarrow$ $\psi_{ii}=h_{ii}+{1\over2}h=0$, $\psi_{tt}=h_{tt}-{1\over2}h=-{2r_g\over r}$
\unpause
$\Rightarrow$ $-2r_g=A=-4GM$.
\unpause
Получаем
\eq$$
r_g=2GM.
\label{rg-Schwarzschild}
$$
\unpause
Важно понимать, что масса $M$ "--- это не масса «центрального тела», а энергия покоя всей системы в целом, включая гравитационное поле. Как мы увидим, центрального тела может вообще не существовать.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Сфера Шварцшильда}
\unpause
Физическое время в пространстве Шварцшильда течет медленнее, чем в асимптотической области:
\eq$$
\Delta\tau=\sqrt{1-{r_g\over r}}\,\Delta t.
\label{Deltatau-Schw}
$$
\unpause
Сфера $r=r_g$ (\emph{сфера Шварцшильда}) выделена тем, что на ней $g_{tt}=0$, $g_{rr}=\infty$. Время на этой сфере течет бесконечно медленно. При пересечении сферы Шварцшильда знаки $g_{tt}$ и $g_{rr}$ меняются, поэтому продолжение решения внутрь этой сферу проблематично.
\unpause

Измерим расстояния в пространстве Шварцшильда. Так как $g_{0i}=0$, расстояния на гиперплоскостях $t=\const$ даются метрикой $\gamma_{ij}=-g_{ij}$.
\unpause

Как мы уже говорили, на сферах расстояния
$$
dl_{\text{сф}}^2=r^2\,d\Omega^2
$$
совпадают с расстояниями на сфере радиуса~$r$.
\unpause

Радиальные расстояния
$$
dl_{\text{рад}}=\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1/2}dr.
$$
растут для данного $dr$ при приближении к сфере Шварцшильда.
\unpause
Однако расстояние от сферы Шварцшильда до любой точки пространства конечно. Пусть $r-r_g\ll r_g$. Тогда
$$
l_{\text{рад}}(r,r_g)=\int dr\,\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1/2}
\simeq\sqrt r_g\int{dr\over\sqrt{r-r_g}}=2\sqrt{r_g(r-r_g)}.
$$
То есть сфера Шварцшильда не удалена бесконечно.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Радиальные световые лучи в метрике Шварцшильда}
\unpause

В силу симметрии изотропные кривые в плоскости $\vartheta=\const$, $\varphi=\const$ являются геодезическими. Такие кривые легко найти.
\unpause
Полагая $ds=0$, находим
\eq$$
\cI^\pm:\ dt=\pm{dr\over1-{r_g\over r}}.
\label{isotr-cond-rad-Schw}
$$
\unpause
Эти два решения выглядят так:
$$
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (0,0) -- (5.5,0) node [anchor=north] {$r$};
\draw[->] (0,-.5) -- (0,3.5) node [anchor=west] {$t$};
\draw[-,line width=1.5pt] (1,-.5) -- (1,0) node [anchor=north west] {$r_g$}
  -- (1,2) node [anchor=south,rotate=90] {сфера Шварцшильда} -- (1,3.5);
\fill (2.5,0) circle(1.5pt);
\draw[-,domain=2.8:1.17] plot (\x,{2.5-\x-ln((\x-1)/1.5)}) node [anchor=north west] {\ $\cI^-$};
\draw[-,domain=2.25:4.8] plot (\x,{\x-2.5+ln((\x-1)/1.5)}) node [anchor=base east] {$\cI^+$};
\draw[-,domain=4.8:5] plot (\x,{\x-2.5+ln((\x-1)/1.5)});
\end{tikzpicture}
$$
\unpause
Луч $\cI^+$ в будущем уходит на бесконечность, а луч $\cI^-$ стремится к сфере Шварцшильда, никогда не достигая его.
\unpause
В прошлом все наоборот.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Радиальное движение частиц в метрике Шварцшильда}
\unpause

Поскольку массивные частицы движутся внутри светового конуса, \emph{в системе отсчета удаленного наблюдателя} частицы никогда не достигают сферы Шварцшильда.
\unpause

Изучим движение частиц подробнее. Так как $g^{tt}=-g_{rr}=1-{r_g\over r}$, имеем уравнение Гамильтона"--~Якоби
\eq$$
\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1}\left(\d S\over\d t\right)^2-\left(1-{r_g\over r}\right)\left(\d S\over\d r\right)^2=m^2.
\label{HJ-tr-Schw}
$$
\unpause
Будем решать уравнение методом разделения переменных. Положим
\eq$$
{\d S\over\d t}=-E,
\label{E-tr-Schw}
$$
Константа $E$ имеет смысл энергии частицы.
\unpause
Тогда
$$
S(t,r)=-Et+S_r(r),
$$
\unpause
и уравнение приобретает вид
$$
\left(dS_r\over dr\right)^2=E^2\left(1-{r_g\over r}\right)^{-2}-m^2\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1}.
$$
\unpause
Отсюда получаем
$$
S_r(r)=\pm\int dr\,{E\over1-{r_g\over r}}\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Радиальное движение частиц в метрике Шварцшильда}
\unpause

Дифференцируя полное действие $S(t,r,E)$ по параметру $E$, имеем
$$
-t_0={\d S\over\d E}=-t\pm\int{dr\over\left(1-{r_g\over r}\right)\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}},
$$
\unpause
то есть
\eq$$
t-t_0=\pm\int{dr\over\left(1-{r_g\over r}\right)\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}}
\label{timelike-eq-Schw}
$$
\unpause
Собственное время совпадает с $-S/m$, поэтому
\eq$$
ds=-{dS\over m}={E\over m}dt-{dS_r(r)\over m}=\pm{m\over E}{dr\over\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}}.
\label{ds-fall-Schw}
$$
\unpause
Найдем собственное время, соответствующее перемещению из точки $r=r_0$ в точку~$r_g$:
\eq$$
s_{\text{пад}}={m\over E}\int^{r_0}_{r_g}{dr\over\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}}.
\label{s-fall-r0-rg-Schw}
$$
\unpause
Это собственное время \emph{конечно}. Надо понять, покрывает ли построенная карта все многообразие. Для этого надо попробовать построить другую систему координат.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Радиальное движение частиц в метрике Шварцшильда}
\unpause

Заметим, что
\eq$$
ds={m\over E}\sqrt{1-{r_g\over r}}\,dt.
\label{ds-dt-fall-rel-Schw}
$$
\unpause
\begin{itemize}
\item Первый множитель ${m\over E}=\const$. Для бесконечно удаленной частицы ${m\over E}=\sqrt{1-v^2}$. Это "--- замедление времени в результате «начального» движения.
\unpause

\item Второй множитель $\sqrt{1-{r_g\over r}}$ можно интерпретировать гравитационное замедление времени.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Эддингтона"--~Финкельштейна}
\unpause

Найдем аналог переменных светового конуса, то есть такие функции $x^\pm$ переменных $t,r$, чтобы кривые $\cI^\pm$ записывались в виде $x^\mp=\const$.
\unpause
Это значит, что
\eq$$
dx^\pm=dt\pm{dr\over1-{r_g\over r}}.
\label{dUdV-Schw-def}
$$
\unpause
Интегрируя, получаем
\eq$$
x^\pm=t\pm r^*,
\qquad
r^*=r+r_g\log\left|{r\over r_g}-1\right|.
\label{UV-Schw-def}
$$
С их помощью мы построим несколько систем координат.
\unpause
Начнем с системы координат $(x^+,r,\vartheta,\varphi)$, называемой \emph{системой Эддингтона"--~Финкельштейна}.
\unpause
Получаем метрику в виде
\eq$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r}\right)(dx^+)^2-2\,dx^+\,dr-r^2\,d\Omega^2.
\label{ds2-EF-future-Schw}
$$
\unpause
Эта метрика \emph{нигде не вырождена} ($g=-r^4\sin^2\vartheta$), кроме точки $r=0$, где она имеет особенность. Мы можем \emph{гладко продолжать} многообразие в область $r\le r_g$.
\unpause

Теперь кривые $r=r_g$, $\vartheta,\varphi=\const$ являются изотропными геодезическими, входящими в семейство $\cI^+$ ($x^-=\const$).

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Эддингтона"--~Финкельштейна}
\unpause
\vspace{-20pt}
$$
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw[->] (0,0) -- (4.5,0) node [anchor=north] {$r$};
\draw[->] (0,-1) --  (0,2) node [anchor=south,rotate=90] {сингулярность $\cS^+$} -- (0,3.5) node [anchor=west] {$t'=x^+-r$};
\draw[-,line width=1.5pt] (1,-1) -- (1,0) node [anchor=north west] {$r_g$}
  -- (1,2.5) node [anchor=north,rotate=90,align=left] {горизонт\strut\\событий $\cH^+$} -- (1,3);
\fill (2.5,0) circle(1.5pt);
\draw[-] (3.5,-1) -- (2.5,0) -- (1.5,1) node [anchor=south west] {$\cI^-$} -- (0,2.5);
\draw[-,domain=2.11:3] plot (\x,{\x-2.5+2*ln((\x-1)/1.5)}) node [anchor=base east] {$\cI^+$};
\draw[-,domain=3:4] plot (\x,{\x-2.5+2*ln((\x-1)/1.5)});
\draw[dashed,domain=1.55:4] plot (\x,{ln((\x-1)/1.5)}) node [anchor=south east,rotate=23,yshift=-2pt] {\small\strut$t=\const$};
\end{tikzpicture}
\quad
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw[->] (0,0) -- (2.5,0) node [anchor=north] {$r$};
\draw[->] (0,-1) --  (0,2) node [anchor=south,rotate=90] {сингулярность $\cS^+$} -- (0,3.5) node [anchor=west] {$t'=x^+-r$};
\draw[-,line width=1.5pt] (1,-1) -- (1,0) node [anchor=north west] {$r_g$}
  -- (1,2.5) node [anchor=north,rotate=90,align=left] {горизонт\strut\\событий $\cH^+$} -- (1,3);
\fill (.7,0) circle(1.5pt);
\draw[-] (1.7,-1) -- (.7,0) -- (.1,.6) node [anchor=base west] {$\cI^-$} -- (0,.7);
\draw[-,domain=0:.5] plot (\x,{\x-.7+2*ln((1-\x)/.3)}) node [anchor=base west] {$\cI^+$};
\draw[-,domain=.5:.83] plot (\x,{\x-.7+2*ln((1-\x)/.3)});
\draw[dashed] (.7,-1) -- (.7,.75); \draw[dashed] (.7,1.1) -- node[rotate=90,above] {\small$r=\const$} (.7,3);
\end{tikzpicture}
$$
\unpause
Каждая сфера $r=\const$ с $r<r_g$ является \emph{ловушечной поверхностью}: она будет непременно сжиматься, если ее сделать материальной.
\unpause
Каждая линия $r=r_g$, $\vartheta,\varphi=\const$ является изотропной геодезической из семейства $\cI^+$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Горизонт событий и судьба частиц}
\unpause

Сфера $r=r_g$ является \emph{горизонтом событий} для уделенного наблюдателя: он не может получить информацию из-под этой сферы.
\unpause

Каждая частица, попавшая за горизонт событий, за конечное собственное время достигает сингулярности $r=0$.
\unpause
Чтобы это установить, сделаем обратное преобразование (\ref{UV-Schw-def}) от $({\red x^+},r,\vartheta,\varphi)$ к $({\red t},r,\vartheta,\varphi)$ при $r<r_g$. Мы попадем в область $r<r_g$ координат Шварцшильда.
\unpause
(Эта область не сшивается гладко с областью $r>r_g$ в силу модуля под логарифмом.)
\unpause
Тогда формула (\ref{ds-fall-Schw}) для $ds$ верна и в области $r<r_g$. Значит собственное время падения частицы с нулевым моментом от горизонта на сингулярность равно
\eq$$
s_\text{синг}={m\over E}\int^{r_g}_0{dr\over\sqrt{1-{m^2\over E^2}\left(1-{r_g\over r}\right)}}.
\label{s-fall-II-Schw}
$$
Это время конечно.
\unpause
Область внутри горизонта событий называется \emph{черной дырой}.
\unpause

Горизонт событий никак не выделен локально: он определяется только глобально структурой пространства"=времени. Падающий в черную дыру наблюдатель не заметит, как пересечет горизонт событий (конечно, если выдержит приливные силы вблизи и внутри черной дыры).

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Связь систем координат}
\unpause

Область $r>r_g$ в координатах Эддингтона"--~Финкельштейна совпадает с областью $r>r_g$ в координатах Шварцшильда.
\unpause

Область $r<r_g$ в координатах Эддингтона"--~Финкельштейна можно сопоставить с областью $r<r_g$ в координатах Шварцшильда.
\unpause

Но непрерывный переход от одной области к другой происходит именно в координатах Эддингтона"--~Финкельштейна.
\unpause
При этом весь горизонт событий $r=r_g$ в координатах Эддингтона"--~Финкельштейна соответствует единственной точке $r\to r_g+0$, $t\to+\infty$ в координатах Шварцшильда. Это нефизическое вырождение, которое снимают координаты Эддингтона"--~Финкельштейна.
\unpause
Наоборот вся линия $r=r_g$, $\vartheta,\varphi=\const$ в координатах Шварцшильда является \emph{единственной точкой} на многообразии.
\unpause

Координаты Эддингтона"--~Финкельштейна нарушают симметрию относительно обращения времени. Как быть?
\unpause
Обращение времени $t\to-t$ отвечает замене $x^+\leftrightarrow-x^-$.
\unpause
Это дает вторую систему координат Эддингтона"--~Финкельштейна
\eq$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r}\right)(dx^-)^2+2\,dx^-\,dr-r^2\,d\Omega^2.
\label{ds2-EF-past-Schw}
$$
\unpause
В этой системе предыдущая картинка перевернута. Все частицы, находящиеся в области $r<r_g$ \emph{родились на сингулярности}. Они достигают горизонта событий за конечное собственное время и могут выйти наружу.
\unpause
Это {\red другая сингулярность}: \emph{белая дыра}.
\unpause
Поверхность $r=r_g$ в этой системе координат является \emph{горизонтом событий прошлого} для удаленного наблюдателя.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Крускала}
\unpause

Перейдем к координатам $(x^-,x^+,\vartheta,\varphi)$. В области $r>r_g$ мы можем задать функцию $r(x^-,x^+)$ уравнением
$$
\uncover<.(5)>{\llap{\red$\displaystyle-4r_g^2\tikz[overlay] \node(expr) {};\exp{1\over r_g}\Biggl($}}
{x^+-x^-\over2}=r(x^-,x^+)+r_g\log\left({r(x^-,x^+)\over r_g}-1\right),
\uncover<.(5)>{\rlap{\red$\displaystyle\Biggr)$}}
$$%
поэтому переход от координат Шварцшильда к этим координатам обратим.
\unpause
Метрика
\eq$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r(x^-,x^+)}\right)\,dx^-\,dx^+-r^2(x^-,x^+)\,d\Omega^2
\label{ds2-UV-Schw}
$$
имеет особенность при $r=r_g$.
\unpause
Чтобы избавиться от этой особенности, давайте «подожмем» координаты $x^\pm$ так, чтобы новые координаты оставались конечными при $r=r_g$, то есть при $x^-\to+\infty$ или $x^+\to-\infty$:
\unpause
\eq$$
u=-2r_g\e^{-x^-/2r_g}<0,
\qquad
v=2r_g\e^{x^+/2r_g}>0.
\label{uv-Schw-def}
$$
\unpause
Координаты $(u,v,\vartheta,\varphi)$ называются \emph{координатами Кр\'{у}скала}. Уравнение для $r$ приобретает вид
\unpause
\eq$$
\tikz[overlay] \node(uv) {};
uv=-4r_g^2\e^{r(u,v)\over r_g}\left({r(u,v)\over r_g}-1\right).
\uncover<.>{\tikz[overlay] \draw[->,red] (expr) to[bend right] (uv);}
\label{uv-r-eq}
$$
\unpause
Метрика в координатах Крускала уже не содержит особенности при $r=r_g$:
\eq$$
ds^2={r_g\over r(u,v)}\e^{-{r(u,v)\over r_g}}\,du\,dv-r^2(u,v)\,d\Omega^2.
\label{ds2-uv-Schw}
$$
\unpause
Координаты $u,v$ уже легко продолжаются в области $u>0$ и $v<0$, где $r<r_g$.
\vspace{5pt}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Диаграмма Пенроуза для координат Крускала}
\unpause

Используя дополнительное сжатие переменных $u=2r_g\tg u'$, $v=2r_g\tg v'$,
\unpause
можно изобразить пространство"=время для решения Шварцшильда так:
$$
\begin{tikzpicture}[scale=2.2]
\draw
  (-2,0) node [anchor=east] {$\bar i^0$} -- node [anchor=south,rotate=45] {$\bar\cJ^+$} node [anchor=north,rotate=45] {$u=+\infty$} (-1,1)
  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$\bar\cH^+$} node [anchor=north,rotate=-45] {$r=r_g$} (0,0)% node [anchor=west] {\ $r=r_g$}
  -- node [anchor=south,rotate=45] {$\cH^+$} node [anchor=north,rotate=45] {$r=r_g,\ t=+\infty$} (1,1)
  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$\cJ^+$} node [anchor=north,rotate=-45] {$v=+\infty,\ t=+\infty$} (2,0) node [anchor=west] {$i^0$}
  -- node [anchor=north,rotate=45] {$\cJ^-$} node [anchor=south,rotate=45] {$u=-\infty,\ t=-\infty$} (1,-1)
  -- node [anchor=north,rotate=-45] {$\cH^-$} node [anchor=south,rotate=-45] {$r=r_g,\ t=-\infty$} (0,0)
  -- node [anchor=south,rotate=45] {$\bar\cH^-$} node [anchor=north,rotate=45] {$r=r_g$} (-1,-1)
  -- node [anchor=north,rotate=-45] {$\bar\cJ^-$} node [anchor=south,rotate=-45] {$v=-\infty$} (-2,0);
\draw[dotted] (-1,1) node [anchor=south west] {$\bar i^+$}
  -- node [anchor=south] {сингулярность $\cS^+$} node [anchor=north] {$uv=4r_g^2$} (1,1) node [anchor=south east] {$i^+$};
\draw[dotted] (-1,-1) node [anchor=north] {$\bar i^-$}
  -- node [anchor=north] {сингулярность $\cS^-$\vrule width 0pt height 7pt} node [anchor=south] {$uv=4r_g^2$} (1,-1) node [anchor=north] {$i^-$};
\draw[->] (-1,1) -- (-1.15,1.15) node [anchor=north,rotate=-45] {$u$}; 
\draw[->] (1,1) -- (1.15,1.15) node [anchor=north,rotate=45] {$v$}; 
\draw (1,0) node {$I$};
\draw (0,.6) node {$II$};
\draw (0,-.6) node {$III$};
\draw (-1,0) node {$IV$};
%\draw
%  (-2,0) node [anchor=east] {$\bar i^0$} -- node [anchor=south,rotate=45] {$\bar\cJ^+$} node [anchor=north,rotate=45] {$u=+\infty$} (-1,1)
%  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$\bar\cH^+$} node [anchor=north,rotate=-45] {$v=0$} (0,0) node [anchor=west] {\ $r=r_g$}
%  -- node [anchor=south,rotate=45] {$\cH^+$} node [anchor=north,rotate=45] {$u=0,\ t=+\infty$} (1,1)
%  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$\cJ^+$} node [anchor=north,rotate=-45] {$v=+\infty,\ t=+\infty$} (2,0) node [anchor=west] {$i^0$}
%  -- node [anchor=north,rotate=45] {$\cJ^-$} node [anchor=south,rotate=45] {$u=-\infty,\ t=-\infty$} (1,-1)
%  -- node [anchor=north,rotate=-45] {$\cH^-$} node [anchor=south,rotate=-45] {$v=0,\ t=-\infty$} (0,0)
%  -- node [anchor=south,rotate=45] {$\bar\cH^-$} node [anchor=north,rotate=45] {$u=0$} (-1,-1)
%  -- node [anchor=north,rotate=-45] {$\bar\cJ^-$} node [anchor=south,rotate=-45] {$v=-\infty$} (-2,0);
%\draw[dotted] (-1,1) node [anchor=south west] {$\bar i^+$}
%  -- node [anchor=south] {сингулярность $\cS^+$} node [anchor=north] {$uv=4r_g^2$} (1,1) node [anchor=south east] {$i^+$};
%\draw[dotted] (-1,-1) node [anchor=north] {$\bar i^-$}
%  -- node [anchor=north] {сингулярность $\cS^-$\vrule width 0pt height 7pt} node [anchor=south] {$uv=4r_g^2$} (1,-1) node [anchor=north] {$i^-$};
%\draw[->] (-1,1) -- (-1.15,1.15) node [anchor=north,rotate=-45] {$u$}; 
%\draw[->] (1,1) -- (1.15,1.15) node [anchor=north,rotate=45] {$v$}; 
%\draw (1,0) node {$I$};
%\draw (0,.6) node {$II$};
%\draw (0,-.6) node {$III$};
%\draw (-1,0) node {$IV$};
\end{tikzpicture}
$$
\begin{itemize}
\item<+->$I$ "--- «внешняя» область, покрываемая картой Шварцшильда;
\item<+->$II$ "--- черная дыра;
\item<+->$III$ "--- белая дыра;
\item<+->$IV$ "--- «зеркальный» мир, не наблюдаемый из области $I$.
\end{itemize}
\vspace{5pt}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Шварцшильда на диаграмме Пенроуза}
\unpause

Схематично изобразим шварцшильдовские координаты $t$ (красные) и $r$ (синие) в области~$I$ диаграммы Пенроуза:
$$
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[-,line width=1pt]
  (0,0) node [anchor=north east] {$r=r_g$\ }
  -- node [anchor=south,rotate=45] {$\cH^+$} (1,1) node [anchor=west] {\ $i^+:t=+\infty$}
  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$\cJ^+$} (2,0) node [anchor=west] {$i^0:r=\infty$}
  -- node [anchor=north,rotate=45] {$\cJ^-$} (1,-1) node [anchor=north] {$i^-:t=-\infty$}
  -- node [anchor=north,rotate=-45] {$\cH^-$} (0,0);
\draw[->] (0,0) -- (-.15,.15) node [anchor=north,rotate=-45] {$u$}; 
\draw[->] (1,1) -- (1.15,1.15) node [anchor=north,rotate=45] {$v$};
\draw[blue] plot [smooth] coordinates {(0,0) (.41,.4) (.72,.7) (1,.87) (1.28,.7) (1.59,.4) (2,0)};
\draw[blue] plot [smooth] coordinates {(0,0) (.53,.5) (1,.8) (1.47,0.5) (2,0)};
\draw[blue] plot [smooth] coordinates {(0,0) (1,.7) (2,0)};
\draw[blue] plot [smooth] coordinates {(0,0) (1,.5) (2,0)};
\draw[blue] plot [smooth] coordinates {(0,0) (1,0) (2,0)};
\draw[blue] plot [smooth] coordinates {(0,0) (1,-.5) (2,0)};
\draw[blue] plot [smooth] coordinates {(0,0) (.53,-.5) (1,-.8) (1.47,-0.5) (2,0)};
\draw[blue] plot [smooth] coordinates {(0,0) (.41,-.4) (.72,-.7) (1,-.87) (1.28,-.7) (1.59,-.4) (2,0)};
\draw[red] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (.6,0) (1,1)};
\draw[red] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (1.1,0) (1,1)};
\draw[red] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (1.4,0) (1,1)};
\draw[red] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (1.58,0) (1,1)};
\draw[red] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (1.67,0) (1,1)};
\draw[red] plot [smooth] coordinates {(1,-1) (1.73,0) (1,1)};
\end{tikzpicture}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Гравитационное поле статического сферически"=симметричного тела}
\unpause

Рассмотрим жидкое сферически симметричное тело с тензором энергии"=импульса
$$
T^t_t=\rho(r),
\qquad
T^r_r=T^\vartheta_\vartheta=T^\varphi_\varphi=-p(r).
$$
\unpause
\emph{Задача 1.} Напишите уравнения Эйнштейна для такого тела в случае сферически симметричного гравитационного поля.

\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
$$
\Gathered{
\dot h=0,
\\
r^{-1}\e^{-2h}(k'+h')=4\pi G(\rho+p),
\\
\e^{-2h}(k''+k^{\prime2}-k'h'+r^{-1}(k'-h'))=8\pi Gp,
\\
r^{-2}(1-\e^{-2h})+r^{-1}(h'-k')\e^{-2h}=4\pi G(\rho-p).
}
$$
\unpause
\emph{Задача 2.} Отделите уравнение для $h(r)$ и решите его.

\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
\eq$$
\e^{-2h}=1-{2Gm(r)\over r},
\qquad
m(r)=4\pi\int^r_0dr\,r^2\rho(r).
\label{h-m(r)-rel}
$$
\unpause
\emph{Задача 3.} Найдите $k'$.

\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
$$
{dk\over dr}=G{m(r)+4\pi r^3p(r)\over r(r-2Gm(r))}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Гравитационное поле статического сферически"=симметричного тела}
\unpause

\emph{Задача 4.} Подставьте результаты в третье уравнение и получите уравнение на давление.

\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
\emph{Условие статического равновесия Оппенгеймера"--~Волкова}:
\eq$$
{dp\over dr}=-G{(\rho+p)(m(r)+4\pi r^3p(r))\over r(r-2Gm(r))}.
\label{OV-eq}
$$
\unpause

Критерий устойчивости невращающейся звезды радиуса $R$:
\eq$$
r>2Gm(r)\quad\forall r<R.
\label{star-stablity}
$$
\unpause

\emph{Задача 5.} Найдите предельную массу звезды из несжимаемой жидкости плотности $\rho$.

\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
\eq$$
M_\text{max}=\sqrt{3\over32\pi\rho G^3}.
\label{Mmax-incompressible}
$$
\unpause
Для нейтронной звезды плотности $\rho\simeq3\cdot10^{14}\>\text{g}/\text{cm}^3$ имеем $M_\text{max}\simeq6.6M_\odot$, где $M_\odot$ "--- масса Солнца. Эта оценка сильно завышена, поскольку реальная звезда состоит из сжимаемого вещества.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Гравитационное поле статического сферически"=симметричного тела}
\unpause

\emph{Задача 6.} Решите уравнение Оппенгеймера"--~Волкова для газа с уравнением состояния $p=\alpha\rho$ и найдите критерий устойчивости.

\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
\eq$$
m(r)=Kr,
\qquad
K={2\alpha\over\alpha^2+6\alpha+1}G^{-1},
\label{VO-solution}
$$
Критерий устойчивости $K<(2G)^{-1}$ всегда выполнен. Поэтому устойчивость будет зависеть от уравнения состояния на малых плотностях.




\end{frame}

\end{document}
