% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,subcaption,cancel,transparent,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
\usetikzlibrary{intersections}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]
\tikzset{->-/.style={decoration={markings,mark=at position #1 with {\arrow{>}}},postaction={decorate}}}

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\sqr{\mathop\square\nolimits}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}\limits}
\def\Pl{{\text{Pl}}}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\e{{\rm e}}
\def\i{{\rm i}}
\def\cA{{\mathcal A}}
\def\cB{{\mathcal B}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cI{{\mathcal I}}
\def\cJ{{\mathcal J}}
\def\cK{{\mathcal K}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cR{{\mathcal R}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cT{{\mathcal T}}

\def\boldk{{\boldsymbol k}}
\def\boldn{{\boldsymbol n}}
\def\boldp{{\boldsymbol p}}
\def\boldr{{\boldsymbol r}}
\def\boldv{{\boldsymbol v}}
\def\boldA{{\boldsymbol A}}
\def\boldE{{\boldsymbol E}}
\def\boldH{{\boldsymbol H}}
\def\boldP{{\boldsymbol P}}
\def\boldR{{\boldsymbol R}}
\def\boldS{{\boldsymbol S}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\def\unpause{\onslide<+->\relax}

\begin{document}

\title[Лекция 14. Космологические решения]{Лекция 14. Космологические решения. Модели Фридмана}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Эволюция Вселенной как целого}
\unpause

До сих пор мы рассматривали пространство"=время как асимптотически плоское вдали от гравитирующих тел. На самом гравитирующие тела заполняют пространство на всех наблюдаемых расстояниях, хотя и не очень равномерно. Поэтому такое описание недостаточно.
\unpause

Предположения космологических моделей:
\begin{enumerate}
\item<+->\emph{Однородность.}
\unpause
В природе мы наблюдаем сгустки вещества "--- планеты, звезды, звездные скопления, галактики, скопления галактик. Кажется, что вещество распределено крайне неравномерно.
\unpause
Однако на масштабах больше $100\>\text{МПс}$ Вселенную можно считать однородной.
\item<+->\emph{Изотропия.}
\unpause
Лучшим свидетельством изотропии является изотропия реликтового излучения.
\unpause
Относительная температура реликтового излучения меняется в разных направлениях в пределах $10^{-3}$, однако это дипольная анизотропия. Ее следует приписать движению Солнечной системы в системе отсчета реликтового излучения со скоростью примерно $370\>\text{км/с}$.
\unpause
«Настоящая» (квадрупольная и выше) неоднородность составляет $\sim10^{-4}$.
\end{enumerate}
\unpause
Из этих предположений следует однородность и изотропия усредненного тензора энергии"=импульса и кривизны.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пространства постоянной кривизны}
\unpause

Условиям однородности и изотропии удовлетворяют только так называемые \emph{пространства постоянной кривизны}.
\unpause
Так называются (псевдо)римановы многообразия, на которых в каждой точке выполняется равенство
\eq$$
{R_{ijkl}\xi^{ij}\xi^{kl}
\over(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{ji})\xi^{ji}\xi^{kl}}=K,
\quad\forall\xi\in T^2M_x.
\label{constcurv-def}
$$
так что $K$ не зависит от бивектора $\xi^{ij}$.
\unpause
Можно доказать (при $d>2$), что в этом случае $K$ не зависит от точки $x$
\unpause
и
\eq$$
R_{ijkl}=K(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}),
\qquad
R_{ij}=(d-1)Kg_{ij},
\qquad
R=d(d-1)K,
\label{R-constcruv}
$$
где $d$ "--- размерность многообразия.
\unpause
Иными словами, геометрическая однородность пространства следует из его изотропии.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Трехмерные пространства постоянной кривизны}
\unpause

При изучении эволюции Вселенной нас интересует трехмерное пространство сигнатуры $(+++)$.
\unpause

Пространство нулевой кривизны "--- это плоское пространство с метрикой
\eq$$
\Gathered{
dl^2=\delta_{ij}\,dx^i\,dx^j=\only<.-.(3)>{\rlap{$\displaystyle dr^2+r^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2),$}}
\uncover<.(4)->{a^2\tikz[overlay] \node[left] (rachi) {};(d\chi^2+{\only<.(5)->{\blue}\chi^2}(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2)),}
\\
K=0,
\quad
0\le\only<.-.(3)>{\rlap{$r$}}\uncover<.(4)->{\chi}<\infty,
\quad
0\le\vartheta\le\pi,
\quad
0\le\varphi<2\pi.
}\label{dl2-K=0}
$$
\unpause
Пространства постоянной \emph{положительной} кривизны получаются ограничением метрики плоского четырехмерного пространства с сигнатурой $(++++)$ на сферу $\sum^4_{\smash I=1}(X^I)^2=a^2$.
\unpause
Используя полярные координаты $\chi,\vartheta,\varphi$, получаем
\eq$$
\Gathered{
dl^2=a^2(d\chi^2+{\only<.(3)->{\blue}\sin^2\chi}\,(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2)),
\\
K=1/a^2,
\quad
0\le\chi,\vartheta\le\pi,
\quad
0\le\varphi<2\pi.
}\label{dl2-K>0}
$$
\unpause
Пространство постоянной \emph{отрицательной} кривизны получается как ограничение метрики сигнатуры $(+++-)$ плоского пространства на трехмерный двуполостный гиперболоид $\sum^3_{I=1}(X^I)^2-(X^4)^2=-a^2$:
\eq$$
\Gathered{
dl^2=a^2(d\chi^2+{\only<.(2)->{\blue}\sh^2\chi}\,(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2)),
\\
K=-1/a^2,
\quad
0\le\chi\le\infty,
\quad
0\le\vartheta\le\pi,
\quad
0\le\varphi<2\pi.
}\label{dl2-K<0}
$$
\unpause
Если в случае плоского пространства мы изменим масштаб $r=a\chi$, то получим\tikz[overlay] {\node (rachitext) {}; \draw[->,red!50] (rachitext) to[bend right] (rachi);}\ .
\unpause
Теперь три выражения отличаются зависимостью от $\chi$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Замечание о факторпространствах}
\unpause

Вообще-то пространство постоянной кривизны может быть факторпространством одного из этих трех пространств по какой-то дискретной группе движений, действующей на этих пространствах свободно.
\unpause

В частности, сферу можно профакторизовать по конечной группе. Тогда объем пространства будет
\eq$$
V={2\pi^2a^3\over N},
\label{V-closed-world}
$$
где $N$ "--- порядок группы.
\unpause

Тем не менее, уравнения Эйнштейна, будучи локальными, не изменятся, и эволюция этих пространств не будет зависеть от этой группы. Кроме того, нет никаких наблюдательных указаний на нетривиальную топологию, хотя и нет наблюдений, прямо ее запрещающих.
\unpause
Поэтому для простоты мы будем считать группу тривиальной.
\unpause

Мы будем называть космологические модели с пространствами отрицательной кривизны \emph{открытыми}, положительной кривизны "--- \emph{замкнутыми}, а нулевой кривизны "--- \emph{плоскими}.
\unpause
Перейдем к космологическим моделям.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Метрика пространства"=времени}
\unpause

Пространство"=время не должно быть однородным и изотропным, но
\begin{itemize}
\item<+->Должно быть $g_{0i}=0$. Иначе нарушится пространственная изотропия.
\item<+->Коэффициент $g_{00}$ не должен зависеть от пространственных координат. Иначе нарушится однородность пространства.
\unpause
$\Rightarrow$ Преобразованием $\sqrt{g_{00}(t)}\,dt\to dt$ можно сделать систему координат глобально синхронной.
\item<+->Коэффициенты $g_{ij}$ должны иметь вид $-a(t)\gamma_{ij}$, где $\gamma_{ij}$ "--- метрика трехмерного пространства постоянной кривизны.
\end{itemize}
\unpause
Следовательно имеем
\eq$$
ds^2=dt^2-dl^2=dt^2-a^2(t)\,d\Omega_3^2,
\label{ds2-cosmol}
$$
\unpause
где функция $a(t)$ называется \emph{масштабным фактором}, а $d\Omega_3^2$ метрика вида
\eq$$
d\Omega_3^2=\gamma_{ij}(x^1,x^2,x^3)\,dx^i\,dx^j\equiv\Cases{d\chi^2+\chi^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2)
&\text{при $K=0$};
\\
d\chi^2+\sin^2\chi(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2)
&\text{при $K>0$};
\\
d\chi^2+\sh^2\chi(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2)
&\text{при $K<0$}.}
\label{dOmega32-def}
$$
\unpause
Если мы имеем систему тел, неподвижных в координатах $\chi,\vartheta,\varphi$, то для наблюдатель, сидящего на любом из этих тел,
\unpause
расстояние до других тел будет пропорционально $a(t)$,
\unpause
а часы будут идти со временем $t$.
\unpause
Если $\dot a(t)>0$ (расширяющаяся вселенная), расстояние до тел будет расти со временем.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Космологическое красное смещение}
\unpause

Альтернативная временная координата:
\eq$$
\eta=\int{dt\over a(t)},
\label{eta-cosmol-def}
$$
\unpause
С такой координатой метрика имеет вид
\eq$$
ds^2=a^2(\eta)(d\eta^2-d\Omega_3^2)=a^2(\eta)(d\eta^2-\gamma_{ij}\,dx^i\,dx^j),
\label{ds2-cosmol-eta}
$$
где $a(\eta)$ понимается как $a(t(\eta))$.
\unpause
В этой метрике удобно искать изотропные геодезические.
\unpause
Уравнение эйконала
\eq$$
a^{-2}(\eta)\left(\psi_{,\eta}^2-\gamma^{ij}\psi_{,i}\psi_{,j}\right)=0,
\label{eikonal-eta}
$$
\unpause
Масштабный фактор $a(\eta)$ здесь не имеет значения.
\unpause
Мы можем отделить переменную $\eta$:
\eq$$
\psi(\varepsilon;\eta,\chi,\vartheta,\varphi)=-\varepsilon\eta+\psi_1(\varepsilon;\chi,\vartheta,\varphi).
\label{eikonal-gamma}
$$
\unpause
Частота $\varepsilon$ во времени $\eta$ и частота $\omega(t)$ в синхронном времени связаны:
$$
\omega(t)\,dt=\varepsilon\,d\eta
\quad\Rightarrow\quad
\omega(t)={\varepsilon\over a(t)}.
$$
\unpause
Если фотон испущен в момент времени $t$ и зарегистрирован наблюдателем в момент времени $t_0>t$, то его частота уменьшится в $a(t_0)/a(t)$ раз.
Это явление называется \emph{космологическим красным смещением}.
\unpause
{\red Важно:} не путайте с эффектом Доплера. Космологическое смещение зависит только от масштабных факторов, но не от скоростей.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Космологическое красное смещение}
\unpause

Используя стандартное определение красного смещения
\eq$$
z={\lambda_0-\lambda\over\lambda}={\omega-\omega_0\over\omega_0},
\label{z-redshift-def}
$$
где $\lambda_0,\omega_0$ "--- длина волны и частота в точке \emph{наблюдения}, а $\lambda,\omega$ "--- длина волны и частота в точке \emph{испускания},
\unpause
имеем
\eq$$
{a(t_0)\over a(t)}=1+z.
\label{a-z-rel}
$$
\unpause
Красное смещение является естественной мерой времени и расстояния для удаленных космических объектов в астрономии.
\unpause

Рассмотрим случай $z\ll1$. Тогда
\eq$$
z={a(t_0)-a(t)\over a(t)}\simeq{\dot a(t_0)\over a(t_0)}(t_0-t)=H(t_0)L,
\label{z=HL}
$$
где $L=t_0-t$ "--- расстояние до источника, а $H(t)$ "--- \emph{параметр Хаббла}:
\eq$$
H(t)={\dot a(t)\over a(t)}.
\label{Hubble-def}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Параметр Хаббла}
\unpause

Для измерения параметра Хаббла необходимо точно измерять расстояния до объектов. Ввиду систематических ошибок в измерении этих расстояний (неудачного выбора стандартных свечей) значение параметра Хаббла долгое время завышалось, и лишь недавно была получена сравнительно надежная оценка. Различные эксперименты в последнее время дают результаты вблизи значения $H(t_0)\simeq70\>\text{km}/\text{s}\cdot\text{Mpc}\simeq2.2\cdot10^{-18}\>\text{s}^{-1}\simeq7\cdot10^{-11}\>\text{yr}^{-11}$. Тем не менее сохраняется разброс примерно в $\pm3\>\text{km}/\text{s}\cdot\text{Mpc}$ в зависимости от метода измерения и инструмента. Примерно то же значение дают исследования гравитационных волн. Источники гравитационных волн являются хорошими стандартными свечами, поскольку «абсолютную яркость» гравитационного источника можно определить по форме волны. Пока что точность метода недостаточна для того, чтобы преодолеть разногласия.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Символы Кристоффеля и тензор Риччи}
\unpause

Выпишем уравнения Эйнштейна для метрики $ds^2=dt^2-a^2(t)\,d\Omega_3^2$.
\unpause
Символы Кристоффеля равны
\eq$$
\Gamma^t_{ij}=-{\dot a\over a}g_{ij},
\qquad
\Gamma^i_{tj}={\dot a\over a}\delta^i_j,
\qquad
\Gamma^i_{jk}=\Gamma^{(3)}{}^i_{jk},
\label{Gamma-cosmol}
$$
\unpause
где $\Gamma^{(3)}{}^i_{jk}$ "--- символы Кристоффеля трехмерного пространства, которые не зависят от~$a$ в координатах $\chi,\vartheta,\varphi$.
\unpause
Поэтому $\dot\Gamma^{(3)}{}^i_{jk}=0$ и они вносят известный вклад в тензор Риччи:
$$
R_{ij}=R^{(3)}_{ij}+(\text{вклады $\Gamma^t_{lm},\Gamma^l_{tm}$}),
\qquad
R^{(3)}_{ij}=2ka^{-2}(-g_{ij}),
$$
где
\eq$$
k=\sign K.
\label{signK}
$$
\unpause
Отсюда получаем
\eq$$
R^t_t=-3{\ddot a\over a},
\quad
R^i_j=-\left({\ddot a\over a}+{2(\dot a^2+k)\over a^2}\right)\delta^i_j,
\quad
R=-6\left({\ddot a\over a}+{\dot a^2+k\over a^2}\right).
\label{R-cosmol}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Уравнения на масштабный фактор}
\unpause

В силу однородности и изотропии пространства тензор энергии"=импульса должен иметь вид
\eq$$
T^t_t=\rho,
\qquad
T^t_i=0,
\qquad
T^i_j=-p\delta^i_j.
\label{T-cosmol}
$$
\unpause
Тогда имеем \emph{уравнение Фридмана}
\Align$$
{3(\dot a^2+k)\over a^2}
&=8\pi G\rho
\label{Eeq-cosmol-tt}
\intertext{\uncover<+->{и \emph{уравнение движения}}}
\uncover<.->{2{\ddot a\over a}+{\dot a^2+k\over a^2}}
&\uncover<.->{=-8\pi Gp.}
\label{Eeq-cosmol-ii}
$$
\unpause
Уравнение движения является уравнением второго порядка, но его можно проинтегрировать.
\unpause
Проще, однако, найти решение из условия ковариантного сохранения энергии:
\eq$$
0=T^t_{t;t}+T^i_{t;i}=\dot\rho+3{\dot a\over a}(\rho+p).
\label{T-rho-p-id}
$$
\unpause
Умножая на $dt$, получаем
\eq$$
{d\rho\over\rho+p}+3\,d\log a=0.
\label{rho-p-a-eq}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Космологическая термодинамика}
\unpause

Последнее уравнение имеет простой термодинамический смысл.
\unpause
Согласно первому закону термодинамики изменение внутренней энергии системы равно
$$
dU=\delta q-\delta A=\delta q-p\,dV,
$$
где $\delta q$ "--- теплота, поступающая в систему, $A$ "--- работа, совершаемая системой, $V$ "--- объем.
\unpause
Так как в замкнутую систему не может поступать тепло, первый член равен нулю, то есть $dU=-p\,dV$, есть работа, совершаемая над материальной частью системы гравитационным полем.
\unpause
Учитывая, что $U=\rho V$, получаем $d(\rho V)=-p\,dV$ или
$$
V\,d\rho=-(\rho+p)\,dV.
$$
\unpause
Так как по смыслу $V\sim a^3$, получаем
\eq$$
{d\rho\over\rho+p}+3\,d\log a=0.
\tag{\ref{rho-p-a-eq}}
$$
\unpause
Если известно уравнение состояния вещества, можно найти зависимость $p(\rho)$ в адиабатическом процессе ($\delta q=0$).
\unpause
Тогда уравнение (\ref{rho-p-a-eq}) интегрируется
\eq$$
3\log a=-\int{d\rho\over\rho+p(\rho)}.
\label{rho-p-a-int}
$$
\unpause
Зависимость $\rho(a)$ уже можно подставлять в уравнение Фридмана.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Интегрирование уравнения Фридмана}
\unpause

Теперь уравнение Фридмана
\eq$$
{3(\dot a^2+k)\over a^2}=8\pi G\rho
\tag{\ref{Eeq-cosmol-tt}}
$$
\unpause
интегрируется
\eq$$
t=\pm\int{da\over aH(a)}
\quad\text{или}\quad
\eta=\pm\int{da\over a^2H(a)},
\label{t-a-eq}
$$
\unpause
где
\eq$$
H(a)=\sqrt{{8\pi\over3}G\rho-{k\over a^2}}
=\sqrt{{8\pi\over3}G\rho-K}
\label{Hubble-fin}
$$
есть параметр Хаббла как функция масштабного фактора.
\unpause

Отсюда ясно, что кривизна пространства однозначно определяется плотность энергии $\rho$ вещества во Вселенной и параметром Хаббла:
\eq$$
K={8\pi G\rho\over3}-H^2
={8\pi G(\rho-\rho_c)\over3},
\qquad
\rho_c={3H^2\over8\pi G}.
\label{K-rho-rel}
$$
Величина $\rho_c$ называется \emph{критической плотностью}.
\unpause
При $\rho>\rho_c$ мир будет замкнутым ($K>0$), а при плотности $\rho<\rho_c$ "--- открытым ($K<0$).

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Плотность вещества во Вселенной}
\unpause

Плотность энергии вещества во Вселенной невозможно сосчитать просто измеряя массу звезд, межзвездного газа и излучения. Дело в том, что полученная масса составляет лишь небольшую долю (около $5\%$) плотности энергии Вселенной. Основной вклад в плотность энергии дают два трудных для изучения фактора:
\begin{enumerate}
\item<+->Темное вещество (или темная материя) "--- около $26\%$. По современным представлениям темное вещество состоит из массивных частиц, движущихся в основном с малыми скоростями (cold dark matter "--- CDM), взаимодействующих друг с другом и с известными частицами только (или почти только) гравитационно. Они плохо сгущаются в силу астрономически большой длины свободного пробега. Сгущения образуются в результате притяжения к барионной материи (на масштабах галактик) или в результате каспов (перехлестов) на больших масштабах. Такие каспы образуют «каркас», вокруг которого собирается барионное вещество.
\item<+->«Темная энергия» "--- остальные $69\%$. Неясный совершенно однородный вклад, ведущий себя как $\Lambda$"=член, то есть $p=-\rho$. Мы будем говорить о нем дальше.
\end{enumerate}
\unpause
Исследование флуктуаций реликтового излучения показывает, что суммарная плотность энергии всех видов материи очень близка к $\rho_c$, так что Вселенная на больших масштабах близка к плоской ($K=0$).

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пылевидное вещество}
\unpause

Рассмотрим различные космологические модели. Прежде всего, рассмотрим случай $p=0$ (пылевидное вещество).
\unpause
В этом случае
\eq$$
\rho=C_ma^{-3},
\label{rho-ainv3}
$$
с некоторой константой $C_m$.
\unpause
Функция $\eta(a)$ легко обращается и мы получаем
\Align$$
a(\eta)
&=A_m\sin^2{\eta\over2},
&t(\eta)
&={A_m\over2}(\eta-\sin\eta),
&&0\le\eta\le2\pi
&&(k=1);
\label{dust-univ-closed}
\\
a(\eta)
&=A_m\sh^2{\eta\over2},
&t(\eta)
&={A_m\over2}(\sh\eta-\eta),
&&0\le\eta<\infty
&&(k=-1);
\label{dust-univ-open}
\\
a(\eta)
&={A_m\over4}\eta^2,
&t(\eta)
&={A_m\over12}\eta^3,
&&0\le\eta<\infty
&&(k=0),
\label{dust-univ-flat}
$$
где
\eq$$
A_m={8\pi\over3}GC_m.
\label{Omegam-def}
$$
\unpause
При малых $t$ все три решения совпадают:
\eq$$
a(t)\simeq\left(9A_m\over4\right)^{1/3}t^{2/3}.
\label{a(t)-prim-dust}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пылевидное вещество}
\unpause

Изобразим диаграммы Пенроуза в переменных $\tau,\chi$. В случае замкнутой вселенной для удобства продолжим $\chi$ на область $0\le\chi\le2\pi$.
\unpause
\begin{figure}[h]
\begin{subfigure}{.49\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[dotted] (0,0) node[below] {$0$} -- node[below] {$\chi$} (1,0) node[below] {$2\pi$};
\draw[-] (0,0) node[left] {$0$} -- node[left] {$\eta$} (0,1) node[left] {$2\pi$};
\draw[dotted] (0,1) -- (1,1);
\draw[-] (1,0) -- (1,1);
\uncover<.(2)-.(4)>{\draw[red] (0,0) -- (1,1);}
\uncover<.(5),.(10)>{\draw[-,red] (0,.1) -- (.1,0); \draw[-,red] (1,.1) -- (.9,0);}
\uncover<.(6),.(10)>{\draw[-,red] (0,.2) -- (.2,0); \draw[-,red] (1,.2) -- (.8,0);}
\uncover<.(7),.(10)>{\draw[-,red] (0,.3) -- (.3,0); \draw[-,red] (1,.3) -- (.7,0);}
\uncover<.(8),.(10)>{\draw[-,red] (0,.4) -- (.4,0); \draw[-,red] (1,.4) -- (.6,0);}
\uncover<.(9),.(10)>{\draw[-,red] (0,.5) -- (.5,0); \draw[-,red] (1,.5) -- (.5,0);}
\end{tikzpicture}
\caption{Замкнутая вселенная ($K>0$)}
\end{subfigure}
\uncover<+->{\begin{subfigure}{.49\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[dotted] (0,0) node[below] {$0$} -- node[below] {$\chi$} (1,0) node[below] {$\infty$};
\draw[-] (0,0) node[left] {$0$} -- node[left] {$\eta$} (0,1) node[left] {$\infty$};
\draw[-] (0,1) -- (1,1);
\draw[-] (1,0) -- (1,1);
\uncover<.(2)-.(3)>{\draw[red] (0,0) -- (1,1);}
\uncover<.(4),.(9)>{\draw[-,red] (0,.1) -- (.1,0);}
\uncover<.(5),.(9)>{\draw[-,red] (0,.2) -- (.2,0);}
\uncover<.(6),.(9)>{\draw[-,red] (0,.3) -- (.3,0);}
\uncover<.(7),.(9)>{\draw[-,red] (0,.4) -- (.4,0);}
\uncover<.(8),.(9)>{\draw[-,red] (0,.5) -- (.5,0);}
\end{tikzpicture}
\caption{Открытая вселенная ($K\le0$)}
\end{subfigure}}
\end{figure}
\unpause
Световой луч пересекает замкнутую вселенную за время ее жизни и возвращается в исходную точку с другой стороны,
\unpause
а в открытой вселенной уходит от исходной точки сколь угодно далеко, заметая все $\chi$.
\unpause

Это приводит к проблеме. Предположим, при рождении Вселенной имелись какие-то неоднородности.
\unpause
Тогда со временем горизонт видимости наблюдателя растет
\unpause
\unpause
\unpause
\unpause
и он видит все больше и больше этих неоднородностей.
\unpause
Чтобы Вселенная была однородной и изотропной, она должна такой родиться в первичной сингулярности.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Ультрарелятивистский газ}
\unpause

В настоящее время большая часть барионного вещества собралась в сгустки, находящиеся на большом расстоянии друг от друга и в этом смысле образующие пылевидную материю. Плотность энергии излучения тоже ничтожно мала (около $5\cdot10^{-5}\rho_c$).
\unpause
Однако на начальных стадиях эволюции Вселенной, когда масштабный параметр был мал, вещество должно было находиться в очень горячем состоянии и доля излучения тоже должна была быть большой.
\unpause
Для ультрарелятивистских частиц и излучения имеем $p={1\over3}\rho$.
\unpause
Следовательно,
\eq$$
\rho=C_ra^{-4},\quad\text{если $\rho=3p$,}
\label{rho-ainv4-ultrarel}
$$
где $C_r$ "--- постоянная.
\unpause
Аналогично введем
\eq$$
A_r={8\pi\over3}GC_r.
\label{Omegar-def}
$$
\unpause
При малых $a$ имеем $A_ra^{-4}\gg a^{-2}$, так что кривизной пространства можно пренебречь.
\unpause
Имеем
\eq$$
a(t)=A_r^{1/2}\eta=(2A_r)^{1/2}t^{1/2}.
\label{a(t)-prim-ultrarel}
$$
\unpause
На диаграмме Пенроуза это немного сдвигает начальную сингулярность вниз, но не решает проблему первичных неоднородностей. Дело в том, что эта область слишком узкая (ее «толщина» $\eta_1=A_r^{1/2}/A_m\ll\eta_0$), чтобы на этом этапе могло установиться равновесие.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Стадия ускоренного расширения}
\unpause

В 1998 году были опубликованы наблюдения, свидетельствовавшие о том, что за последние $4\div5$ миллиардов лет (начиная с $z\simeq0.3$) параметр Хаббла был примерно постоянен. Это противоречит фридмановской модели для пылевидной материи.
\unpause
Постоянство параметра Хаббла означает закон $a(t)\sim e^{Ht}$ для расширения Вселенной. Следовательно,
\eq$$
\eta\sim\int dt\,\e^{-Ht}\sim -\e^{-Ht},
\qquad
a(\eta)=-{C\over\eta}.
\label{eta-t-a-exp}
$$
\unpause
Это можно объяснить ненулевым $\Lambda$"=членом в уравнениях Эйнштейна, либо наличием вещества с уравнением состояния $p=-\rho$. В этом случае плотность такого вещества постоянна ($\rho=C_e$) и при малой кривизне получается постоянный параметр $H=\sqrt{8\pi GC_e/3}$.
\unpause
Это гипотетическое вещество (либо эквивалентное ему явление) было названо \emph{темной энергией}.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель $\Lambda$CDM}
\unpause

Известные космологические данные хорошо укладываются в довольно простую модель, называемую \emph{моделью $\Lambda$CDM}.
\unpause

Разобьем всю материю на три вида:
\begin{enumerate}
\item<+->«Пыль», включающую барионную материю и холодное темное вещество: $\rho_m=C_ma^{-3}$.
\item<+->Излучение (фотоны, нейтрино и, возможно, какие"=то другие легкие частицы): $\rho_r=C_ra^{-4}$.
\item<+->Темная энергия: $\rho_e=C_e$
\end{enumerate}
\unpause
Будем считать, что полная плотность энергии $\rho=\rho_m+\rho_r+\rho_e$ и разные виды материи не переходят друг в друга.
\unpause

Полагая $A_i={8\pi\over3}GC_i$, находим
\eq$$
t=\int{da\over\sqrt{A_r a^{-2}+A_m a^{-1}+A_ea^2-k}}.
\label{t-a-rel-univ}
$$
\unpause
Удобно привести уравнение к величинам, наблюдаемым в настоящий момент времени. Положим
\eq$$
\Aligned{
\Omega_m
&={\rho_m(t_0)\over\rho_c(t_0)}={A_m\over a_0^4H_0^2},
&\quad
\Omega_r
&={\rho_r(t_0)\over\rho_c(t_0)}={A_r\over a_0^3H_0^2},
\\
\Omega_e
&={\rho_e(t_0)\over\rho_c(t_0)}={A_r\over a_0^2H_0^2},
&\quad
\Omega_k
&=-{k\over a_0^2}=1-\Omega_m-\Omega_r-\Omega_e,
}\label{tOmega-def}
$$
где $H_0=H(t_0)$, $a_0=a(t_0)$ "--- параметр Хаббла и масштабный фактор в настоящее время $t_0\simeq13.8\cdot10^9\>\text{yr}$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель $\Lambda$CDM}
\unpause

Вводя $\tilde a(t)=a(t)/a_0$, получаем уравнение
\eq$$
t={1\over H_0}\int{d\tilde a\over\sqrt{\Omega_r\tilde a^{-2}+\Omega_m\tilde a^{-1}+\Omega_e\tilde a^2+\Omega_k}}
\label{t-atilde-rel-univ}
$$
\unpause
Из эмпирических данных имеем $\Omega_m\simeq0.31$, $\Omega_r\simeq5\cdot10^{-5}$, $\Omega_e\simeq0.69$, $|\Omega_k|\lesssim10^{-2}$. Вкладом кривизны $\Omega_k$ можно пренебречь.
\unpause
С большим запасом выполняется неравенство $\Omega_m^{4/3}\gg\Omega_r\Omega_e^{1/3}$.
\unpause
Следовательно, есть два характерных значения масштабного параметра
$$
\tilde a_1={\Omega_r\over\Omega_m}\ll\tilde a_2=\left(\Omega_m\over\Omega_e\right)^{1/3},
$$
\unpause
Эти значения разделяют расширение Вселенной на три стадии:
\begin{enumerate}
\item<+->Стадия \emph{радиационного доминирования}: $\tilde a<\tilde a_1\sim10^{-4}$ ($z_1\sim10^4$, $t_1\sim10^4\>\text{yr}$).
\item<+->\emph{Пылевая} стадия: $\tilde a_1<\tilde a<\tilde a_2\simeq0.77$ ($z_2\simeq0.30$, $t_0-t_2\simeq3.8\cdot10^9\>\text{yr}$).
\item<+->Стадия \emph{$\Lambda$"=доминирования}: $\tilde a>\tilde a_2$.
\end{enumerate}
\unpause
Хотя модель хорошо описывает наблюдательные данные, в ней есть ряд проблем. Чтобы модель работала, необходимо чрезвычайно точно «приготовить» начальное состояние сразу после Большого Взрыва.
\unpause
Для объяснения такой тонкой подгонки было предложено несколько гипотез. Наиболее правдоподобной с точки зрения наблюдательных данных в настоящий момент кажется \emph{гипотеза инфляции}.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Проблемы моделей Фридмана. Инфляция}
\unpause

\emph{1.~Проблема плоской Вселенной.}
\unpause
Согласно наблюдениям в настоящий момент Вселенная в высокой степени плоская:
\eq$$
|\Omega_k|=\left|\rho_c(t_0)-\rho(t_0)\over\rho_c(t_0)\right|\lesssim10^{-2}.
\label{fp-rho0-rhoc}
$$
\unpause
Введем функцию времени
\eq$$
\delta\Omega={\rho_c-\rho\over\rho_c}=-{K\over H^2}=-{k\over\dot a^2},
\label{fp-rho-rhoc-gen}
$$
так что $\delta\Omega(t_0)=\Omega_k$.
\unpause
Если $a(t)\sim t^\alpha$, то $\delta\Omega\sim t^{2-2\alpha}$. При $0<\alpha<1$ величина $\delta\Omega$ растет со временем.
\unpause

Например, на начало пылевой эпохи имеем
\eq$$
|\delta\Omega(t_1)|\simeq\left(t_1\over t_2\right)^{2/3}\e^{2H(t_0-t_2)}|\delta\Omega_0|\sim10^{-6}.
\label{fp-rho1-rhoc}
$$
\unpause
На момент окончания нуклеосинтеза $t_\text{nucl}\sim10^3\>\text{s}$ имеем
\eq$$
|\delta\Omega(t_{\text{nucl}})|\simeq{t_{\text{nucl}}\over t_1}|\delta\Omega_1|\sim10^{-15}.
\label{fp-rhonucl-rhoc}
$$
\unpause
По современным представлениям радиационная эпоха началась не позже $t_r\sim10^{-32}\>\text{s}$ и, значит, $\delta\Omega(t_r)\sim10^{-50}$.
\unpause
То есть на начало радиационной фазы Вселенная должна была быть плоской с фантастической точностью.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Проблемы моделей Фридмана. Инфляция}
\unpause

\emph{2.~Проблема неоднородностей и проблема горизонтов.}
\unpause
Амплитуда крупномасштабных флуктуаций плотности $\delta\rho$ меняется по тому же закону, что и $\delta\Omega$, поэтому на начало радиационной стадии Вселенная должна была быть фантастически однородной.
\unpause

Оценим характерные масштабы неоднородности.
\unpause
Если неоднородности не распространяются очень быстро, то они должны сохранять углы $\chi,\vartheta,\varphi$.
\unpause
В этих координатах радиус наблюдаемой нами области в предшествующий момент времени $t$ равен
\eq$$
\chi_{\text{max}}=\eta_0-\eta=\int^{t_0}_t{dt\over a(t)}.
\label{fp-chimax}
$$
\unpause
Если $a(t)\sim t^\alpha$, то $\eta\sim t^{1-\alpha}$ и в достаточно далеком прошлом
\eq$$
\eta\ll\chi_{\text{max}}\simeq\eta_0.
\label{fp-eta<<chimax}
$$
\unpause
Самое древнее событие, которое мы можем наблюдать непосредственно, это рекомбинация плазмы ($z\simeq10^3$), породившая реликтовое излучение. Для него
\eq$$
t_{\text{rec}}\simeq4\cdot10^5\>\text{yr},
\quad
{\eta_{\text{rec}}\over\eta_0}\sim\left(t_{\text{rec}}\over t_2\right)^{1/3}\simeq0.04.
\label{fp-etared/eta0}
$$
(мы пренебрегли недолгой стадией $\Lambda$"=доминирования). Мы должны были бы наблюдать это как сильную анизотропию реликтового излучения на угловых масштабах порядка нескольких градусов. Эксперимент же показывает чрезвычайно малую анизотропию (порядка $10^{-4}$) на этих угловых масштабах.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Проблемы моделей Фридмана. Инфляция}
\unpause

Решение проблемы может заключаться в том, что момент $\eta=0$, начальный во фридмановских моделях, не является начальным моментом реальной Вселенной.
\unpause
Ему должен предшествовать период по крайней мере до значений $\eta<-\eta_0$:
$$
\begin{tikzpicture}
\fill[draw=none,fill=gray!10] (.7,0) -- (3.5,2.8) -- (6.3,0) -- cycle;
\fill[draw=none,fill=gray!30] (2.7,0) -- (3.5,.8) -- (4.3,0) -- cycle;
\draw[-] (0,3) -- (0,0) -- node[anchor=north] {$\chi$} (8,0) -- (8,3);
\draw[dashed] (0,3) -- (0,3.5) node[anchor=east] {$\eta$};
\draw[dashed] (8,3) -- (8,3.5);
\draw[-,line width=2pt] (.7,0) -- (3.5,2.8) -- (6.3,0);
\draw[dashed] (2.5,1.8) -- (4.3,0);
\draw[dashed] (4.5,1.8) -- (2.7,0);
\draw[dotted] (0,2.8) node[anchor=east] {$\eta_0$} -- (8,2.8);
\draw[dotted] (0,1.8) node[anchor=east] {$10^{-5}\eta_0$} -- (8,1.8);
\draw[dotted] (0,.6) node[anchor=east] {$-\eta_0$} -- (8,.6);
\end{tikzpicture}
$$
\unpause
Затемненная область "--- это область видимости из нашей точки Вселенной в наше время. Более темная область "--- эта общая область, которая могла бы влиять на температуру реликтового излучения из противоположных точек на небе.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Проблемы моделей Фридмана. Инфляция}
\unpause

Одним из объяснений такой области является \textbf{гипотеза инфляции}.
\unpause
Гипотеза предполагает, что фридмановской фазе предшествовала краткая в масштабах синхронного времени $t$, но продолжительная в масштабах параметра $\eta$ фаза экспоненциального расширения (\emph{инфляции}):
\eq$$
a(t)\sim\e^{H_*t}\sim-\eta^{-1},
\label{inf-a}
$$
где $H_*$ "--- очень большой и мало меняющийся на протяжении этого периода параметр Хаббла.
\unpause
При таком быстром расширении основные проблемы можно решить.
\unpause

\emph{1.~Проблема плоской Вселенной.} На инфляционной стадии отклонение плотности от критической \emph{уменьшается}:
$$
|\delta\Omega|\sim\dot a^{-2}\sim\e^{-2H_*t}.
$$
\unpause
Предположим, что Вселенная родилась каким-то квантовым образом на масштабах планковской длины
$$
l_\Pl=\sqrt{\hbar G\over c^3}\simeq1.6\cdot10^{-33}\>\text{cm}.
$$
\unpause
Положим $\delta\Omega_\Pl\sim1$. Тогда $\delta\Omega(t_r)\sim10^{-52}$ будет достигнуто при $a\sim10^{-7}\>\text{cm}$.
\unpause
Предполагая $H_*T_*\simeq60$ и $T_*\sim t_r\sim10^{-32}\>\text{s}$, оцениваем $H_*\gtrsim10^{34}\>\text{s}^{-1}$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Проблемы моделей Фридмана. Инфляция}
\unpause

\emph{2.~Проблема начальной неоднородности.} Амплитуда неоднородностей падает так же как и отклонение от $\rho_c$.
\unpause
Если при рождении Вселенной масштабы неоднородностей неоднородности были $\sim a\sim l_\Pl$, то в процессе инфляции и они растянулись и остаются порядка $a(t_r)$.
\unpause
Таким образом, и сейчас первичные неоднородности должны иметь масштабы больше видимой части Вселенной.
\unpause

\emph{3.~Проблема горизонтов.} Для наблюдателя в конце стадии инфляции имеем
\eq$$
\chi_{\text{max}}\simeq{1\over H_*a(t_r)}\left(\e^{H_*T_*}-1\right).
\label{inf-chimax}
$$
\unpause
Полагая $T_*\sim t_r$ и $a(t_r)\sim10^{-7}\>\text{cm}$, получаем $\chi_{\text{max}}\sim10^9$. (Это, конечно, имеет смысл для открытой вселенной.)
\unpause
Этого достаточно для установления равновесия в видимой части Вселенной.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Проблемы моделей Фридмана. Инфляция}
\unpause

\emph{Возможный механизм инфляции.} Рассмотрим скалярное поле $\Phi$ с действием
\eq$$
S[\Phi]=\int d^4x\sqrt{|g|}\left({1\over2}g^{\mu\nu}\,\d_\mu\Phi\,\d_\nu\Phi-V(\Phi)\right).
\label{inf-Phi-action}
$$
Обычно считают $V(\Phi)\ge V(0)=0$.
\unpause
Тензор энергии"=импульса
\eq$$
T_{\mu\nu}=\left(\d_\mu\Phi\,\d_\nu\Phi-{1\over2}g_{\mu\nu}g^{\kappa\lambda}\d_\kappa\Phi\,\d_\lambda\Phi\right)
+g_{\mu\nu}V(\Phi).
\label{inf-Phi-Tmunu}
$$
\unpause
Если по какой"=то причине поле $\Phi$ однородно и почти постоянно, имеем
\eq$$
T_{\mu\nu}\simeq g_{\mu\nu}\rho(t),
\qquad
\rho(t)=V(\Phi(t)).
\label{inf-Phi-Tmunu-stat}
$$
\unpause
Эффективно это эквивалентно $\Lambda$"=члену.
\unpause

Разрешим полю меняться со временем быстрее. Тогда
\eq$$
\rho=\only<.>{\rlap{\red\vrule height 6pt depth 2pt width 1pt}}\uncover<.(1)->{{\dot\Phi^2\over2}+V(\Phi),}
\qquad
p=\only<.>{\rlap{\red\vrule height 6pt depth 2pt width 1pt}}\uncover<+->{{\dot\Phi^2\over2}-V(\Phi).}
\label{inf-Phi-Tmunu-homogeneous}
$$
\unpause
Уравнения Лагранжа
\eq$$
{1\over\sqrt{|g|}}\d_\mu(\sqrt{|g|}g^{\mu\nu}\d_\nu\Phi)=-{dV\over d\Phi}
\label{inf-Phi-eqmo}
$$
дают
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
$$
{d\over dt}\left(a^3{d\Phi\over dt}\right)=-a^3{dV\over d\Phi}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Проблемы моделей Фридмана. Инфляция}
\unpause

Это уравнение вместе с уравнением Фридмана дает систему
\only<.>{{\red\hrule}}
\unpause
\eq$$
\Gathered{
\ddot\Phi+3{\dot a\over a}\dot\Phi+V'(\Phi)=0,
\\
{\dot a^2\over a^2}+{k\over a^2}={8\pi\over3}G\left({\dot\Phi^2\over2}+V(\Phi)\right).
}\label{inf-Phi-a-eqmo}
$$
\unpause
\emph{Задача.} Покажите, что любое решение этих уравнений удовлетворяет уравнению
$$
\dot\rho+3{\dot a\over a}(\rho+p)=0.
$$
\unpause
Таким образом, расширение вселенной работает как трение для релаксации поля $\Phi$. Поэтому для инфляции даже не нужно локального минимума поля $V(\Phi)$, достаточно, чтобы $|\Phi|$ было достаточно велико в момент рождения вселенной, а потенциал был достаточно пологим.



\end{frame}

\end{document}
