% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,subcaption,cancel,transparent,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
\usetikzlibrary{intersections}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]
\tikzset{->-/.style={decoration={markings,mark=at position #1 with {\arrow{>}}},postaction={decorate}}}

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\sqr{\mathop\square\nolimits}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}\limits}
\def\Pl{{\text{Pl}}}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\e{{\rm e}}
\def\i{{\rm i}}
\def\cA{{\mathcal A}}
\def\cB{{\mathcal B}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cI{{\mathcal I}}
\def\cJ{{\mathcal J}}
\def\cK{{\mathcal K}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cR{{\mathcal R}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cT{{\mathcal T}}

\def\boldk{{\boldsymbol k}}
\def\boldn{{\boldsymbol n}}
\def\boldp{{\boldsymbol p}}
\def\boldr{{\boldsymbol r}}
\def\boldv{{\boldsymbol v}}
\def\boldA{{\boldsymbol A}}
\def\boldE{{\boldsymbol E}}
\def\boldH{{\boldsymbol H}}
\def\boldP{{\boldsymbol P}}
\def\boldR{{\boldsymbol R}}
\def\boldS{{\boldsymbol S}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\def\unpause{\onslide<+->\relax}

\begin{document}

\title[Лекция 13. Заряженные и вращающиеся черные дыры]{Лекция 13. Заряженные и вращающиеся черные дыры}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Уравнения Эйнштейна"--~Максвелла в пустоте}
\unpause

Получим центрально"=симметричное решение системы уравнений Эйнштейна"--~Максвелла в вакууме:
\eq$$
R_{\mu\nu}=8\pi G\left(-F_{\mu\lambda}F_\nu{}^\lambda+{1\over4}g_{\mu\nu}F_{\kappa\lambda}F^{\kappa\lambda}\right),
\qquad
F^{\mu\nu}{}_{;\nu}=0.
\label{EM-equations}
$$
Под вакуумом мы понимаем отсутствие каких"=либо других полей и частиц. Мы учли бесследовость тензора энергии"=импульса электромагнитного поля.
\unpause

Будем искать решение для метрики в знакомом нам виде
\eq$$
ds^2=\e^{2k(t,r)}\,dt^2-\e^{2h(t,r)}\,dr^2-r^2\,d\Omega^2,
\qquad
d\Omega^2=d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2.
\label{ds2-central-symm}
$$
\unpause
По теореме Гаусса получаем для электромагнитного поля
\eq$$
E_r\equiv F_{tr}=-F_{rt}=e^{k+h}{Q\over4\pi r^2},
\qquad
E_\vartheta=E_\varphi=0,
\qquad
H_i=0.
\label{Er-RN}
$$
\unpause
Тогда тензор энергии"=импульса равен
\eq$$
T^t_t=T^r_r=-T^\vartheta_\vartheta=-T^\varphi_\varphi={Q^2\over32\pi^2r^4}.
\label{T-RN}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Решение Р\'{е}йснера"--~Н\'{о}рдстрёма}
\unpause

Подставляя в уравнения Эйнштейна, получаем \emph{решение Р\'{е}йснера"--~Н\'{о}рдстрёма}:
\eq$$
\e^{2k}=e^{-2h}=1-{r_g\over r}+{r_Q^2\over r^2},
\qquad
r_g=2GM,
\quad
r_Q^2={GQ^2\over4\pi},
\label{kh-RN}
$$
\unpause
то есть
\eq$$
ds^2=\left(1-{r_g\over r}+{r_Q^2\over r^2}\right)\,dt^2
-\left(1-{r_g\over r}+{r_Q^2\over r^2}\right)^{-1}\,dr^2-r^2\,d\Omega^2.
\label{RN-metric}
$$
\unpause
Компонента $g_{tt}$ как функция $r^{-1}$ является полиномом \emph{второго порядка}, и может обратиться в нуль в двух точках:
\eq$$
r_\pm={r_g\over2}\pm\sqrt{{r_g^2\over4}-r_Q^2}=G\left(M\pm\sqrt{M^2-{Q^2\over4\pi G}}\right),
\quad\text{если ${Q^2\over4\pi}\le GM^2$.}
\label{rpm-def-RN}
$$
\begin{itemize}
\item<+->При $r_Q=0$ имеем $r_-=0$, $r_+=r_g$ (метрика Шварцшильда).
\item<+->При $0<r_Q<r_g/2$ имеется два положительных корня $r_\pm$, удовлетворяющих условиям $0<r_-<r_g/2<r_+<r_g$.
\item<+->При $r_Q=r_g/2$ имеем $r_+=r_-=r_g/2$.
\item<+->При $r_Q>r_g/2$ корней нет («голая сингулярность»).
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Радиальные светоподобные геодезические}
\unpause

Решим уравнения
\eq$$
dt=\pm{dr\over1-{r_g\over r}+{r_Q^2\over r^2}}=\pm{r^2\,dr\over(r-r_+)(r-r_-)}.
\label{isotr-cond-rad-RN}
$$
\unpause
Интегрируя, получаем
$$
t=\pm r^*(r)+\const,
$$
где
\eq$$
\Aligned{
\uncover<+->{r^*}
&\uncover<.->{{}=r+{r_+^2\over r_+-r_-}\log\left|{r\over r_+}-1\right|-{r_-^2\over r_+-r_-}\log\left|{r\over r_-}-1\right|
&&\text{при $r_Q<{r_g\over2}$;}}
\\
\uncover<+->{r^*}
&\uncover<.->{{}=r+r_g\log\left|{2r\over r_g}-1\right|-{r_gr\over2r-r_g}
&&\text{при $r_Q={r_g\over2}$;}}
\\
\uncover<+->{r^*}
&\uncover<.->{{}=r+{r_g\over2}\log{r^2-r_gr+r_Q^2\over r_Q^2}-{r_Q^2-r_g^2/2\over\sqrt{r_Q^2-r_g^2/4}}\arctg{r-r_g/2\over\sqrt{r_Q^2-r_g^2/4}}
&&\text{при $r_Q>{r_g\over2}$.}}
}
\label{r*-RN-def}
$$
\unpause
Введем переменные
\eq$$
x^\pm=t\pm r^*.
\label{UV-RN-def}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Эддингтона"--~Финкельштейна}
\unpause

Получим координаты Эддингтона"--~Финкельштейна $x^+,r,\vartheta,\varphi$ для метрики Рейснера"--~Нордстрема:
\Align$$
ds^2
&=\left(1-{r_g\over r}+{r_Q^2\over r^2}\right)(dx^+)^2-2\,dx^+\,dr-r^2\,d\Omega^2
\notag
\\
&=\left(1-{r_+\over r}\right)\left(1-{r_-\over r}\right)(dx^+)^2-2\,dx^+\,dr-r^2\,d\Omega^2.
\label{ds2-EF-future-RN}
$$
\unpause
Сингулярность осталась только на линии $r=0$. Поверхности $r=r_\pm$ являются горизонтами и на них нет особенностей.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Эддингтона"--~Финкельштейна}
\unpause

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[->] (0,0) -- (4.5,0) node [anchor=north] {$r$};
\draw[->] (0,-.5) -- node [pos=.6,above,rotate=90] {сингулярность $\cS^+$} (0,4) node [anchor=west] {$t'=x^+-r$};
\draw[-,line width=1.2pt] (1,-.5) -- (1,0) node [anchor=north west] {$r_-$}
  -- node [pos=.8,below,rotate=90,align=left] {{\uncover<.(2)->{горизонт\strut\ Коши $\cC^+$}}} (1,3.8);
\draw[-,line width=1.2pt] (2.5,-.5) -- (2.5,0) node [anchor=north west] {$r_+$}
  -- node [pos=.8,below,rotate=90,align=left] {{\uncover<.(1)->{горизонт\strut\ событий $\cH^+$}}} (2.5,3.8);
\draw (3.5,0) node [anchor=south] {$I$};
\draw (1.8,0) node [anchor=south] {$II$};
\draw (.5,0) node [anchor=south] {$III$};
%\fill (2.5,0) circle(1.5pt);
\draw[name path=cIminus,->-=.55,->-=.8,->-=.94] (3.5,-.5) node [anchor=south west] {$\cI^-$} -- (2.5,.5) -- (0,3);
\draw[->-=.5,domain=2.95:3.6] plot (\x,{\x-3+(2.5^2*ln(abs(\x-2.5)/.5)-ln(abs(\x-1)/2))/1.5}) node [anchor=base east] {$\cI^+_1$};
\draw[name path=cIplus2,->-=.5,domain=2.155:1.53] plot (\x,{\x-1+(2.5^2*ln(abs(\x-2.5)/.5)-ln(abs(\x-1)/1))/1.5}) node [anchor=base west] {$\cI^+_2$};
\draw[name path=cIplus3,->-=.2,->-=.6,domain=0:.965] plot (\x,{\x+2+(2.5^2*ln(abs(\x-2.5)/2)-ln(abs(\x-1)/.5))/1.5})
  node [anchor=north east] {$\cI^+_3$};
\uncover<+>{\draw[name intersections={of=cIminus and cIplus2},red] (intersection-1) circle (.6cm) coordinate (circle1);
  \draw[->,red] (4.5,1) node[draw,right] {\begin{minipage}{2cm}\raggedright Все частицы движутся к центру.\end{minipage}}
    to[bend right] ([shift=(20:.6)]circle1);}
\uncover<+>{\draw[name intersections={of=cIminus and cIplus3},red] (intersection-1) circle (.6cm) coordinate (circle2);
  \draw[->,red] (4.5,2.5) node[draw,right] {\begin{minipage}{2cm}Нет поверхности Коши.\end{minipage}} to[bend right] ([shift=(20:.6)]circle2);}
\end{tikzpicture}
\caption{Изотропные геодезические в координатах Эддингтона"--~Финкельштейна для метрики Рейснера"--~Нордстрема при $2r_Q<r_g$.}
\label{isotr-EF-RN}
\end{figure}
\unpause

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Крускала $(u,v)$}
\unpause

Перейдем к координатам светового конуса:
\eq$$
ds^2=\left(1-{r_+\over r(x^-,x^+)}\right)\left(1-{r_-\over r(x^-,x^+)}\right)\,dx^-\,dx^+-r^2(x^-,x^+)\,d\Omega^2,
\label{ds2-UV-RN}
$$
Функция $r(x^-,x^+)$ определяется уравнением $x^+-x^-=2r^*(r)$. При $r>r_+$ (область $I$) координаты хорошо определены.
\unpause
Но при $r=r_+$ снова возникает особенность, отвечающая $x^-\to+\infty$ или $x^+\to-\infty$.
\unpause
Чтобы избавится от нее, снова «подожмем» координаты:
\eq$$
\Aligned{
u
&=-\alpha_+^{-1}\e^{-\alpha_+x^-}
=-\alpha_+^{-1}\e^{\alpha_+(r-t)}\left({r\over r_+}-1\right)^{1/2}\left({r\over r_-}-1\right)^{-\beta_+/2},
\\
v
&=\alpha_+^{-1}\e^{\alpha_+x^+}
=\alpha_+^{-1}\e^{\alpha_+(r+t)}\left({r\over r_+}-1\right)^{1/2}\left({r\over r_-}-1\right)^{-\beta_+/2},
}\label{uv-RN-def}
$$
где
\eq$$
\alpha_\pm={r_+-r_-\over2r_\pm^2},
\qquad
\beta_\pm=\left(r_-\over r_+\right)^{\pm2}.
\label{alphapm-betapm-RN-def}
$$
\unpause
Здесь показатели $\alpha_\pm$ подобраны так, чтобы сократить особенность при $r=r_+$:
\eq$$
ds^2={r_Q^2\over r^2}\left({r\over r_-}-1\right)^{1-\beta_+}\e^{-2\alpha_+r}\,du\,dv-r^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2).
\label{ds2-uv-NR}
$$
\unpause
Функция $r=r(u,v)$ есть решение уравнения
\eq$$
uv=-\alpha_+^{-2}\e^{2\alpha_+r}\left({r\over r_+}-1\right)\left({r\over r_-}-1\right)^{-\beta_+}.
\label{uv-r-RN-eq}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Крускала $(u,v)$}
\unpause

Заменой переменных $u=\alpha_+^{-1}\tg\bar u$, $v=\alpha_-^{-1}\tg\bar v$
\unpause
плоскость $(u,v)$ можно превратить в квадрат:
$$
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
% central u-v plane
\fill[draw=none,fill=gray!15] (1,-1) -- (-1,1) -- (0,2) -- (2,0) -- cycle;
\draw[->] (-1.2,-1.2) -- (-1,-1) -- node[anchor=south,rotate=45] {$r=r_+$} (0,0)
  -- node[anchor=south,rotate=45] {$\cH^+:r=r_+$} (1,1) -- (1.2,1.2) node [anchor=south west] {$v$};
\draw[->] (1.2,-1.2) -- (1,-1) -- node[anchor=south,rotate=-45] {$\cH^-:r=r_+$} (0,0)
  -- node[anchor=south,rotate=-45] {$r=r_+$} (-1,1) -- (-1.2,1.2) node [anchor=south east] {$u$};
\draw[-,line width=1.2pt] (2,0) -- node[anchor=south,rotate=-45] {$r=\infty$} (1,1) -- node[anchor=north,rotate=-45] {$r=r_-$} (0,2)
  -- node[anchor=north,rotate=45] {$\cC^+:r=r_-$} (-1,1) -- node[anchor=south,rotate=45] {$r=\infty$} (-2,0)
  -- node[anchor=north,rotate=-45] {$r=\infty$} (-1,-1) -- node[above,rotate=-45] {$\cC^-:r=r_-$} (0,-2)
  -- node[above,rotate=45] {$r=r_-$} (1,-1) -- node[anchor=north,rotate=45] {$r=\infty$} (2,0);
\draw (1,0) node {$I$};
\draw (0,1) node {$II$};
\draw (-1,0) node {$I'$};
\draw (0,-1) node {$II'$};
\uncover<.>{\draw[red,very thick] (1,-1) -- (-1,1) -- (0,2) -- (2,0) -- cycle;
  \draw[red] (.5,.5) node[rotate=-45]
  {\begin{minipage}{3cm}\begin{center}Область $r\ge r_-$ карты Эддингтона"--~Финкельштена $(x^+,r,\vartheta,\varphi)$\end{center}\end{minipage}};}
\uncover<+>{\draw[red,very thick] (1,1) -- (-1,-1) -- (0,-2) -- (2,0) -- cycle;
  \draw[red] (.5,-.5) node[rotate=45]
  {\begin{minipage}{3cm}\begin{center}Область $r\ge r_-$ карты Эддингтона"--~Финкельштена $(x^-,r,\vartheta,\varphi)$\end{center}\end{minipage}};}
\uncover<+>{\draw[red,very thick] (0,0) -- (-1,-1) -- (-2,0) -- (-1,1) -- cycle;
  \draw[red] (-1,0) node {\begin{minipage}{2cm}\begin{center}«Зеркальная» вселенная\end{center}\end{minipage}};}
\uncover<+->{\draw[red,very thick] (-1,1) -- (0,2) -- (1,1);
  \draw[red,very thick] (-1,-1) -- (0,-2) -- (1,-1);
  \draw[red] (.5,1.5) node[above right] {\bf?};
  \draw[red] (-.5,1.5) node[above left] {\bf?};
  \draw[red] (.5,-1.5) node[below right] {\bf?};
  \draw[red] (-.5,-1.5) node[below left] {\bf?};}
\end{tikzpicture}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Крускала $(u^{(1)},v^{(1)})$}
\unpause

В области $II$ ($u,v>0$) введем новые координаты:
\eq$$
u^{(1)}=-\alpha_-^{-1}(\alpha_+u)^{-\beta_-},
\qquad
v^{(1)}=-\alpha_-^{-1}(\alpha_+v)^{-\beta_-}.
\label{u1v1-RN-def}
$$
\unpause
Формально это заменяет
$$
\left|{r\over r_+}-1\right|^{1/2}\left|{r\over r_-}-1\right|^{-\beta_+/2}
\to\left|{r\over r_+}-1\right|^{-\beta_-/2}\left|{r\over r_-}-1\right|^{1/2},
$$
делая поверхность $r=r_-$ неособенной в этих координатах.
\unpause
И действительно, метрика
\eq$$
ds^2={r_Q^2\over r^2}\left(1-{r\over r_+}\right)^{1-\beta_-}\e^{-2\alpha_-r}\,du^{(1)}\,dv^{(1)}-r^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2)
\label{ds2-u1v1-NR}
$$
не имеет особенности на $r=r_-$.
\unpause

В области $II$ переменные $u^{(1)},v^{(1)}<0$, но они продолжаются в область положительных значений. Изобразим это графически.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Крускала $(u^{(1)},v^{(1)})$ и т.д.}
\unpause

\begin{minipage}{.49\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
% central u-v plane
\fill[draw=none,fill=gray!15] (.2,-.2) -- (-1,1) -- (-1,3) -- (1.2,.8) -- cycle;
\draw[->] (-.2,-.2) -- (0,0) -- node[anchor=south,rotate=45] {$\cH^+:r=r_+$} (1,1) -- (1.2,1.2) node [anchor=south west] {$v$};
\draw[->] (.2,-.2) -- (0,0) -- node[anchor=south,rotate=-45] {$r=r_+$} (-1,1) -- (-1.2,1.2) node [anchor=south east] {$u$};
\draw[-,line width=1.2pt] (1.2,.8) -- (1,1) -- node[anchor=north,rotate=-45] {$r=r_-$} (0,2)
  -- node[anchor=north,rotate=45] {$\cC^+:r=r_-$} (-1,1) -- (-1.2,.8);
\draw (0,1) node {$II$};
% upper part
\draw[dotted] (-1,1) -- node [anchor=south,rotate=90] {$S^+:r=0$} (-1,3);
\draw[dotted] (1,1) -- node [anchor=north,rotate=90] {$r=0$} (1,3);
\draw (-.6,2) node {$III$};
\draw (.6,2) node {$III'_1$};
\draw[->] (0,2) -- node [anchor=south,rotate=45] {$r=r_-$} (1,3) -- (1.2,3.2) node[above right] {$v^{(1)}$};
\draw[->] (0,2) -- node [anchor=south,rotate=-45] {$r=r_-$} (-1,3) -- (-1.2,3.2) node[above left] {$u^{(1)}$};
\draw[-] (-1,3) -- node [anchor=south,rotate=45] {$r=r_+$} (.2,4.2);
\draw[-] (1,3) -- node [anchor=south,rotate=-45] {$r=r_+$} (-.2,4.2);
\draw (0,3) node {$II'_1$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}%
\unpause
\begin{minipage}{.49\textwidth}
Мы можем ввести координаты
\eq$$
\Aligned{
u^{(2)}
&=-\alpha_+^{-1}(\alpha_-u^{(1)})^{-\beta_+},
\\
v^{(2)}
&=-\alpha_+^{-1}(\alpha_-v^{(1)})^{-\beta_+},
}\label{u2v2-RN-def}
$$
которые продолжатся на области $I_1$, $I'_1$, $II_1$ выше.
\unpause
И так далее:
$$
\Aligned{
u^{(2n+1)}
&=-\alpha_-^{-1}(\alpha_+u^{(2n)})^{-\beta_-},
\\
v^{(2n+1)}
&=-\alpha_-^{-1}(\alpha_+v^{(2n)})^{-\beta_-},
\\
u^{(2n)}
&=-\alpha_+^{-1}(\alpha_-u^{(2n-1)})^{-\beta_+},
\\
v^{(2n)}
&=-\alpha_+^{-1}(\alpha_-v^{(2n-1)})^{-\beta_+}
}
$$
($n\in\Z$).

\end{minipage}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Диаграмма Пенроуза для решения Рейснера"--~Нордстрема}
\unpause

\vspace{-10pt}
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{subfigure}{4.1cm}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=.7}]
% central u-v plane
\fill[draw=none,fill=gray!15] (1,-1) -- (-1,1) -- (-1,3) -- (2,0) -- cycle;
\draw[->] (-1.2,-1.2) -- (-1,-1) -- node[anchor=south,rotate=45] {$r=r_+$} (0,0)
  -- node[anchor=south,rotate=45] {$\cH^+:r=r_+$} (1,1) -- (1.2,1.2) node [anchor=south west] {$v$};
\draw[->] (1.2,-1.2) -- (1,-1) -- node[anchor=south,rotate=-45] {$\cH^-:r=r_+$} (0,0)
  -- node[anchor=south,rotate=-45] {$r=r_+$} (-1,1) -- (-1.2,1.2) node [anchor=south east] {$u$};
\draw[-,line width=1.2pt] (2,0) -- node[anchor=south,rotate=-45] {$r=\infty$} (1,1) -- node[anchor=north,rotate=-45] {$r=r_-$} (0,2)
  -- node[anchor=north,rotate=45] {$\cC^+:r=r_-$} (-1,1) -- node[anchor=south,rotate=45] {$r=\infty$} (-2,0)
  -- node[anchor=north,rotate=-45] {$r=\infty$} (-1,-1) -- node[anchor=north,rotate=-45] {$\cC^-:r=r_-$} (0,-2)
  -- node[anchor=north,rotate=45] {$r=r_-$} (1,-1) -- node[anchor=north,rotate=45] {$r=\infty$} (2,0);
\draw (1,0) node {$I$};
\draw (0,1) node {$II$};
\draw (-1,0) node {$I'$};
\draw (0,-1) node {$II'$};
% upper part
\draw[dotted] (-1,1) -- node [anchor=south,rotate=90] {$S^+:r=0$} (-1,3);
\draw[dotted] (1,1) -- node [anchor=north,rotate=90] {$r=0$} (1,3);
\draw (-.6,2) node {$III$};
\draw (.6,2) node {$III'_1$};
\draw[-] (0,2) -- node [anchor=south,rotate=45] {$r=r_-$} (1,3) -- node [anchor=north,rotate=45] {$r=\infty$} (2,4)
  -- (1.8,4.2) coordinate (x); \draw[dashed] (x) -- +(-.2,.2);
\draw[-] (0,2) -- node [anchor=south,rotate=-45] {$r=r_-$} (-1,3) -- node [anchor=north,rotate=-45] {$r=\infty$} (-2,4)
  -- (-1.8,4.2) coordinate (x); \draw[dashed] (x) -- +(.2,.2);
\draw[-] (-1,3) -- node [anchor=south,rotate=45] {$r=r_+$} (.2,4.2) coordinate (x); \draw[dashed] (x) -- +(.2,.2);
\draw[-] (1,3) -- node [anchor=south,rotate=-45] {$r=r_+$} (-.2,4.2) coordinate (x); \draw[dashed] (x) -- +(-.2,.2);
\draw (1,4) node {$I_1$};
\draw (-1,4) node {$I'_1$};
\draw (0,3) node {$II'_1$};
% lower part
\draw[dotted] (-1,-3) -- node [anchor=south,rotate=90] {$\cS^-:r=0$} (-1,-1);
\draw[dotted] (1,-3) -- node [anchor=north,rotate=90] {$r=0$} (1,-1);
\draw (-.6,-2) node {$III_{-1}$};
\draw (.6,-2) node {$III'$};
\draw[-] (0,-2) -- node [anchor=north,rotate=45] {$r=r_-$} (-1,-3) -- (-1.2,-3.2) coordinate (x); \draw[dashed] (x) -- +(-.2,-.2);
\draw[-] (-1,-3) -- (-.8,-3.2); \draw[dashed] (-.8,-3.2) -- (-.6,-3.4);
\draw[-] (0,-2) -- node [anchor=north,rotate=-45] {$r=r_-$} (1,-3) -- (1.2,-3.2) coordinate (x); \draw[dashed] (x) -- +(.2,-.2);
\draw[-] (1,-3) -- (.8,-3.2) coordinate (x); \draw[dashed] (x) -- +(-.2,-.2);
\draw (0,-3) node {$II_{-1}$};
\end{tikzpicture}
\caption{Случай $2r_Q<r_g$}
\end{subfigure}
\qquad
\uncover<+->{\begin{subfigure}{2.9cm}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=.7}]
\fill[draw=none,fill=gray!15] (1,-1) -- (2,0) -- (0,2) -- (0,0) -- cycle;
\draw[dotted] (0,-2.4) -- (0, -2) -- node [anchor=south,rotate=90] {$r=0$} (0,0) -- node [anchor=south,rotate=90] {$r=0$} (0,2) -- (0,3.4);
\draw[dashed] (.2,-2.2) coordinate (x) -- +(.2,-.2); \draw[-] (x) -- (0,-2)
  -- node [anchor=north,rotate=45] {$r=r_g/2$} (1,-1) -- node [anchor=south,rotate=-45] {$r=r_g/2$} (0,0)
  -- node [anchor=north,rotate=45] {$r=r_g/2$} (1,1) -- node [anchor=south,rotate=-45] {$r=r_g/2$} (0,2)
  -- node [anchor=north,rotate=45] {$r=r_g/2$} (1,3) -- (.8,3.2) coordinate (x); \draw[dashed] (x) -- +(-.2,.2);
\draw[dashed] (1.8,-2.2) coordinate (x) -- +(-.2,-.2); \draw[-] (x) -- (2,-2)
  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$r=\infty$} (1,-1) -- node [anchor=north,rotate=45] {$r=\infty$} (2,0)
  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$r=\infty$} (1,1) -- node [anchor=north,rotate=45] {$r=\infty$} (2,2)
  -- node [anchor=south,rotate=-45] {$r=\infty$} (1,3) -- (1.2,3.2) coordinate (x); \draw[dashed] (x) -- +(.2,.2);
\draw[->] (0,0) -- +(-.2,.2) node [anchor=south east] {$u$};
\draw[->] (2,2) -- +(.2,.2) node [anchor=south west] {$v$};
\draw (1,-2) node {$I_{-1}$};
\draw (1,0) node {$I$};
\draw (1,2) node {$I_1$};
\draw (.4,-1) node {$III_{-1}$};
\draw (.4,1) node {$III$};
\draw (.4,3) node {$III_1$};
\end{tikzpicture}
\caption{Случай $2r_Q=r_g$}
\end{subfigure}}
\qquad
\uncover<+->{\begin{subfigure}{1.5cm}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=.7}]
\fill[draw=none,fill=gray!15] (0,-1) -- (1,0) -- (0,1) -- cycle;
\draw[dotted] (0, -1) -- node [anchor=south,rotate=90] {$r=0$} (0,1);
\draw[-] (0,-1) -- node [anchor=north,rotate=45] {$r=\infty$} (1,0) -- node [anchor=south,rotate=-45] {$r=\infty$} (0,1);
\draw[->] (0,-1) -- +(-.2,.2) node [anchor=south east] {$u$};
\draw[->] (0,1) -- +(.2,.2) node [anchor=south west] {$v$};
\draw (.4,0) node {$I$};
\end{tikzpicture}
\caption{Случай $2r_Q>r_g$}
\end{subfigure}}
\label{uv-plane-graph}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Решение К\'{е}рра"--~Нь\'{ю}мена}
\unpause

Рассмотрим теперь «максимальное» расширение метрики Шварцшильда: метрику вращающейся заряженной черной дыры "--- \emph{метрику К\'{е}рра"--~Нь\'{ю}мена}.
\unpause
В координатах Б\'{о}йера"--~Л\'{и}ндквиста, не содержащих произведений $dt\,dr$ она имеет вид
\eq$$
\Gathered{
ds^2={\Delta\over\rho^2}(dt-a\sin^2\vartheta\,d\varphi)^2-{\sin^2\vartheta\over\rho^2}(a\,dt-(r^2+a^2)\,d\varphi)^2-{\rho^2\over\Delta}\,dr^2
-\rho^2\,d\vartheta^2,
\\
\Delta=r^2-r_gr+r_Q^2+a^2,
\qquad
\rho^2=r^2+a^2\cos^2\vartheta.
}\label{ds2-KN}
$$
\unpause
Параметр $a$ связан с моментом импульса $J$:
\eq$$
J=aM.
\label{Ja-KN}
$$
\unpause
Тензор электромагнитного поля имеет вид
\eq$$
F={Q\over4\pi\rho^4}\left((r^2-a^2\cos\vartheta)(dt-a\sin\vartheta\,d\varphi)\wedge dr
-ar\sin2\vartheta\,d\vartheta\wedge(a\,dt-(r^2+a^2)\,d\varphi)\right).
\label{F-KN}
$$
\unpause
Метрика имеет особенность в корнях полинома $\Delta(r)$ второго порядка,
\eq$$
r_\pm={r_g\over2}\pm\sqrt{{r_g^2\over4}-r_Q^2-a^2}=GM\pm\sqrt{G^2M^2-{GQ^2\over4\pi}-a^2}.
\label{rpm-KN}
$$
\unpause
Давайте поймем смысл этих корней.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Керра}
\unpause

Перейдем к координатам Керра $x^+,r,\vartheta,\phi$, определенным соотношениями
\eq$$
dx^+=dt+{r^2+a^2\over\Delta}\,dr,
\qquad
d\phi=d\varphi+{a\over\Delta}\,dr.
\label{Vvarphi+-KN-def}
$$
\unpause
В этих координатах метрика не имеет особенности:
\Multline$$
ds^2={\Delta-a^2\sin^2\vartheta\over\rho^2}(dx^+)^2-2\,dx^+\,dr-\rho^2\,d\vartheta^2
-{(r^2+a^2)^2+\Delta a^2\sin^2\vartheta\over\rho^2}\sin^2\vartheta\,d\phi^2
\\
+2a\sin^2\vartheta\,dr\,d\phi+{2a(r_gr-r_Q^2)\over\rho^2}\sin^2\vartheta\,dx^+\,d\phi.
\label{ds2-Kerr-KN}
$$
\unpause
Коэффициент при $(dx^+)^2$ обращается в нуль в точках
\eq$$
r_{e,\pm}(\vartheta)={r_g\over2}\pm\sqrt{{r_g^2\over4}-r_Q^2-a^2\cos^2\vartheta}\ge r_\pm.
\label{ergo-KN-explicit}
$$
\unpause
Корни двух уравнений совпадают только в полюсах: $r_{e,\pm}(\vartheta)=r_\pm$, если $\vartheta=0,\pi$.
\unpause

Как найти горизонты и понять смысл этих корней? Обычная аргументация неприменима, поскольку всюду, кроме полюсов, изотропные кривые $\vartheta,\phi=\const$ не являются геодезическими.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Координаты Керра}
\unpause

Перепишем метрику в координатах Керра так:
\Align$$
ds^2
&={\Delta\over\rho^2}(dx^+-a\sin^2\vartheta\,d\phi)^2-{\sin^2\vartheta\over\rho^2}((r^2+a^2)\,d\phi-a\,dx^+)^2
\notag
\\
&\quad
-2(dx^+-a\sin^2\vartheta\,d\phi)\,dr-\rho^2\,d\vartheta^2.
\label{ds2-Kerr2-KN}
$$
\unpause
Изучим пересечение трехмерного светового конуса $ds=0$ с касательными к поверхностям $r=\const$.
\unpause
На них $dr=0$, так что знак первого члена зависит от $\Delta$, а знаки остальных слагаемых отрицательны.
\begin{itemize}
\item<+->При $\Delta<0$ все члены отрицательны, так что на $dx^+=d\vartheta=d\phi=0$ и световой конус пересекается с поверхностью только в вершине.
\item<+->При $\Delta>0$ конус пересекается с поверхностью по двумерному конусу
$$
\rho^4d\vartheta^2
=\Delta(dx^+-a\sin^2\vartheta\,d\phi)^2-\sin^2\vartheta\,((r^2+a^2)\,d\phi-a\,dx^+)^2.
$$
\item<+->При $\Delta=0$ двумерный конус вырождается в прямую
$$
d\vartheta=0,
\qquad
{d\phi\over dx^+}={a\over r^2+a^2}.
$$
\unpause
Можно показать, что $g^{rr}=0$ при $\Delta=0$ и, следовательно, $g^{\mu\nu}\Delta_{,\mu}\Delta_{,\nu}=g^{rr}(\Delta_{,r})^2=0$, то есть поверхность $\Delta=0$ является изотропной гиперповерхностью.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Горизонты и предел статичности}
\unpause

Таким образом поверхности $r=r_\pm$ являются изотропными гиперповерхностями, то есть конгруэнциями изотропных геодезических
$$
\vartheta=\vartheta_0,
\qquad
\phi=\phi_0+{a\over r_\pm^2+a^2}x^+
$$
\unpause
В областях $r>r_+$ и $r<r_-$ частицы могут двигаться как с уменьшением, так и с увеличением $r$, что соответствует областям $I$ и $III$.
\unpause
В области $r_-<r<r_+$ световой конус будущего обращен в сторону уменьшения $r$ и мировые линии направлены к «центру». Это отвечает области $II$.
\unpause
Таким образом, поверхность \emph{$r=r_+$} является \emph{горизонтом событий}, а поверхность \emph{$r=r_-$} "--- \emph{горизонтом Коши}.
\unpause

Значение $r=r_{e,+}(\vartheta)$ играет роль горизонта только для радиальных движений (с $\vartheta,\phi=\const$). Таким образом, внутри этой фигуры частицы не могут быть неподвижны относительно удаленного наблюдателя: они увлекаются вращением черной дыры.
\unpause
Эта поверхность называется \emph{пределом статичности}, а область между пределом статичности и горизонтом называется \emph{эргосферой.}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Кольцевая сингулярность}
\unpause

Другое отличие вращающейся черной дыры состоит в том, что сингулярность в пространстве имеет топологию окружности.
\pause
Если вычислить компоненты тензора Римана, то они имеют особенность в точке $r=0$, $\vartheta=\pi/2$.
\pause

Чтобы понять это, перейдем к координатам
\eq$$
X^0=x^+-r,
\qquad
X^1+\i X^2=(r+\i a)\e^{\i\phi}\sin\vartheta,
\qquad
X^3=r\cos\vartheta.
\label{KS-coordiantes-KN}
$$
\unpause
Обратно, $r$ является решением уравнения
\eq$$
r^4-((X^1)^2+(X^2)^2+(X^3)^2-a^2)r^2-a^2(X^3)^2=0.
\label{r-KS-eq-KN}
$$
\unpause
Метрика в этих координатах принимает вид \emph{метрики Керра"--~Шильда}
\eq$$
ds^2=\eta_{\mu\nu}\,dX^\mu\,dX^\nu-2H(k_\mu\,dX^\mu)^2,
\label{ds2-KS-KN}
$$
где $H$ и $k_\mu$ ($g^{\mu\nu}k_\mu k_\nu=0$) "--- некоторые функции координат.
\unpause
Для решения Керра"--~Ньюмена они принимают вид
\eq$$
H={r_gr-r_Q^2\over2\rho^2},
\qquad
k_\mu\,dX^\mu=dx^+-a\sin^2\vartheta\,d\phi.
\label{Hk-KS-KN}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Кольцевая сингулярность}
\unpause

При данном $x^+$ поверхности $r=\const$ представляют собой сплюснутые эллипсоиды вращения с общей фокальной окружностью $(X^1)^2+(X^2)^2=a^2$, $X^3=0$.
\unpause
При $r=0$ эллипсоиды вырождаются в диск, через который метрику можно \emph{продлить в область $r<0$.} Сингулярность находится только на фокальной окружности.
\unpause
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.7]
\def\mainpicture{
\draw[dashed] (-2.36,0) node [anchor=east] {$\vartheta={\pi\over2}$} -- (-1.1,0);
\fill (-1,0) circle (.05); \draw[-,line width=.05cm] (-1,0) -- (0,0) -- (1,0); \fill (1,0) circle (.05);
\draw[dashed] (1.1,0) -- (2.36,0) node [anchor=west] {$\vartheta={\pi\over2}$};
\draw[dashed] (0,2) node [anchor=south] {$\vartheta=0$} -- (0,0) -- (0,-2) node [anchor=north] {$\vartheta=\pi$};
\foreach \r in {.4,.8,1.2,1.6}
  \draw[-,domain=0:360,samples=100] plot ({sqrt((\r)^2+1)*cos(\x)},{\r*sin(\x)});
\foreach \t in {15,30,45,60,75}
  \draw[dashed,domain=-2:2] plot ({sqrt((\x)^2+1)*sin(\t)},{\x*cos(\t)}) plot ({-sqrt((\x)^2+1)*sin(\t)},{\x*cos(\t)});
}
\draw (-1.36,2) node [anchor=east,rectangle,rounded corners,draw] {$r>0$};
\mainpicture
\draw[-] (2.5,2) -- (3,2) node [anchor=west] {$r=\const$};
\draw[dashed] (2.5,1.7) -- (3,1.7) node [anchor=west] {$\vartheta=\const$};
\node[coordinate] at (0,.1) (Anode) {};
\node[coordinate] at (0,-.1) (Bnode) {};
\begin{scope}[xshift=8cm]
  \draw (-1.36,2) node [anchor=east,rectangle,rounded corners,draw] {$r<0$};
  \mainpicture
  \node[coordinate] at (0,.1) (Cnode) {};
  \node[coordinate] at (0,-.1) (Dnode) {};
\end{scope}
\path[<->] (Anode) edge[out=50,in=-140] (Dnode);
\path[<->] (Bnode) edge[out=-50,in=100] (Cnode);
\end{tikzpicture}
%\caption{}
\label{ring-singularity-graph}
\end{figure}
\unpause
При $r<0$ всегда имеем $\Delta>0$, так что никаких горизонтов в этой области нет. Она неотличима от вселенной с объектом отрицательной массы.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Диаграмма Пенроуза в областях типа $III$}
\unpause

Диаграммы Пенроуза для метрики Керра"--~Ньюмена отличаются от диаграмм для метрики Рейснера"--~Нордстрема только в областях $III_n$, $III'_n$.
\unpause
Вне экваториальной плоскости сингулярность не видна, а в экваториальной плоскости область $III_n$ имеет вид
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[-] (0,0) -- node[anchor=north,rotate=45] {$r=r_-$} (1,1) coordinate (x) -- +(.4,.4);
\draw[-] (x)+(.4,-.4) -- (1,1) -- node[anchor=south,rotate=-45] {$r=r_-$} (0,2) coordinate (x) -- +(-.2,.2);
\draw[-] (x)+(.2,.2) -- (0,2) -- node[anchor=south,rotate=45] {$r=-\infty$} (-1,1);
\draw[-] (-1,1) -- node[anchor=north,rotate=-45] {$r=-\infty$} (0,0) -- +(.2,-.2);
\draw[dotted] (0,0) to[bend right=30] node[coordinate,pos=.66] (Snode) {} (0,2);
\draw (0.6,1) node {$r>0$};
\draw (-0.4,1) node {$r<0$};
\draw (.8,0.2) node {$II_n$};
\draw (1.5,1) node {$III'_{n+1}$};
\draw (.8,1.8) node {$II'_{n+1}$};
\draw[->] (-.5,2.2) node[anchor=east] {\vbox{\itshape\sffamily\hbox{сингу-}\hbox{лярность}}} to[out=-30,in=155] (Snode);
\end{tikzpicture}
%\caption{Область $III_n$ конформной диаграммы пространства Керра"--~Ньюмена в экваториальной плоскости.}
\label{III-KN-graph}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Ловушечные поверхности}
\unpause

Насколько неизбежно появление сингулярностей в общей теории относительности?
\unpause
Кажется, что появление сингулярностей достаточно типично, но хотелось бы уточнить это утверждение.
\unpause
Имеется ряд теорем (Пенроуз, Хокинг), дающих достаточные условия для появления сингулярностей. Эти теоремы используют понятие ловушечной поверхности.
\unpause

Рассмотрим \emph{замкнутое} компактное ориентируемое пространственноподобное двумерное подмногообразие $\cT$ в пространстве"=времени.
\unpause
Через каждую точку этого многообразия проходит \emph{две ортогональные ему} изотропные геодезические.
\unpause
По каждому из этих семейств геодезических мы можем построить в некоторой окрестности каждой точки $x$ многообразия $\cT$ два пучка изотропных геодезических $\cI_1$ и~$\cI_2$.
\unpause
Введем на них аффинный параметр $\tau$ так, чтобы $\tau=0$ на $\cT$.
\unpause
Мы можем измерить площади $A_1(\tau)$, $A_2(\tau)$ пучков в зависимости от аффинного параметра.
\unpause
Тогда, если
$$
\left.{dA_i\over d\tau}\right|_{\tau=0}<0
\qquad
(i=1,2)
$$
для каждой точки $\cT$, то $\cT$ называется \emph{ловушечной поверхностью}.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Теорема Пенроуза}
\unpause

Пространство"=время не может быть изотропно геодезически полным (то есть аффинные параметры на некоторых изотропных геодезических не будут принимать значения на всем~$\R$), если
\begin{enumerate}[1)]
\item<+->в каждой точке пространства"=времени $x$ для любого изотропного вектора $k\in TM_x$ выполняется неравенство $R_{\mu\nu}k^\mu k^\nu\ge0$;
\item<+->в пространстве"=времени существует некомпактная глобальная поверхность Коши;
\item<+->в пространстве"=времени существует ловушечная поверхность.
\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Изотропные гиперповерхности. Эволюция изображений}
\unpause

\vspace{-7pt}
Рассмотрим семейство изотропных гиперповерхностей $\cH_c:F(x)=c$. Как мы видели, оно представляет собой конгруэнцию изотропных геодезических $\varphi(\tau,y,c)$, удовлетворяющих условию
$$
\dot\varphi(\tau,y,c)=l(\varphi(\tau,y,c)),
\qquad
l^\mu(x)=g^{\mu\nu}F_{,\nu}(x).
$$
\unpause
Пусть $x^\mu(\tau)=\varphi^\mu(\tau,0,c)$, $x^\mu(\tau)+\delta x^\mu(\tau)=\varphi^\mu(\tau,\delta y,c)$ для некоторого малого $\delta y$. Тогда
$$
{d\over d\tau}\delta x^\lambda=\only<.>{\rlap{\red\vrule height 8pt depth 4pt width 1pt}}\uncover<+->{l^\lambda{}_{,\mu}\,\delta x^\mu.}
$$
\unpause
Но нас интересует не изменение самого $\delta x^\mu$, а изменение его изображения на семействе экранов $S(\tau)$, движущихся со скоростями $U(\tau)$ и перпендикулярных лучам:
$$
U(\tau)\delta x(\tau)=l(\tau)\delta x(\tau)=0.
$$
Так как скорости экранов не важны для изображений, будем считать $U(\tau)$ ковариантно"=постоянным: $\nabla_{l(\tau)}U(\tau)=0$.
\unpause

Вид изображения определяется метрикой, поэтом изображение не менялось бы, если бы $\delta x$ параллельно переносился бы вдоль геодезических. Определим $\tilde\delta_{\tau_0}x(\tau)$ как результат параллельного переноса $\delta x(\tau_0)$ вдоль кривой $x(\tau)$ в точку с параметром $\tau$.
\unpause
Этот вектор ковариантно"=постоянный, поэтому
$$
{d\over d\tau}\tilde\delta_{\tau_0}x^\lambda=-\Gamma^\lambda_{\mu\nu}l_\nu\,\tilde\delta_{\tau_0}x^\mu.
$$
\unpause
Определим скорость изменения изображения как
\eq$$
\delta\dot x^\lambda(\tau)
\stackrel{\text{def}}=\lim_{\Delta\tau\to0}{\delta x^\lambda(\tau+\Delta\tau)-\tilde\delta_\tau x^\lambda(\tau+\Delta\tau)\over\Delta\tau}
\only<.>{\rlap{\red\vrule height 8pt depth 4pt width 1pt}}\uncover<+->{=l^\lambda{}_{;\mu}\,\delta x^\mu,}
\quad
\uncover<+->{\delta\dot x=\nabla_{\delta x}l.}
\label{hs-deltadotx}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Изотропные гиперповерхности. Эволюция изображений}
\unpause

Выберем на экранах $S(\tau)$ пару ковариантно"=постоянных векторов $e_i(\tau)$, $i=1,2$, удовлетворяющую условиям
\eq$$
U(\tau)e_i(\tau)=l(x(\tau))e_i(\tau)=0,
\qquad
e_i(\tau)e_j(\tau)=-\delta_{ij}.
\label{hs-ei-def}
$$
Так как мы интересуемся изображениями и, значит, отождествляем все экраны, аргумент $\tau$ у $e_i$ будем опускать.
\unpause

Перейдем к комплексному базису:
\eq$$
m={e_1+\i e_2\over\sqrt2},
\qquad
\bar m={e_1-\i e_2\over\sqrt2},
\qquad
m^2=\bar m^2=0,
\qquad
m\bar m=-1.
\label{hs-mbm-def}
$$
\unpause
Тогда точку $x^\mu+\delta x^\mu$ можно задать комплексным числом $\zeta$:
\eq$$
\delta x^\mu=\zeta\bar m^\mu+\bar\zeta m^\mu.
\label{hs-zeta-def}
$$
\unpause
Из (\ref{hs-deltadotx}) получаем
\eq$$
\dot\zeta=-(\rho\zeta+\sigma\bar\zeta),
\label{hs-deltazeta}
$$
где \emph{оптические скаляры} равны
\eq$$
\rho=\only<.>{\rlap{\smash{\red\vrule height 8pt depth 4pt width 1pt}}}\uncover<.(1)->{l_{\mu;\nu}m^\mu\bar m^\nu,}
\qquad
\sigma=\only<.>{\rlap{\smash{\red\vrule height 8pt depth 4pt width 1pt}}}\uncover<+->{l_{\mu;\nu}m^\mu m^\nu.}
\label{hs-rhosigma}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Изотропные гиперповерхности. Эволюция изображений}
\unpause

Если на экране $S(\tau)$ изобразить круг $\zeta(\tau,\theta)=e^{\i\theta}$, то на экране $S(\tau+d\tau)$ будет виден эллипс
\eq$$
\zeta(\tau+d\tau,\theta)
\only<.>{\rlap{\smash{\red\vrule height 8pt depth 4pt width 1pt}}}\uncover<+->{=\e^{\i\theta}(1-\rho\,d\tau)-\e^{-\i\theta}\sigma\,d\tau}
\label{hs-ellipse}
$$
\unpause
с полуосями $a_\pm=\only<.>{\rlap{\smash{\red\vrule height 8pt depth 4pt width 1pt}}}\uncover<+->{1-(\Re\rho\mp|\sigma|)\,d\tau}$.
\unpause
Площадь уменьшится на $\only<.>{\rlap{\smash{\red\vrule height 8pt depth 4pt width 1pt}}}\uncover<+->{2\pi\Re\rho\,d\tau}$.
\unpause

Для конгруэнции лучей, образующих изотропную гиперповерхность, имеем $l_{\mu;\nu}=F_{;\mu\nu}=l_{\nu;\mu}$, а, значит, $\rho\in\R$.
\unpause
Тогда для площади изображения $\delta A$ имеем
\eq$$
{d\over d\tau}\delta A^{1/2}=-\rho\,\delta A^{1/2},
\label{hs-dotAhalf}
$$
\unpause
Изучим эволюцию оптических скаляров.
\unpause

\emph{Задача.} Докажите тождество
\eq$$
\delta^\mu_\nu=-{1\over(Ul)^2}l^\mu l_\nu-m^\mu\bar m_\nu-\bar m^\mu m_\nu+{1\over Ul}(U^\mu l_\nu+l^\mu U_\nu).
\label{hs-delta-expansion}
$$
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
Из определения тензора Римана и тензора Риччи имеем
$$
l_{\lambda;\mu\nu}=l_{\lambda;\nu\mu}+R^\kappa{}_{\lambda\mu\nu}l_\kappa,
\qquad
R_{\mu\nu}l^\mu l^\nu=-2R_{\kappa\mu\lambda\nu}m^\kappa l^\mu\bar m^\lambda l^\nu.
$$
\unpause
\emph{Задача.} Докажите второе тождество.
\only<.>{{\red\hrule}}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Изотропные гиперповерхности. Эволюция изображений}
\unpause

\emph{Задача.} Докажите тождества
\Align$$
\dot\rho
&=\rho^2+\sigma\bar\sigma+\Phi,
&\Phi
&={1\over2}R_{\mu\nu}l^\mu l^\nu,
\label{hs-dotrho}
\\
\dot\sigma
&=\sigma(\rho+\bar\rho)+\Psi,
&\Psi
&=R_{\kappa\lambda\mu\nu}l^\kappa m^\lambda l^\mu m^\nu=C_{\kappa\lambda\mu\nu}l^\kappa m^\lambda l^\mu m^\nu.
\label{hs-dotsigma}
$$
Здесь $C_{\kappa\lambda\mu\nu}$ "--- тензор Вейля, то есть конформная часть тензора Римана (это равенство доказывать не надо).
\emph{Задача.} Докажите второе тождество.
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
Если при $\tau=\tau_0$ второй скаляр $\sigma=0$ и всюду $\Phi=\Psi=0$, имеем
$$
\rho^{-1}-\rho_0^{-1}=\tau_0-\tau.
$$
\unpause
Имеется некоторый момент $\tau_*=\tau_0+\rho_0^{-1}$, где скаляр $\rho$ обращается в бесконечность. Решая (\ref{hs-dotAhalf}), получаем
$$
\delta A^{1/2}\sim \tau-\tau_*.
$$
\unpause
Если $\rho(\tau_0)>0$, в момент $\tau_*$ лучи соберутся в фокус.
\unpause

{\itshape
{\bfseries Теорема о фокусировании.} Если во всем пространстве $\Phi\ge0$ и в некоторой точке светового пучка $\tau=\tau_0$ первый оптический скаляр положителен, $\rho(\tau_0)=\rho_0>0$, то на конечном положительном расстоянии от этой точки $\tau-\tau_0\le\rho_0^{-1}$ пучок света достигает фокальной точки и площадь его сечения обращается в нуль.
}
\unpause
\emph{Задача.} Докажите.
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
Действительно, из (\ref{hs-dotAhalf}) получаем
\eq$$
{d^2\over d\tau^2}\delta A^{1/2}=-(\sigma\bar\sigma+\Phi)\delta A^{1/2}.
\label{hs-ddotAhalf}
$$
Поскольку правая часть неположительна, имеем ${d\over d\tau}\delta A^{1/2}\le-\rho_0\,\delta A_0^{1/2}$, откуда и следует теорема.


\end{frame}

\end{document}
