% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,subcaption,cancel,transparent,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\sqr{\mathop\square\nolimits}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}\limits}
\def\Pl{{\text{Pl}}}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\e{{\rm e}}
\def\i{{\rm i}}
\def\cA{{\mathcal A}}
\def\cB{{\mathcal B}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cI{{\mathcal I}}
\def\cJ{{\mathcal J}}
\def\cK{{\mathcal K}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cR{{\mathcal R}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cT{{\mathcal T}}

\def\boldk{{\boldsymbol k}}
\def\boldn{{\boldsymbol n}}
\def\boldp{{\boldsymbol p}}
\def\boldr{{\boldsymbol r}}
\def\boldv{{\boldsymbol v}}
\def\boldA{{\boldsymbol A}}
\def\boldE{{\boldsymbol E}}
\def\boldH{{\boldsymbol H}}
\def\boldP{{\boldsymbol P}}
\def\boldR{{\boldsymbol R}}
\def\boldS{{\boldsymbol S}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\def\unpause{\onslide<+->\relax}

\begin{document}

\title[Лекция 11. Движение частицы в метрике Шварцшильда]{Лекция 11. Движение частицы в метрике Шварцшильда}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Разделение переменных}
\unpause

Изучим движение частицы в метрике Шварцшильда. Поскольку движение происходит в одной плоскости, выберем плоскость $\vartheta={\pi\over2}$.
\unpause
Напишем уравнение Гамильтона"--~Якоби:
\eq$$
\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1}\left(\d S\over\d t\right)^2-\left(1-{r_g\over r}\right)\left(\d S\over\d r\right)^2
-{1\over r^2}\left(\d S\over\d\varphi\right)^2-m^2=0.
\label{HJ-Schw}
$$
\unpause
Переменные $t,\varphi$ не входят явно в уравнение. Поэтому полагаем
\eq$$
{\d S\over\d t}=-E,
\qquad
{\d S\over\d\varphi}=J.
\label<.>{EM-Schw-def}
$$
\unpause
Здесь $E$ представляет собой энергию частицы, а $J$ "--- момент импульса в направлении оси~$z$.
\unpause
Имеем
\eq$$
S(E,J,t,r,\varphi)=-Et+J\varphi+S_r(E,J,r).
\label<.>{S-Schw-decomp}
$$
\unpause
Отсюда получаем
$$
{E^2\over1-{r_g\over r}}-\left(1-{r_g\over r}\right)\left(\d S\over\d r\right)^2
-{J^2\over r^2}-m^2=0.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Разделение переменных}
\unpause

Подставляя это в уравнение (\ref{HJ-Schw}) и интегрируя по $r$, получаем
\eq$$
\Aligned{
S_r(E,J,r)
&=\pm\int dr\,\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1}\sqrt{F(E,J,r)},
\\
F(E,J,r)
&=E^2-U^2(J,r)=E^2-\left(m^2+{J^2\over r^2}\right)\left(1-{r_g\over r}\right).
}\label<.>{Sr-Schw-fin}
$$
\unpause
Величина $U(J,r)$ играет роль потенциальной энергии.
\unpause

Теперь продифференцируем действие $S=-Et+J\varphi+S_r(E,J,r)$ по константам $E,J$:
\eq$$
{\d S\over\d E}=-t_0,
\qquad
{\d S\over\d J}=\varphi_0,
\label<.>{Jeqs-Schw}
$$
\unpause
Явно получаем
\Align$$
t
&=t_0\pm E\int^r_{r_0}{dr\over\left(1-{r_g\over r}\right)\sqrt{F(E,J,r)}},
\label{t-r-rel}
\\
\varphi
&=\varphi_0\pm J\int^r_{r_0}{dr\over r^2\sqrt{F(E,J,r)}}.
\label{varphi-r-rel}
$$
Для собственного времени имеем
\eq$$
\tau=\tau_0\pm m\int^r_{r_0}{dr\over\sqrt{F(E,J,r)}}.
\label{tau-r-rel}
$$
\unpause
Формально задача разделения переменных решена.
\unpause
Однако это решение локальное в окрестности любой точки, где $F(E,J,r)>0$. Теперь надо изучить глобальное устройство мировых линий.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пределы радиального движения частицы}
\unpause

В каких пределах может меняться радиальная координата~$r$ при движении частицы?
\unpause
Это определяется условием неотрицательности выражения под корнем:
\eq$$
F(E,J,r)\ge0,
\qquad
r>0.
\label<.>{FEJr-nonneg}
$$
\unpause
Обратим внимание, что уравнение можно решать и при $r>r_g$ и при $r<r_g$, причем траектория переходит из одной области в другую непрерывно,
\unpause
в то время как время $t$ испытывает бесконечных разрыв в силу логарифмической расходимости в~(\ref{t-r-rel}). Это связано с тем, что шварцшильдовские карты не сшиваются непрерывно.
\unpause

Решения уравнения
\eq$$
F(E,J,r_*)\equiv E^2-U^2(J,r_*)=0
\label{FEJr-turningpoints}
$$
дают \emph{точки поворота}, где направление радиального движения (знаки $\pm$ в (\ref{t-r-rel}), (\ref{varphi-r-rel})) меняется на противоположное.
\unpause

Обратим внимание, что
$$
U^2(J,\infty)=m^2,
\quad
U^2(J,r_g)=0.
$$
Это две точки, через которые обязательно проходит график функции $U^2(J,r)$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Виды движения частицы}
\unpause

Рассмотрим основные виды движения частицы в метрике Шварцшильда:
\begin{enumerate}
\item<.(1)->Инфинитное движение: $\cJ^-\to(r=R_\text{min}>r_g)\to\cJ^+$.

\item<.(2)->«Инфинитно"=сингулярное» движение: $\cJ^-\to\cH^+\to\cS^+$ \uncover<.(3)->{или $\cS^-\to\cH^-\to\cJ^+$.}

\item<.(4)->Финитное («орбитальное») движение: $R_\text{min}\le r\le R_\text{max}$.

\item<.(5)->«Финитно"=сингулярное» движение: $\cS^-\to\cH^-\to(r=r_\text{max})\to\cH^+\to\cS^+$.

\end{enumerate}

$$
\begin{tikzpicture}[scale=2.2]
\draw[thick]
  (-2,0) node [anchor=east] {$\bar i^0$} -- node [anchor=south,rotate=45] {$\bar\cJ^+$} (-1,1)
  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$\bar\cH^+$} (0,0)
  -- node [anchor=south,rotate=45] {$\cH^+$} (1,1)
  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$\cJ^+$} node[pos=.6,inner sep=0pt,minimum size=0pt] (outputinf) {} (2,0) node [anchor=west] {$i^0$}
  -- node [anchor=north,rotate=45] {$\cJ^-$} node[pos=.65,inner sep=0pt,minimum size=0pt] (inputinf) {} (1,-1)
  -- node [anchor=north,rotate=-45] {$\cH^-$} (0,0)
  -- node [anchor=south,rotate=45] {$\bar\cH^-$} (-1,-1)
  -- node [anchor=north,rotate=-45] {$\bar\cJ^-$} (-2,0);
\draw[dotted,thick] (-1,1) node [anchor=south west] {$\bar i^+$}
  -- node [anchor=south] {сингулярность $\cS^+$} node[pos=.6,inner sep=0pt,minimum size=0pt] (outputsing) {} (1,1) node [anchor=south east] {$i^+$};
\draw[dotted,thick] (-1,-1) node [anchor=north] {$\bar i^-$}
  -- node [anchor=north] {сингулярность $\cS^-$\vrule width 0pt height 7pt} node[pos=.8,inner sep=0pt,minimum size=0pt] (inputsing) {} (1,-1) node [anchor=north] {$i^-$};
\draw[->] (-1,1) -- (-1.15,1.15) node [anchor=north,rotate=-45] {$u$}; 
\draw[->] (1,1) -- (1.15,1.15) node [anchor=north,rotate=45] {$v$}; 
\uncover<+>{\draw[blue] (inputinf) to[bend left] node[pos=.42,fill,circle,scale=.3] {} node[pos=.42,left] {$r=R_\text{min}$} (outputinf);}
\uncover<+>{\draw[red] (inputinf) to[out=110,in=-70] (outputsing);}
\uncover<+>{\draw[red] (inputsing) to[out=70,in=-125] (outputinf);}
\uncover<+>{\draw[green!60!black,domain=-.99:.99,samples=400]
  plot[parametric,id=finitemovement] function{1+.2*cos(1.5708*t)*(1+.3*cos(1.5708*8*t/sqrt(1-t*t))),t};
  \draw[green!60!black,dashed,thin,domain=-.99:.99,samples=100]
    plot[parametric,id=finitemovement-inner] function{1+.14*cos(1.5708*t),t}; \draw[green!60!black] (1.14,0) node[left] {$r=R_\text{min}$};
  \draw[green!60!black,dashed,thin,domain=-.99:.99,samples=100]
    plot[parametric,id=finitemovement-outer] function{1+.26*cos(1.5708*t),t}; \draw[green!60!black] (1.26,0) node[right] {$r=R_\text{max}$};}
\uncover<+>{\draw[magenta] (inputsing) to[out=85,in=-80] node[pos=.42,fill,circle,scale=.3] {} node[pos=.42,right] {$r=r_\text{max}$} (outputsing);}
\end{tikzpicture}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Точки поворота. Случай $J=0$}
\unpause

Функция $F(E,J,r)$ является полиномом третьей степени обратного расстояния $\xi=r^{-1}$:
$$
F(E,J,\xi^{-1})=r_gJ^2\xi^3-J^2\xi^2+m^2r_g\xi+E^2-m^2.
$$
Поэтому она имеет не более трех положительных корней.
\unpause

Начнем со случая $J=0$. В этом случае функция $F$ линейна по $\xi$:
$$
F(E,J,\xi^{-1})=m^2r_g\xi+E^2-m^2,
$$
\unpause
и уравнение $F=0$ имеет единственный корень, отвечающий точке
$$
r_\text{max}={r_g\over1-E^2/m^2}.
$$
\vspace{-10pt}
\begin{itemize}
\item<+->Если $E>m$, точек поворота нет и движение «инфинитно"=сингулярное».
\item<+->Если $E<m$, имеем $r_\text{max}>0$, и это точка поворота. Так как $E^2\ge0$, имеем $r_\text{max}\ge r_g$. Движение «финитно"=сингулярное».
\end{itemize}
$$
\uncover<.(-1)->{\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[->] (0,0) -- (1,0) node [anchor=north east] {$r_g^{-1}$} -- (1.4,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[->] (0,-.2) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.4) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-] (1,-.2) -- (1,1.4);
\draw[-,line width=1pt] (0,1) -- (1.2,-.2);
\draw[-] (0,1.2) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.4,1.2);
\end{tikzpicture}}
\qquad
\uncover<.->{\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[->] (0,0) -- (1,0) node [anchor=north east] {$r_g^{-1}$} -- (1.4,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[->] (0,-.2) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.4) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-] (1,-.2) -- (1,1.4);
\draw[-,line width=1pt] (0,1) -- (1.2,-.2);
\draw[dotted] (0,.7) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.3,.7); \draw[-] (.3,.7) -- (1.4,.7);
\draw[dashed] (.3,.7) -- (.3,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
\end{tikzpicture}}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Точки поворота. Случай $|J|\le\sqrt3mr_g$}
\unpause

Исследуем корни уравнения
\eq$$
F(E,J,\xi_*^{-1})\equiv r_gJ^2\xi_*^3-J^2\xi_*^2+m^2r_g\xi_*+E^2-m^2=0.
\label{F=0-xi-eq}
$$
\unpause
Для этого сначала найдем экстремумы функции $F$:
\eq$$
\Gathered{
\xi_\pm={1\over3r_g}\left(1\pm\sqrt{1-{3r_g^2m^2\over J^2}}\right),
\\
F(E,J,\xi_\pm^{-1})=E^2-E_\pm^2,
\quad
E_\pm^2={2\over3}m^2+{2\over27}{J^2\over r_g^2}\left(1\pm\left(1-{3r_g^2m^2\over J^2}\right)^{3/2}\right).
}\label{F-extrema}
$$
\unpause
При \emph{$|J|\le\sqrt3mr_g$} экстремумов нет и уравнение (\ref{F=0-xi-eq}) имеет ровно один вещественный корень и он положителен при $E<m$:
$$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[->] (0,0) -- (1,0) node [anchor=north east] {$r_g^{-1}$} -- (1.4,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[->] (0,-.2) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.4) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-] (1,-.2) -- (1,1.4);
\draw[-,line width=1pt,domain=0:1.08] plot (\x,{(1+\x*\x)*(1-\x)});
\draw[-] (0,1.2) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.4,1.2);
\end{tikzpicture}
\qquad
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[->] (0,0) -- (1,0) node [anchor=north east] {$r_g^{-1}$} -- (1.4,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[->] (0,-.2) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.4) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-] (1,-.2) -- (1,1.4);
\draw[-,line width=1pt,domain=0:1.08] plot (\x,{(1+\x*\x)*(1-\x)});
\draw[dotted] (0,.7) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.394,.7); \draw[-] (.394,.7) -- (1.4,.7);
\draw[dashed] (.394,.7) -- (.394,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
\end{tikzpicture}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Точки поворота. Случай $\sqrt3mr_g<|J|<2mr_g$}
\unpause

В интервале \emph{$\sqrt3mr_g<|J|<2mr_g$} имеется два экстремума $\xi_-<(3r_g)^{-1}<\xi_+$, и $E_+<m$.
\unpause
Имеется четыре ситуации:
\begin{enumerate}
\item<.(1)-> $E\ge m$: «инфинитно"=сингулярное» движение.
\item<.(2)-> $E_+<E<m$: «финитно"=сингулярное» движение.
\item<.(3)-> $E_-\le E\le E_+$. Две области: \tikz[overlay,xshift=2.5em] \node (twoathreef) {};финитного и \tikz[overlay,xshift=5em] \node (twoathreefs) {};«финитно"=сингулярного» движения.
\item<.(4)-> $E<E_-$: «финитно"=сингулярное» движение.
\end{enumerate}
$$
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
\draw[->] (0,0) --  (1.5,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[-] (0,-.2) -- (0,.1);
\draw[dashed] (0,.1) -- (0,.4);
\draw[->] (0,.4) -- (0,1.25) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.6) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-,line width=1pt,domain=0:.7] plot ({2*\x},{5*((1+3.5*\x*\x)*(1-\x)-.75)});
\uncover<.>{
  \draw[dashed] (0,.94) node [anchor=base east] {$E_+^2$} -- (.92,.94);
  \draw[dashed] (.92,0) node [anchor=north] {$\xi_+$} -- (.92,.94);
  \draw[dashed] (0,.81) node [anchor=east] {$E_-^2$} -- (.41,.81);
  \draw[dashed] (.41,0) node [anchor=north] {$\xi_-$} -- (.41,.81);
  \draw[-] ([yshift=-1pt].6667,0) -- ([yshift=1pt].6667,0) node[above,xshift=2pt] {$(3r_g)^{-1}$};
}
\uncover<+>{\draw[-] (0,1.4) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.5,1.4);}
\uncover<+>{
  \draw[dotted] (0,1) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.13,1); \draw[-] (.13,1) -- (1.5,1);
  \draw[dashed] (.13,1) -- (.13,0) node [anchor=north west] {$\!\!r_\text{max}^{-1}$};
}
\uncover<+>{
  \draw[dotted] (0,.9) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.21,.9); \draw[-] (.21,.9) -- node (twoathreefend) {} (.72,.9);
    \draw[dotted] (.72,.9) -- (1.08,.9); \draw[-] (1.08,.9) -- node (twoathreefsend) {} (1.5,.9);
  \draw[dashed] (.21,.9) -- (.21,0) node [anchor=north] {\ \ $R_\text{max}^{-1}$};
  \draw[dashed] (.72,.9) -- (.72,0) node [anchor=north] {$R_\text{min}^{-1}$};
  \draw[dashed] (1.08,.9) -- (1.08,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
  \draw[overlay,->,red] (twoathreef) -- (twoathreefend);
  \draw[overlay,->,red] (twoathreefs) -- (twoathreefsend);
}
\uncover<+>{
  \draw[dotted] (0,.7) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.24,.7); \draw[-] (1.24,.7) -- (1.5,.7);
  \draw[dashed] (1.24,.7) -- (1.24,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
}
\end{tikzpicture}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Точки поворота. Случай $J\ge2mr_g$}
\unpause

В случае \emph{$J\ge2mr_g$} имеется потенциальная яма, но барьер, отделяющий ее от сингулярностей выше массы: $E_+>m$. Имеем следующие четыре ситуации
\begin{enumerate}
\item<.(1)-> $E>E_+$: «инфинитно"=сингулярное» движение.
\item<.(2)-> $m\le E\le E_+$. Две области: \tikz[overlay,xshift=2.5em] \node (twobtwoi) {};инфинитного и \tikz[overlay,xshift=5em] \node (twobtwofs) {};«финитно"=сингулярного» движения.
\item<.(3)-> $E_-\le E<m$. Две области: \tikz[overlay,xshift=2.5em] \node (twobthreef) {};финитного и \tikz[overlay,xshift=5em] \node (twobthreefs) {};«финитно"=сингулярного» движения.
\item<.(4)-> $E<E_-$: «финитно"=сингулярное» движение.
\end{enumerate}
$$
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
\draw[->] (0,0) --  (1.7,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[-] (0,-.2) -- (0,.1);
\draw[dashed] (0,.1) -- (0,.4);
\draw[->] (0,.4) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.6) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-,line width=1pt,domain=0:.75] plot ({2*\x},{5*((1+4.5*\x*\x)*(1-\x)-.8)});
\uncover<.>{
  \draw[dashed] (0,1.32) node [anchor=east] {$E_+^2$} -- (1.05,1.32);
  \draw[dashed] (1.05,0) node [anchor=north] {$\xi_+$} -- (1.05,1.32);
  \draw[dashed] (0,.68) node [anchor=east] {$E_-^2$} -- (.28,.68);
  \draw[dashed] (.28,0) node [anchor=north] {$\xi_-$} -- (.28,.68);
}
\uncover<+>{\draw[-] (0,1.45) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.7,1.45);}
\uncover<+>{
  \draw[-] (0,1.2) node [anchor=east] {$E^2$} -- node (twobtwoiend) {} (.84,1.2);
    \draw[dotted] (.84,1.2) -- (1.23,1.2); \draw[-] (1.23,1.2) -- node (twobtwofsend) {} (1.6,1.2);
  \draw[dashed] (.84,1.2) -- (.84,0) node [anchor=north] {$R_\text{min}^{-1}$};
  \draw[dashed] (1.23,1.2) -- (1.23,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
  \draw[overlay,->,red] (twobtwoi) -- (twobtwoiend);
  \draw[overlay,->,red] (twobtwofs) -- (twobtwofsend);
}
\uncover<+>{
  \draw[dotted] (0,.8) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.1,.8); \draw[-] (.1,.8) -- node (twobthreefend) {} (.5,.8); \draw[dotted] (.5,.8) -- (1.4,.8);
    \draw[-] (1.4,.8) -- node (twobthreefsend) {} (1.7,.8);
  \draw[dashed] (.1,.8) -- (.1,0) node [anchor=north] {$\quad R_\text{max}^{-1}$};
  \draw[dashed] (.5,.8) -- (.5,0) node [anchor=north] {$R_\text{min}^{-1}$};
  \draw[dashed] (1.4,.8) -- (1.4,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
  \draw[overlay,->,red] (twobthreef) -- (twobthreefend);
  \draw[overlay,->,red] (twobthreefs) -- (twobthreefsend);
}
\uncover<+>{
  \draw[dotted] (0,.6) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.46,.6); \draw[-] (1.46,.6) -- (1.7,.6);
  \draw[dashed] (1.46,.6) -- (1.46,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
}
\end{tikzpicture}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Финитное движение}
\unpause

Финитное движение характеризуется радиусом \emph{перицентра} $R_\text{min}$ и радиусом \emph{апоцентра} $R_\text{max}$ (в случае Солнечной системы говорят об \emph{перигелии} и \emph{афелии} соответственно).
\unpause

Найдем период \emph{радиального движения} $T_\text{пер}$ и угол $\Phi_\text{пер}$, набегающий за этот период:
\Align$$
T_\text{пер}
&=2E\int^{R_\text{max}}_{R_\text{min}}{dr\over\left(1-{r_g\over r}\right)\sqrt{F(E,J,r)}},
\label{Tper-def}
\\
\Phi_\text{пер}
&=2J\int^{R_\text{max}}_{R_\text{min}}{dr\over r^2\sqrt{F(E,J,r)}}.
\label{Phiper-def}
$$
\unpause
Разница $\Delta\Phi_\text{пер}=\Phi_\text{пер}-2\pi$ даст \emph{смещение перицентра} за один период:
\begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
\vspace{-\baselineskip}
$$
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->] (-1.1,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,2);
\fill (0,0) circle(2pt);
\draw[->,line width=1pt,domain=-30:670,samples=200] plot ({180+\x}:{1/(1-.4*cos(180+.9*\x))});
\draw[-] (0,0) -- (220:1.1);
\draw[<->] (180:1) arc [radius=1,start angle=180,end angle=205] node [anchor=east] {$\Delta\Phi_{\text{пер}}$}
  arc [radius=1,start angle=205,end angle=220];
\draw[-,dashed] (0,0) circle({1/1.4});
\fill ({-1/1.4},0) circle(1pt); \fill (-140:{1/1.4}) circle(1pt);
\draw[-,dashed] ({1/.6},0) arc [radius={1/.6}, start angle=0, end angle=120];
\draw[-,dashed] ({1/.6},0) arc [radius={1/.6}, start angle=0, end angle=-120];
\fill (20:{1/.6}) circle(1pt); \fill (60:{1/.6}) circle(1pt);
\draw[-] (20:1.4) -- (20:1.9); \draw[-] (60:1.4) -- (60:1.9);
\draw[<->] (20:1.8) arc [radius=1.8,start angle=20,end angle=40] node [anchor=base west] {$\Delta\Phi_{\text{пер}}$}
  arc [radius=1.8,start angle=40,end angle=60];
\end{tikzpicture}
$$
\end{minipage}%
\unpause
\begin{minipage}[t]{.55\textwidth}
\emph{Сидерический} период, то есть период обращения не определен.
\unpause
Определен лишь \emph{средний} сидерический период:
\eq$$
\overline{\strut T_{\text{сид}}}={2\pi\over\Phi_\text{пер}}T_\text{пер}.
\label{Tsid-def}
$$
\end{minipage}

\end{frame}

\newcounter{probi}
\setcounter{probi}0

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Падение пылевидной сферы на черную дыру}
\unpause

Рассмотрим простейшую модель воздействия падающего вещества на черную дыру: пылевая сфера массы $m\ll M$ и энергии $\delta E\ll M$.
\unpause
Функция $r(t)$ есть решение уравнения движения с $J=0$ для частицы с отношением энергии к массе $\varepsilon=\delta E/m$ в поле массивного тела массы $M$.
\unpause
Кроме того, будем предполагать
\eq$$
G\,\delta E,Gm\ll l,
\label{dust-weakinteracting}
$$
где $l$ "--- толщина слоя.
\unpause

Мы хотим сшить два решения Шварцшильда вне и внутри сферы. Будем искать решение в виде
\eq$$
\Gathered{
ds^2=\e^{2F(t,r)-2h(t,r)}\,dt^2-e^{2h(t,r)}\,dr^2-r^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2),
\\
F(t,r)=F_\sigma(t),
\quad
e^{-2h(t,r)}=1-{r_{g\sigma}\over r},
\quad
\sigma=\Cases{+&\text{при $r>r(t)$};\\-&\text{при $r<r(t)$}.}
}\label{dust-Schw}
$$
\unpause
В конце концов нас будут интересовать разрывы $\delta r_g=r_{g+}-r_{g-}$ и $\delta F(t)=F_+(t)-F_-(t)$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Падение пылевидной сферы на черную дыру}
\unpause

Изучим падение сферы на черную дыру, пренебрегая разрывами, то есть считая $F(t,r)\simeq F(t)$, $h(t,r)\simeq h(r)$.
\unpause
Напишем уравнение Гамильтона"--~Якоби на собственное время
\eq$$
\e^{2h(r)-2F(t)}\tau_{,t}^2-\e^{-2h(r)}\tau_{,r}^2=1.
\label{dust-HJeq}
$$
\unpause
\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Разделите переменные в функции $\tau(t,r)$, найдите дифференциал $d\tau(t,r)$, 4-скорость частицы $u(t)$ и 3-скорость $\dot r(t)$.
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
Решение уравнения ищем в виде
\eq$$
\tau(t,r,\varepsilon)=\varepsilon f(t)+\tilde\tau(r,\varepsilon),
\label{dust-tausep}
$$
где $f'(t)=\e^{F(t)}$.
\unpause
Подставляя в (\ref{dust-HJeq}), находим
\eq$$
\tilde\tau(r,\varepsilon)=\int dr\,e^{2h}\sqrt{\varepsilon^2-\e^{-2h}}.
\label{dust-ttau-fin}
$$
Мы выбрали знак «$+$» перед корнем, так как это отвечает падающим частицам.
\unpause
Находим
\eq$$
d\tau=\tau_{,t}\,dt+\tau_{,r}\,dr=\e^F\varepsilon\,dt+\e^{2h}\sqrt{\varepsilon^2-\e^{-2h}}\,dr.
\label{dust-dtau}
$$
\unpause
Так как $u_\mu=\tau_{,\mu}$, имеем
$$
u^t=e^{h-k}\varepsilon,
\quad
u^r=-\sqrt{\varepsilon^2-\e^{-2h}},
\quad
\dot r(t)=u^r/u^t=-e^{k-h}\sqrt{1-\varepsilon^{-1}e^{-2h}}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Падение пылевидной сферы на черную дыру}
\unpause

\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Найдите форму $dl$ ортогональную форме $d\tau$.
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
\eq$$
dl=\e^F\sqrt{\varepsilon^2-\e^{-2h}}\,dt+\e^{2h}\varepsilon\,dr.
\label{dust-l-def}
$$
\unpause
В этом ортогональном направлении плотность дается простой дельта"=функцией:
\eq$$
\rho={m\over4\pi r^2}\delta(l),
\label{dust-rhodef}
$$
где $l$ "--- отклонение от положения сферы.
\unpause

\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Найдите плотность $\rho$ в координатах $t,r$.
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
Полагая $dt=0$, выражаем $dr$ через $dl$:
$$
dr=\e^{-2h}\varepsilon^{-1}\,dl,
$$
что есть ни что иное как лоренцевское сжатие с учетом гравитации.
\unpause
Получаем
\eq$$
\rho(t,r)={m\over4\pi r^2\varepsilon\e^{2h}}\delta(r-r(t)).
\label{dust-rho-fin}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Падение пылевидной сферы на черную дыру}
\unpause

\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Найдите компоненты тензора энергии"=импульса $T^\mu_\nu=\rho u^\mu u_\nu$ и подставьте их в уравнения Эйнштейна.
\uncover<.>{{\red\hrule}}
\eq$$
\Aligned{
R^t_t
&=(-\ddot h+\dot k\dot h-\dot h^2)\e^{-2k}+\left(k''+k^{\prime2}-k'h'+{2k'\over r}\right)\e^{-2h}
\\
&=\uncover<+->{{2G\,\delta E\over r^2}\left(1-{\e^{-2h}\over2\varepsilon^2}\right)\delta(r-r(t)),}
\\
R^r_r
&=(-\ddot h+\dot k\dot h-\dot h^2)\e^{-2k}+\left(k''+k^{\prime2}-k'h'-{2h'\over r}\right)\e^{-2h}
\\
&=\uncover<+->{-{2G\,\delta E\over r^2}\left(1-{\e^{-2h}\over2\varepsilon^2}\right)\delta(r-r(t)),}
\\
R^t_r
&={2\e^{-2k}\dot h\over r}
=\uncover<+->{-{2G\,\delta E\over r^2}\e^{2h-F}\varepsilon^{-1}\sqrt{\varepsilon^2-\e^{-2h}}\,\delta(r-r(t)),}
\\
R^\vartheta_\vartheta
&=R^\varphi_\varphi=-{1+(rh'-rk'-1)\e^{-2h}\over r^2}
=\uncover<+->{-{G\,\delta E\over\varepsilon^2\e^{2h}r^2}\,\delta(r-r(t)),}
}\label{dust-Eeq}
$$
\unpause
\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Найдите $k'\pm h'$.
\uncover<.>{{\red\hrule}}
\eq$$
\Aligned{
k'+h'
&=\uncover<+->{{2G\,\delta E\over r}\left(\e^{2h}-{1\over2\varepsilon^2}\right)\delta(r-r(t)),}
\\
k'-h'
&=\uncover<+>{-{G\,\delta E\over\varepsilon^2r}\,\delta(r-r(t))+{\e^{2h}-1\over r}.}
}\label{dust-twoeqs}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Падение пылевидной сферы на черную дыру}
\unpause

\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Найдите скачки $\delta h$, $\delta k$ и выразите их явно через $r_g$, а через них выразите $\delta r_g$ и $\delta F(t)$.
\uncover<.>{{\red\hrule}}
\eq$$
\delta k=\uncover<+->{G\delta E\left({1\over r-r_g}-{1\over\varepsilon^2r}\right),}
\qquad
\delta h=\uncover<+->{{G\,\delta E\over r-r_g}.}
\label{dust-deltakh}
$$
Отсюда
\eq$$
\delta r_g=\uncover<+->{2G\,\delta E,}
\qquad
\delta F(t)=\delta k(r(t))+\delta h(r(t))=\uncover<+->{G\,\delta E\left({2\over r(t)-r_g}-{1\over\varepsilon^2r(t)}\right).}
\label{dust-fin}
$$







\end{frame}

\end{document}
