% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,subcaption,cancel,transparent,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\sqr{\mathop\square\nolimits}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}\limits}
\def\Pl{{\text{Pl}}}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\e{{\rm e}}
\def\i{{\rm i}}
\def\cA{{\mathcal A}}
\def\cB{{\mathcal B}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cI{{\mathcal I}}
\def\cJ{{\mathcal J}}
\def\cK{{\mathcal K}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cR{{\mathcal R}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cT{{\mathcal T}}

\def\boldk{{\boldsymbol k}}
\def\boldn{{\boldsymbol n}}
\def\boldp{{\boldsymbol p}}
\def\boldr{{\boldsymbol r}}
\def\boldv{{\boldsymbol v}}
\def\boldA{{\boldsymbol A}}
\def\boldE{{\boldsymbol E}}
\def\boldH{{\boldsymbol H}}
\def\boldP{{\boldsymbol P}}
\def\boldR{{\boldsymbol R}}
\def\boldS{{\boldsymbol S}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\def\unpause{\onslide<+->\relax}

\begin{document}

\title[Лекция 12. Движение в слабом поле]{Лекция 12. Движение в относительно слабом гравитационном поле и экспериментальная проверка ОТО}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Вековое смещение перигелия Меркурия: история}
\unpause

Вековое смещение перигелия Меркурия было открыто в 1859 году французским астрономом Урбеном Леверье.
\unpause
Он обработал результаты сорокалетних наблюдений Парижской обсерватории и пришел к выводу, что смещение перигелия на $38''$ за столетие выше, чем следует из теории Ньютона с учетом взаимодействия с другими планетами.
\unpause
В 1895 году американский астроном Саймон Ньюком уточнил этот результат ($43''$ за столетие) и нашел аномальное смещение перигелия также у Марса.
\unpause

В XIX и начале XX веков предпринимались попытки объяснить это явление:
\begin{enumerate}
\item<+->Наличием планеты («Вулкан»), нескольких объектов или газовых облаков внутри орбиты Меркурия.
\unpause
К концу XIX века такие объекты были исключены.
\item<+->Модификациями закона тяготения в рамках галилеевски"=инвариантной механики.
\unpause
Однако такие теории приводили к результатам, противоречащими наблюдениям других планет и Луны.
\end{enumerate}
\unpause
Смещение перигелия Меркурия было найдено Эйнштейном в рамках ОТО в конце 1915~г. Этот результат можно считать первым экспериментальным подтверждением общей теории относительности.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Смещение перицентра орбиты тела}
\unpause

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{subfigure}{.49\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[->] (-1,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,2);
\fill (0,0) circle(2pt);
\draw[-,line width=1pt,domain=0:360,samples=100] plot (\x:{1/(1-.4*cos(\x))});
\draw[-,dashed] (0,0) circle({1/1.4});
\draw ({1/1.4},0) node [anchor=north west] {$R_\text{min}$};
\draw (-.7,1) node [anchor=base] (Periheliontext) {Перицентр};
\fill ({-1/1.4},0) node (Perihelion) {} circle(1pt);
\draw[->] (Periheliontext) edge [bend right] (Perihelion);
\draw[-,dashed] ({1/.6},0) node [anchor=north west] {$R_\text{max}$} arc [radius={1/.6}, start angle=0, end angle=120];
\draw[-,dashed] ({1/.6},0) arc [radius={1/.6}, start angle=0, end angle=-120];
\draw (1.5,1.5) node [anchor=base] (Apheliontext) {Апоцентр};
\fill ({1/.6},0) node (Aphelion) {} circle(1pt);
\draw[->] (Apheliontext) edge [bend left] (Aphelion);
\end{tikzpicture}%
\hfill
\caption{}
\end{subfigure}
\uncover<.(1)->{
\begin{subfigure}{.49\textwidth}
\hfill
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[->] (-1.1,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,2);
\fill (0,0) circle(2pt);
\draw[->,line width=1pt,domain=-30:670,samples=200] plot ({180+\x}:{1/(1-.4*cos(180+.9*\x))});
\draw[-] (0,0) -- (220:1.1);
\draw[<->] (180:1) arc [radius=1,start angle=180,end angle=205] node [anchor=east] {$\Delta\Phi_{\text{пер}}$}
  arc [radius=1,start angle=205,end angle=220];
\draw[-,dashed] (0,0) circle({1/1.4});
\fill ({-1/1.4},0) circle(1pt); \fill (-140:{1/1.4}) circle(1pt);
\draw[-,dashed] ({1/.6},0) arc [radius={1/.6}, start angle=0, end angle=120];
\draw[-,dashed] ({1/.6},0) arc [radius={1/.6}, start angle=0, end angle=-120];
\fill (20:{1/.6}) circle(1pt); \fill (60:{1/.6}) circle(1pt);
\draw[-] (20:1.4) -- (20:1.9); \draw[-] (60:1.4) -- (60:1.9);
\draw[<->] (20:1.8) arc [radius=1.8,start angle=20,end angle=40] node [anchor=base west] {$\Delta\Phi_{\text{пер}}$}
  arc [radius=1.8,start angle=40,end angle=60];
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}}
\caption{Орбитальное движение частицы в гравитационном поле: (a)~ньютоновское поле;
\uncover<+->{(b)~в общей теории относительности.}}
\label{orbital-graph}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Постньютоновские поправки в $F$}
\unpause

В ньютоновском пределе оценим «нерелятивистскую энергию» $E'=E-m<0$, момент $J$ и потенциальную энергию $-GmM/r=-mr_g/2r$ для орбитального движения:
\unpause
$$
{|E'|\over m}\sim{J^2\over m^2r^2}\sim v^2\sim{r_g\over r}.
$$
\unpause
Теперь разложим $F(E,J,r)$ до второго порядка по $|E'|/m$:
\eq$$
F(E,J,r)
={\blue\underbrace{\black2m\left(E'+{mr_g\over2r}-{J^2\over2mr^2}\right)}_{\substack{\text{ньютоновский предел}\\F^{(0)}(E,J,r)}}}
\uncover<+->{{}+{\blue\underbrace{\black\left(E^{\prime2}+{J^2r_g\over r^3}\right)}_\text{первая поправка}}+m^2O\left(E^{\prime3}\over m^3\right).}
\label{F-v2-expansion}
$$
\unpause
Самое тонкое и важное место "--- это вычисление поправок к пределам интегрирования.
\unpause
Уравнение третьего порядка решать трудно, поэтому надо избавиться от члена с $r^{-3}$.
\unpause
Сделаем замену переменных:
\eq$$
\tilde r=r+{r_g\over2},
\qquad
\uncover<.(1)->{\tilde E'=E'\left(1+{E'\over2m}\right),
\qquad
\tilde J^2=J^2-{m^2r_g^2\over2}.}
\label{F-F(0)-param-rel}
$$
\unpause
Тогда член с $r^{-3}$ сокращается и
\eq$$
F(E,J,r)=F^{(0)}(m+\tilde E',\tilde J,\tilde r)+m^2O(|E'|^3/m^3).
\label{F-F(0)-rel}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Выделение поправки к углу}
\unpause

Казалось бы, задача свелась к ньютоновской.
\unpause
Но это \emph{не так}.
\unpause
Дело в том, что уравнения движения получаются дифференцированием действия по $E$ и $J$, а не по $\tilde E$ и $\tilde J$.
\unpause
Дифференцирование по $E$ нас сейчас не интересует, потому что приведет к поправке к периоду, которую можно «списать» на массу тела.
\unpause
Рассмотрим поправку к набегу угла на период
$$
\Phi_\text{пер}=2J\int^{R_\text{max}}_{R_\text{min}}{dr\over r^2\sqrt{F^{(0)}(m+\tilde E',\tilde J,\tilde r)}}.
$$
\unpause
С другой стороны из теории Ньютона мы знаем, что
$$
2\pi=2\tilde J\int^{\tilde R_\text{max}}_{\tilde R_\text{min}}{d\tilde r\over\tilde r^2\sqrt{F^{(0)}(m+\tilde E',\tilde J,\tilde r)}}.
$$
\unpause
Вычитая одно из другого, получаем
$$
\Delta\Phi_{\text{пер}}
=2\int^{\tilde R_\text{max}}_{\tilde R_\text{min}}{d\tilde r\over\sqrt{F^{(0)}(m+\tilde E',\tilde J,\tilde r)}}
\left({J\over r^2}-{\tilde J\over\tilde r^2}\right).
$$
\unpause
Вычисляем скобку
$$
{J\over r^2}-{\tilde J\over\tilde r^2}
={\tilde J\over\tilde r^2(1-r_g/2\tilde r)^2}\left(1+{m^2r_g^2\over4\tilde J^2}\right)-{\tilde J\over\tilde r^2}
\simeq{\tilde Jr_g\over\tilde r^3}+{m^2r_g^2\over4\tilde J\tilde r^2}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Формула смещения перицентра}
\unpause

Теперь тильды мы можем убрать в силу того, что выражение уже имеет порядок малости $|E'|/m$:
\Align$$
\Delta\Phi_{\text{пер}}
&=2Jr_g\int^{R_\text{max}}_{R_\text{min}}{dr\over r^2\sqrt{-2m|E'|+{m^2r_g\over r}-{J^2\over r^2}}}\left({1\over r}+{m^2r_g\over4J^2}\right)
\notag
\\
&\uncover<+->{=2Jr_g\int^{R_\text{min}^{-1}}_{R_\text{max}^{-1}}{d\xi\over\sqrt{-2m|E'|+m^2r_g\xi-J^2\xi^2}}\left(\xi+{m^2r_g\over4J^2}\right).}
\label{DeltaPhiper(1)}
$$
\unpause
Заменой $\xi\to\xi+{m^2r_g\over2J^2}$ получаем
$$
\Delta\Phi_{\text{пер}}
=2r_g\int^A_{-A}{d\xi\over\sqrt{A^2-\xi^2}}\left(\xi+{3m^2r_g\over4J^2}\right),
\qquad
A={\sqrt{m^4r_g^2-8m|E'|}\over2|J|}.
$$
\unpause
Первый член в скобках дает нулевой вклад, а для второго имеем
$$
\int^A_{-A}{d\xi\over\sqrt{A^2-\xi^2}}=\pi.
$$
\unpause
Мы получаем формулу Эйнштейна для смещения перицентра:
\eq$$
\Delta\Phi_{\text{пер}}={3\pi m^2r_g^2\over2J^2}={6\pi G^2M^2m^2\over J^2}.
\label{DeltaPhiper-final}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Отклонение луча света гравитационным полем: история}
\unpause

Отклонение луча света гравитационным полем (\emph{гравитационное линзирование}) было предсказано Эйнштейном в 1916 году и открыто двумя британскими экспедициями под руководством Артура Эддингтона в 1919 году. Это было первым проверенным \emph{предсказанием} ОТО.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Движение безмассовой частицы}
\unpause

\vspace{-10pt}
Луч света в геометрической оптике ведет себя идентично частице нулевой массы: $F(E,J,r)=E^2-{J^2\over r^2}\left(1-{r_g\over r}\right)$.
\unpause
При этом, очевидно, $J>2mr_g=0$.
\unpause
\begin{figure}[h]
\begin{subfigure}{.49\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) -- (1,0) node [anchor=south west] {$r_g^{-1}$} -- (1.2,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[->] (0,-.1) -- (0,1) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-] (1,0) -- (1,1);
\draw[-,line width=1pt,domain=0:1] plot (\x,{5*\x^2*(1-\x)});
\draw[-] (0,.9) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.2,.9);
\draw[dashed] (0,.74) node [anchor=east] {$E_+^2$} -- (.67,.74);
\end{tikzpicture}%
\hfill
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.49\textwidth}
\hfill
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) -- (1,0) node [anchor=south west] {$r_g^{-1}$} -- (1.2,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[->] (0,-.1) -- (0,1) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-] (1,0) -- (1,1);
\draw[-,line width=1pt,domain=0:1] plot (\x,{5*\x^2*(1-\x)});
\draw[dashed] (0,.74) node [anchor=east] {$E_+^2$} -- (.67,.74);
\draw[-] (0,.4) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.35,.4); \draw[dotted] (.35,.4) -- (.9,.4); \draw[-] (.9,.4) -- (1.2,.4);
\draw[dashed] (.35,.4) -- (.35,0) node [anchor=north] {$R_\text{min}^{-1}$};
\draw[dashed] (.9,.4) -- (.9,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\caption{Случай нулевой массы: (a) $E>E_+$; (b) $E<E_+$.}
\label{U2-m=0}
\end{figure}
\vspace{-5pt}
\unpause
Имеем $E_-=0$, $\xi_-=0$, $E_+={2\over3\sqrt3}{J\over r_g}$, $\xi_+={2\over3r_g}$. 
\unpause
Удобно использовать \emph{прицельный параметр} $\rho$:
\eq$$
J=|\boldp|\rho=E\rho.
\label{J=prho}
$$
\unpause
Это единственный параметр, характеризующий мировую линию частицы.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Набег угла}
\unpause

Тогда получаем
\eq$$
\varphi=\varphi_0\pm\int{dr\over r^2\sqrt{f(\rho,r)}},
\qquad
f(\rho,r)={1\over\rho^2}-{1\over r^2}\left(1-{r_g\over r}\right).
\label{varphi-r-light}
$$
\unpause
Полный угол, заметаемый лучом равен
\eq$$
\Phi=2\int^\infty_{R_\text{min}}{dr\over r^2\sqrt{f(\rho,r)}},
\label{Phi-light}
$$
\unpause
где $R_\text{min}$ "--- решение уравнения
\eq$$
f(\rho,R_\text{min})=0.
\label{Rmin-light}
$$
\unpause
В случае плоского пространства ($r_g=0$) этот угол равен
$$
\Phi_0=2\int^\infty_\rho{dr\over r^2\sqrt{\rho^{-2}-r^{-2}}}=\pi.
$$
Нас будет интересовать отклонение луча от прямой $\theta=\Phi-\pi$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Типы движений}
\unpause

Энергии $E=E_+$ отвечает прицельный параметр и положение максимума
\eq$$
\rho_+={3\sqrt3\over2}r_g,
\qquad
r_+={3\over2}r_g.
\label{rho+-def}
$$
\unpause
Соответственно имеется три случая для частицы, налетающей из бесконечности:
\begin{enumerate}
\item<+->$\rho<\rho_+$: поглощение частицы черной дырой.
\unpause
Сечение поглощения равно
\eq$$
\sigma_\text{погл}=\pi\rho_+^2={27\pi\over4}r_g^2.
\label{sigma-absorb}
$$
\item<+->$\rho=\rho_+$: асимптотическое приближение к \emph{фотонной сфере} $r=r_+$.
\item<+->$\rho>\rho_+$: инфинитное движение "--- \emph{гравитационное линзирование}.
\end{enumerate}
\unpause
Мы будем рассматривать последний вариант в двух предельных случаях:
\begin{enumerate}
\item<+->$\rho-\rho_+\ll\rho_+$: частица «наматывается» на фотонную сферу, а затем снова уходит на бесконечность. Интересно оценить число таких намоток. Эта задача осмысленна только для черной дыры.
\item<+->$\rho\gg\rho_+$: частица слабо отклоняется от первоначального направления движения. Эта задача решается в пределе слабого поля и имеет смысл для любого (сферически"=симметричного) компактного тела.
\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Движение вблизи критического прицельного параметра}
\unpause

Рассмотрим случай $\rho-\rho_+\ll\rho_+$.
\unpause
Запишем функцию $f$ в виде
$$
f(\rho,\xi^{-1})=\rho^{-2}-\rho_+^{-2}+(\xi_+-\xi)^2-r_g(\xi_+-\xi)^3.
\tikz[overlay,red] \node[draw,above right=5pt] {$\xi_+=r_+^{-1}={2\over3r_g}$};
$$
\unpause
При вычислении $R_\text{min}$ последним слагаемым можно пренебречь. Получаем
\eq$$
\xi_*=R_\text{min}^{-1}\simeq\xi_+-\rho_+^{-1}\delta,
\qquad
\delta=\sqrt{1-{\rho_+^2\over\rho^2}}.
\label{Rmin-photonsphere}
$$
\unpause
Теперь положим $\eta=\xi_*-\xi$ и разложим $f(\rho,\xi^{-1})$ по $\eta$ и $\delta$:
$$
f(\rho,\xi^{-1})=2\rho_+^{-1}\delta\eta\tikz[overlay,xshift=-2em] \node[below] (termone) {};
+\eta^2-r_g\eta^3
-{\alt<.(4)->{\transparent1}{\transparent0}\red\xcancel{\black\transparent1 3r_g\rho_+^{-1}\delta\eta^2}}
-{\alt<.(3)->{\transparent1}{\transparent0}\red\xcancel{\black\transparent1 3r_g\rho_+^{-2}\delta^2\eta}}
  \tikz[overlay,xshift=-2em] \node[below] (termfive) {};
+O(\delta^3).
\tikz[overlay,red] \node[draw,above=10pt] {$\xi_+-\xi=\rho_+^{-1}\delta+\eta$};
$$
\unpause
При $\delta=0$ интеграл (\ref{Phi-light}) логарифмически расходится вблизи $\eta=0$.
\unpause

Первое\tikz[overlay,xshift=-2em] \node[above=2pt] (termonemention) {}; и последнее\tikz[overlay,xshift=-2em] {\node[above=2pt] (termfivemention) {}; \uncover<.-.(1)>{\draw[->,red] (termonemention) -- (termone); \draw[->,red] (termfivemention) -- (termfive);}} слагаемые регуляризуют интеграл.
\unpause
Но последнее мало по сравнению с первым.
\unpause
Предпоследнее слагаемое мало по сравнению со вторым.
\unpause

Итак
\eq$$
f(\rho,\xi^{-1})\simeq2\rho_+^{-1}\delta\eta+\eta^2-r_g\eta^3.
\label{f-approx-photonsphere}
$$
\unpause
Полагая $r_g^{-1}\delta\ll\varepsilon\ll r_g^{-1}$, разобьем интеграл на две части
$$
\Aligned{
&\Phi\simeq2\int^{\xi_+}_0{d\eta\over\sqrt{2\rho_+^{-1}\delta\eta+\eta^2-r_g\eta^3}}
\uncover<+->{\tikz[overlay,red] \node[draw,right=1.5cm] {\begin{minipage}{.35\textwidth}$r_g\eta^3\ll\eta^2$ при $\eta\lesssim\varepsilon$\\
$r_g\eta^3\ll\rho_+^{-1}\delta\eta$ при $\eta\lesssim r_g^{-1}\delta$\\
$\rho_+^{-1}\delta\eta\ll\eta^2$ при $\eta\gtrsim\varepsilon$\end{minipage}};}
\\
\qquad
&\uncover<.->{\simeq
2\int^\varepsilon_0{d\eta\over\sqrt{2\rho_+^{-1}\delta\eta+\eta^2-{\red\xcancel{\black r_g\eta^3}}}}
+2\int^{\xi_+}_\varepsilon{d\eta\over\sqrt{{\red\xcancel{\black2\rho_+^{-1}\delta\eta}}+\eta^2-r_g\eta^3}}.}
}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Движение вблизи критического прицельного параметра}
\unpause

Оба эти интеграла берутся явно. Члены, пропорциональные $\log\varepsilon$, сокращаются.
\unpause
Получаем
\eq$$
\Phi\simeq\log{C\rho_+\over\rho-\rho_+},
\qquad
C=216{2-\sqrt3\over2+\sqrt3}\simeq15.5.
\label{Phi-photonsphere}
$$
\unpause
Число намоток $\Phi/2\pi$ растет логарифмически с уменьшением $\rho-\rho_+$.
\unpause
Большое значение $C$ означает, что приближение верно только когда число намоток достаточно велико. Первые поправки порядка $\delta$, поэтому приближение верно при $(\rho-\rho_+)^{1/2}\ll\rho_+^{1/2}$.
\unpause

Можно показать, что эта область прицельных параметров дает вклад в сечение рассеяния $\sim\ch(\pi-\theta)\,d\theta$ в интервал $[\theta,\theta+d\theta]$, то есть свет рассеивается во все стороны, хотя и преобладает рассеяние вперед.
\unpause
Фотонная сфера должна быть видна как светящееся кольцо с внутренним радиусом $\rho_+$. К сожалению современные астрономические приборы не позволяют пока разрешить фотонную сферу даже у ближайших сверхмассивных черных дыр. Центр нашей галактики закрыт от нас пылевым облаком, а центры ближайших галактик находятся слишком далеко.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Рассеяние на малые углы}
\unpause
\vspace{-10pt}

Теперь рассмотрим другой предельный случай $\rho\gg r_g$, отвечающий малым углам рассеяния.
\unpause
Здесь мы можем не делать различий между черной дырой и компактным сферически"=симметричным телом.
\unpause

Замена переменных $r=\tilde r-r_g/2$ дает
$$
f(\rho,r)=f^{(0)}(\rho,\tilde r)+O(r_g^2/r^2),
\qquad
f^{(0)}(\rho,r)=f(\rho,r)|_{r_g=0}.
$$
\unpause
Отсюда получаем
\Align$$
\theta
&=\Phi-\pi=2\int^\infty_\rho{d\tilde r\over r^2\sqrt{\rho^{-2}-\tilde r^{-2}}}-2\int^\infty_\rho{r\over r^2\sqrt{\rho^{-2}-r^{-2}}}
\notag
\\
&=2\int^\infty_\rho{d\tilde r\,(r^{-2}-\tilde r^{-2})\over\sqrt{\rho^{-2}-\tilde r^{-2}}}
=2r_g\int^\infty_\rho{dr\over r^3\sqrt{\rho^{-2}-r^{-2}}}
={2r_g\over\rho}\int^1_0{\xi\,d\xi\over\sqrt{1-\xi^2}}.
$$
\unpause
Вычислив интеграл, получаем формулу Эйнштейна для отклонения луча света
\eq$$
\theta={2r_g\over\rho}={4GM\over\rho}.
\label{theta-light-final}
$$
\unpause
Мы можем продифференцировать это равенство:
$$
d\theta={2r_g\over\rho^2}\,d\rho={r_g\over\rho^3}\,d(\rho^2)={r_g\over\pi\rho^3}\,d\sigma.
$$
\unpause
Тогда мы получаем дифференциальное сечение рассеяния
\eq$$
d\sigma={8\pi r_g^2\over\theta^3}\,d\theta={4r_g^2\over\theta^4}\,do,
\qquad\theta\ll1.
\label{dsigma-light}
$$
где $do=\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ "--- элемент телесного угла.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Уравнение эйконала}
\unpause

Почему мы при изучении распространения света рассматривали свет как безмассовые частицы?
\unpause

Возьмем уравнение Гамильтона"--~Якоби для безмассовых частиц:
\eq$$
g^{\mu\nu}{\d S\over\d x^\mu}{\d S\over\d x^\nu}=0
\label{JH-light}
$$
\unpause
Оно формально совпадает с уравнением на фазу волны $\psi(x)$ в геометрической оптике, называемом \emph{уравнением эйконала}:
\eq$$
g^{\mu\nu}{\d\psi\over\d x^\mu}{\d\psi\over\d x^\nu}=0.
\label{eikonal}
$$
\unpause
При этом частота и волновой вектор выражаются через эйконал:
\eq$$
\omega=-{\d\psi\over\d t},
\qquad
\boldk={\d\psi\over\d\boldr}
\quad\Leftrightarrow\quad
k_\mu=-{\d\psi\over\d x^\mu}.
\label{omega-k-eikonal}
$$
\unpause
На самом деле между этими уравнениями имеется глубокая связь. Уравнение Гамильтона"--~Якоби получается классическим пределом квантового волнового уравнения, а уравнение эйконала получается пределом коротких длин волн из волновых уравнений Максвелла. Оба волновых уравнения на самом деле совпадают. При этом надо помнить, что уравнение эйконала является неполным. Оно описывают только фазу волны, но не поляризацию. Точно так же уравнение Гамильтона"--~Якоби не описывает полностью (даже приближенно) эволюцию квантовой системы.

\end{frame}

\newcounter{probi}
\setcounter{probi}0

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Изотропные гиперповерхности}
\unpause

Пусть $F(x)$ "--- гладкая функция на четырехмерном многообразии $M$.
\unpause
Тогда уравнение вида
\eq$$
F(x)=c
\label{hs-def}
$$
задает множество $\cH_c$.
\unpause
Если форма $dF=F_{,\mu}\,dx^\mu\ne0$ на $\cH_c$, то $\cH_c$ есть гиперповерхность, то есть трехмерное подмногообразие.
\unpause
Тогда
\eq$$
a\in(T\cH_c)_x\subset TM_x
\quad\Leftrightarrow\quad
\langle dF(x),a\rangle=F_{,\mu}(x)a^\mu=0.
\label{hs-dvarphi-orto}
$$
\unpause
Три случая
\begin{enumerate}
\item<+->$g^*(dF,dF)\equiv g^{\mu\nu}F_{,\mu}F_{,\nu}>0$ $\Rightarrow$ $\forall a\in(T\cH_c)_x\setminus\{0\}:\ g(a,a)<0$. Гиперповерхность пространственноподобна в точке~$x$.
\item<.(1)->$g^*(dF,dF)<0$ $\Rightarrow$ $\exists a\in(T\cH_c)_x,\ g(a,a)>0$. Гиперповерхность имеет времениподобное направление, т.е.\ она времениподобна в точке $x$.
\item<.(2)->$g^*(dF,dF)=0$ $\Rightarrow$ $\forall a\in(T\cH_c)_x:\ g(a,a)\le0$ и $\exists a\in(T\cH_c)_x\setminus\{0\},\ g(a,a)=0$. Такая гиперповерхность называется \emph{изотропной} в точке $x$.
\end{enumerate}

\uncover<.->{
\begin{minipage}{.4\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
\draw[->,thick] (-1,0) -- (1,0) node[above] {$x^1$};
\draw[->,thick] (0,-.8) -- (0,1) node[right] {$x^0$};
\draw[-,dashed] (-.8,-.8) -- (1,1);
\draw[-,dashed] (.8,-.8) -- (-1,1);
\uncover<.>{
  \draw[->,very thick,blue] (0,0) -- node[left] {$dF$} (0,.8);
  \draw[->,ultra thick,red] (0,0) -- node[below] {$a$} (.6,0);
  \draw[-,dotted] (1.1,.1) -- (.9,-.1) -- (-1.1,-.1) -- (-.9,.1) -- (.85,.1);
}
\uncover<.(1)>{
  \draw[->,very thick,blue] (0,0) -- node[below] {$dF$} (.8,0);
  \draw[->,ultra thick,red] (0,0) -- node[left] {$a$} (0,.6);
  \draw[-,dotted] (.1,1.1) -- (-.1,.9) -- (-.1,-.9) -- (.1,-.7) -- (.1,.85);
}
\uncover<.(2)>{
  \draw[-,dotted] (.95,1.15) -- (1.05,.85) -- (-.75,-.95) -- (-.85,-.65) -- cycle;
  \draw[->,very thick,blue] (0,0) -- node[below,rotate=-45] {$dF$} (135:.8);
  \draw[->,ultra thick,red] (0,0) -- node[below,rotate=45] {$a$} (45:.6);
}
\uncover<.(3)>{
  \draw[-,dotted] (.95,1.15) -- (1.05,.85) -- (-.75,-.95) -- (-.85,-.65) -- cycle;
  \draw[->,very thick,blue] (0,0) -- (45:.8) node[above,rotate=45] {$\overline g^*(dF)$};
  \draw[->,ultra thick,red] (0,0) -- node[below,rotate=45] {$a$} (45:.6);
}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}%
%
\begin{minipage}[c][3cm][t]{.6\textwidth}
\only<.>{Действительно, выберем систему координат, в которой $g_{\mu\nu}(x)=\eta_{\mu\nu}$ и $dF=F_{,0}\,dx^0$. Тогда $0=F_{,\mu}a^\mu=F_{,0}a^0$ $\Rightarrow$ $a^0=0$ $\Rightarrow$ $g(a,a)=\eta_{ij}a^ia^j<0$.}
\only<+>{Действительно, выберем систему координат, в которой $g_{\mu\nu}(x)=\eta_{\mu\nu}$ и $dF=F_{,1}\,dx^1$. Тогда $0=F_{,\mu}a^\mu=F_{,1}a^1$ $\Rightarrow$ $a^1=0$ $\Rightarrow$ Если $a=\d_0$, $g(a,a)=\eta_{00}>0$.}
\only<+>{Действительно, выберем систему координат, в которой $g_{\mu\nu}(x)=\eta_{\mu\nu}$ и $dF=F_{,0}(dx^0-dx^1)$. Тогда $0=F_{,\mu}a^\mu=F_{,0}(a^0-a^1)$ $\Rightarrow$ $a^0=a^1$ $\Rightarrow$ $a=a^0(\d_0+\d_1)+a^b\,\d_b$ ($b\ne0,1$). Тогда $g(a,a)=-\sum(a^b)^2\le0$. Если $a^0\ne0$, $a^b=0$, имеем $g(a,a)=0$.}
\only<+>{{\red Внимание!} Вектор $l=\overline g^*(dF)$ лежит в том же касательном пространстве $(T\cH_c)_x$.}
\end{minipage}
}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Изотропные гиперповерхности}
\unpause

Итак, изотропная гиперповерхность определяется уравнениями $F(x)=c$ и
\eq$$
g^{\mu\nu}F_{,\mu}F_{,\nu}=0,
\label{hs-F-HJeq}
$$
\unpause
\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Направляющий вектор изотропной поверхности
\eq$$
l(x)=l^\mu(x)\d_\mu=g^{\mu\nu}(x)F_{,\nu}(x)\d_\mu
\label{hs-l-def}
$$
изотропен:
\eq$$
g_{\mu\nu}l^\mu(x)l^\nu(x)=0,
\label{hs-l-isotropic}
$$
и ортогонален форме:
\eq$$
\langle dF(x),l(x)\rangle=0,
\label{hs-dF-l-orthogonal}
$$
и, таким образом, лежит на поверхности: $l(x)\in(T\cH_c)_x$.
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
$$
g_{\mu\nu}l^\mu l^\nu=g_{\mu\nu}g^{\mu\kappa}g^{\nu\lambda}F_{,\kappa}F_{,\lambda}=g^{\kappa\lambda}F_{,\kappa}F_{,\lambda}=0,
\quad
F_{,\mu}l^\mu=F_{,\mu}g^{\mu\nu}F_{,\nu}=0.
$$
\unpause
Уравнение (\ref{hs-F-HJeq}) представляет собой уравнение Гамильтона"--~Якоби для безмассовой частицы. Вектор $l$ есть скорость этой частицы, а уравнение $F(x)=c$ соответствует тому, что собственное время между двумя точками мировой линии безмассовой частицы равно нулю.
\unpause

Рассмотрим интегральные кривые, которые задает векторное поле $l$:
\eq$$
\dot\varphi(\tau)=l(\varphi(\tau))
\qquad\Leftrightarrow\qquad
{d\varphi^\mu(\tau)\over d\tau}=l^\mu(\varphi(\tau)).
\label{hs-l-intcurves}
$$
\unpause
\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Покажите, что эти интегральные кривые целиком лежат на поверхности $F(x)=c$.
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
\eq$$
{d\over d\tau}F(\varphi(\tau))=F_{,\mu}(\varphi(\tau))\dot\varphi^\mu(\tau)
=\langle dF(\varphi(\tau)),\dot\varphi(\tau)\rangle=\langle dF(\varphi(\tau)),l(\varphi(\tau))\rangle=0.
\label{hs-varphi-inHc}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Изотропные гиперповерхности}
\unpause

\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Покажите, что эти интегральные кривые являются геодезическими.
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
\Align$$
\nabla_ll=l^\mu l^\nu{}_{;\mu}\d_\nu=g^{\kappa\mu}F_{,\kappa}F_{;\lambda\tikz[overlay] \node (lambdamu) {};\mu}\,g^{\lambda\nu}\d_\nu
&=g^{\kappa\mu}F_{,\kappa}F_{;\mu\tikz[overlay] \node (mulambda) {};\lambda}\,g^{\lambda\nu}\d_\nu
\notag
\\
&={1\over2}(g^{\kappa\mu}F_{,\kappa}F_{,\mu})_{,\lambda}\,g^{\lambda\nu}\d_\nu=0.
\label{hs-l-geodesic}
$$
\unpause
Здесь использована коммутативность\tikz[overlay] {\node[above,xshift=-3em] (commutativity) {}; \uncover<.>{\draw[->,red] (commutativity) -- (lambdamu); \draw[->,red] (commutativity) -- (mulambda);}} второй ковариантной производной от скалярного поля для связности без кручения,
\unpause
а также правило Лейбница для ковариантной производной и согласованность ковариантной производной с метрикой.
\unpause

В окрестности любой точки $x_0\in\cH_{c_0}$, функцию $F$ можно продолжить таким образом, чтобы все гиперповерхности $\cH_c$ при разных значениях $c$ были изотропны.
\unpause
Тогда мы имеем {\red\underline{\black трехпараметрическую}} конгруэнцию изотропных геодезических $\varphi(\tau,{\red\underline{{\black y,c}}})$, где $\tau$ "--- аффинный параметр на кривой, а $y=(y_1,y_2)$ параметризует семейство геодезических на поверхности $\cH_c$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Изотропные гиперповерхности}
\unpause

Поместим на пути луча маленький экран $S$, проходящий через точку $x$, перпендикулярный лучам света в своей системе покоя и движущийся со скоростью $U$.
\unpause

\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Покажите, что точки экрана с координатами $x^\mu+\delta x^\mu$ удовлетворяют условиям
\eq$$
U_\mu\,\delta x^\mu=0
\label{hs-Udeltax-orth}
$$
и
\eq$$
l_\mu\,\delta x^\mu=0.
\label{hs-ldeltax-orth}
$$

\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause

В самом деле, перейдем в систему координат, где $g_{\mu\nu}(x)=\eta_{\mu\nu}$ и $U=\d_0$, то есть экран неподвижен. Тогда вектор $\delta x$, описывающий точки экрана в момент времени $x^0$, удовлетворяет условиям
$$
\delta x^0=0,
\qquad
l^i\,\delta x^i=0.
$$
\unpause
Инвариантным образом эти условия записываются в виде (\ref{hs-Udeltax-orth}) и (\ref{hs-ldeltax-orth}).

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Изотропные гиперповерхности}
\unpause

\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Покажите, что все геодезические гиперповерхности $\cH_c$ достигают экрана $S$ одновременно в его системе покоя.
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause

Действительно, условие $g(l,\delta x)=0$ совпадает с условием $\langle dF,\delta x\rangle=0$, то есть точки с координатами $x^\mu+\delta x^\mu$ лежат на пересечении экрана $S$ с гиперповерхностью $\cH_c$. Мы видели, что системе отсчета экрана эти точки одновременны.
\unpause

Теперь рассмотрим два таких экрана $S$ и $S'$, проходящие через \emph{одну и ту же} точку $x$, но движущиеся с разными скоростями $U$ и $U'$. Предположим, что мы можем как-то «окрасить» геодезические, так что на экранах появится изображение.
\unpause

\only<.>{\addtocounter{probi}1}%
\emph{Задача~\arabic{probi}.} Покажите, что изображения на экранах $S$ и $S'$ в системах их покоя совпадают.
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause

Действительно, рассмотрим какую"=то окрашенную геодезическую $\alpha$. На экране $S$ она проходит точку с координатами $x^\mu+\delta_\alpha x^\mu$, а на экране $S'$ "--- через точку с координатами $x^\mu+\delta_\alpha x^{\prime\mu}$.
\unpause
Так как эти точки находятся на одной геодезической, имеем
\eq$$
\delta_\alpha x^{\prime\mu}=\delta_\alpha x^\mu+(A_{\alpha\nu}\,\delta_\alpha x^\nu){\red l^\mu}
\label{hs-deltax'-deltax-rel}
$$
с некоторыми коэффициентами~$A_{\alpha\nu}$.
\unpause
Теперь возьмем две геодезические $\alpha$ и $\beta$. Так как $g(l,\delta_\alpha x)=g(l,\delta_\alpha x')=0$ и $g(l,l)=0$, имеем
\eq$$
g(\delta_\alpha x',\delta_\beta x')=g(\delta_\alpha x,\delta_\beta x).
\label{hs-deltax'-deltax-scal}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Изотропные гиперповерхности}
\unpause

Теперь разнесем два экрана $S$ и $S'$ в разные точки $x$ и $x'$ на геодезической: $x=\varphi(\tau_1,0,c)$, $x'=\varphi(\tau_2,0,c)$ теперь размеры и форма изображений не обязаны совпадать. Пусть рисунок нанесен на экран $S$. Из приведенных рассуждений следует, что \emph{все изотропные геодезические, которые вышли из разных точек экрана $S$ одновременно в системе покоя этого экрана, достигают экрана $S'$ одновременно в системе покоя экрана $S'$, причем форма и размер изображения на экране $S'$ рисунка на экране $S$ не зависит от скоростей $U$ и~$U'$ экранов, коль скоро экраны перпендикулярны пространственным направлениям геодезических в своих системах покоя.}
$$
\begin{tikzpicture}
\draw[-,very thick] (0,0) coordinate (A) -- ++(90:1) coordinate (B) -- ++(135:.6) coordinate (C) -- ++(-90:1) coordinate (D) -- cycle;
\begin{scope}[xshift=4cm,yshift=3cm,rotate=10]
  \draw[-,very thick] (0,0) coordinate (Ap) -- ++(90:1.2) coordinate (Bp) -- ++(145:.8) coordinate (Cp);
  \draw[-,very thick,dashed] (Cp) -- ++(-90:1.2) coordinate (Dp) -- (Ap);
  \begin{scope}[yshift=.5cm,shift=(145:.4)]
    \node[fill,star,yslant=-.7,xscale=.7,scale=1.2,rotate=10] {};
  \end{scope}
\end{scope}
\draw[-] (A) to[out=45,in=-135] (Ap);
\draw[-] (B) to[out=45,in=-135] (Bp);
\draw[-] (C) to[out=45,in=-135] (Cp);
\draw[-,dashed] (D) to[out=45,in=-135] (Dp);
\begin{scope}[yshift=.5cm,shift=(135:.3)]
  \node[fill,star,yslant=-1,xscale=.6] {};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
$$





\end{frame}

\end{document}
