% !TeX spellcheck = ru_RU % !TeX encoding = UTF-8 \documentclass[8pt,pdf,t]{beamer} \usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,transparent,blkarray,bigstrut,hyperref} %\usepackage[cm]{fullpage} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage[shortcuts]{extdash} %\usepackage[notref,notcite]{showkeys} \usepackage{tikz} %%% tikz %%% \usetikzlibrary{arrows.meta,shapes.misc,decorations.markings,intersections,calc} \tikzset{>={Stealth[length=2mm]}} \tikzstyle{every picture} += [remember picture] \tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex] \tikzset{>={Stealth[length=2mm]}} \tikzset{cross/.style={cross out, draw=black, fill=none, minimum size=2*(#1-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt, sloped}, cross/.default={2pt}} \def\vwave(#1,#2);{\draw[-] ([yshift=.2cm]#1,#2) to[out=-120,in=120] (#1,#2) to[out=-60,in=60] ([yshift=-.2cm]#1,#2);} %%%%%%%%%%%%%%%%% \usetheme{Warsaw} \usefonttheme{serif} \def\smallskip{\vskip\smallskipamount} \def\medskip{\vskip\medskipamount} \def\bigskip{\vskip\bigskipamount} \let\{=\lbrace \let\}=\rbrace \let\[=\lbracket \let\]=\rbracket \long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}} \long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}} \def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}} \long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}} \def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}} \def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}} \def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}} \def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}} \def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}} \def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}} \def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}} \def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}} \def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}} \def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}} \def\Multline#1$$#2$${\vspace{-\baselineskip}\begin{multline#1}#2\end{multline#1}} \def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}} \def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}} \def\d{\partial} \def\bd{{\bar\d}} \def\bpsi{{\bar\psi}} \def\bvarphi{{\bar\varphi}} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} %\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits} %\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} %\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits} %\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits} %\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits} \def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}} \def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\cH{{\cal H}} \def\cI{{\cal I}} \def\cN{{\cal N}} \def\cS{{\cal S}} \def\bz{{\bar z}} \def\bw{{\bar w}} \def\bw{{\bar w}} \def\tphi{{\tilde\phi}} \def\vq{{\vec q}} \def\vx{{\vec x}} \def\vy{{\vec y}} \def\vJ{{\vec J}} \def\va{{\vec a}} \def\vb{{\vec b}} \def\ve{\varepsilon} \def\eff{{\rm eff}} \def\const{\mathinner{\rm const}} \def\id{\mathinner{\rm id}} \def\i{{\mathord{\rm i}}} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} \def\Res{\mathop{\rm Res}\limits} \def\trho{{\tilde\rho}} \def\ta{{\tilde a}} \def\phys{{\text{phys}}} \def\bn{{\boldsymbol n}} \def\bp{{\boldsymbol p}} \def\br{{\boldsymbol r}} \def\bR{{\boldsymbol R}} \def\bS{{\boldsymbol S}} \def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}} \def\eF{{\epsilon_F}} \def\Ech{{E_{\text{ch}}}} \def\Esp{{E_{\text{sp}}}} \def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}} \def\Eim{{E_{\text{im}}}} \def\el{{\text{el}}} \def\im{{\text{im}}} \def\aux{{\tilde1}} \def\lcolon{\mathopen{\,:}} \def\rcolon{\mathclose{:\,}} \def\Xint#1{\mathchoice {\XXint\displaystyle\textstyle{#1}}% {\XXint\textstyle\scriptstyle{#1}}% {\XXint\scriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}% {\XXint\scriptscriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}% \!\int} \def\XXint#1#2#3{{\setbox0=\hbox{$#1{#2#3}{\int}$} \vcenter{\hbox{$#2#3$}}\kern-.5\wd0}} \def\ddashint{\Xint=} \def\dashint{\Xint-} \makeatletter \let\over\@@over \let\atop\@@atop \let\above\@@above \let\overwithdelims\@@overwithdelims \let\atopwithdelims\@@atopwithdelims \let\abovewithdelims\@@abovewithdelims \makeatother \def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}} \def\emph#1{{\color{blue}#1}} \def\red{\color{red}} \def\blue{\color{blue}} \def\olive{\color{olive}} \def\black{\color{black}} \def\unpause{\onslide<+->\relax} \addtobeamertemplate{frametitle}{}{\vspace{-.5em}} %%% tikz %%% \usetikzlibrary{arrows.meta,shapes.misc,decorations.markings} \usetikzlibrary{calc} \tikzset{>={Stealth[length=2mm]}} \tikzset{cross/.style={cross out, draw=black, fill=none, minimum size=2*(#1-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt, sloped}, cross/.default={2pt}} \def\vwave(#1,#2);{\draw[-] ([yshift=.2cm]#1,#2) to[out=-120,in=120] (#1,#2) to[out=-60,in=60] ([yshift=-.2cm]#1,#2);} %%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \title[Лекция 6. Частицы с контактным взаимодействием]{Лекция 6\\Бозоны и фермионы с контактным взаимодействием} \date{} \author{Михаил Лашкевич} \frame{\titlepage} \begin{frame} \frametitle{Модель Либа"--~Линихера} \unpause Пусть $\varphi(t,x)$, $\varphi^+(t,x)$ "--- бозонный оператор и эрмитово сопряженный ему оператор с коммутационными соотношениями $$ [\varphi(x),\varphi^+(x')]=\delta(x-x'), \quad [\varphi(x),\varphi(x')]=[\varphi^+(x),\varphi^+(x')]=0. $$ \unpause Рассмотрим систему с гамильтонианом $$ H=\int dx\,\left({\d_x\varphi^+\,\d_x\varphi\over2m}+{c\over2}(\varphi^+)^2\varphi^2\right). $$ \unpause Уравнение Гайзенберга для поля $\varphi$ имеет вид $$ \i\,\d_t\varphi=-{1\over2m}\d_x^2\varphi-c\varphi^+\varphi^2. $$ \unpause Если сделать замену $\varphi\to\hbar^{-1/2}\varphi$, $c\to\hbar c$, в классическом пределе $\hbar\to0$. получим нелинейное уравнение Шрёдингера. \unpause Два оператора \eq$$ Q=\int dx\,\varphi^+\varphi, \quad P=-\i\int dx\,\varphi^+\,\d_x\varphi \label{QP-LL} $$ коммутируют с гамильтонианом: $[H,Q]=[H,P]=0$. \unpause $Q$ "--- оператор числа частиц;\\ $P$ "--- оператор импульса. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель Либа"--~Линихера} \unpause Введем вакуум: $$ \varphi(x)|0\rangle=0, \quad \langle0|\varphi^+(x)=0. $$ \unpause Определим $N$"=частичные состояния: $$ |\chi_N\rangle=\int d^Nx\,\chi(x_1,\ldots,x_N)\varphi^+(x_N)\cdots\varphi^+(x_1)|0\rangle, \quad Q|\chi_N\rangle=N|\chi_N\rangle, $$ \unpause Определим действие гамильтониана на волновые функции $\chi$: $$ H|\chi_N\rangle=\int d^Nx\,(\hat H_N\chi)(x_1,\ldots,x_N)\varphi^+(x_N)\cdots\varphi^+(x_1)|0\rangle. $$ \unpause Первично"=квантованный гамильтониан $\hat H_N$ имеет вид $$ \hat H_N=-{1\over2m}\sum^N_{i=1}\d_{x_i}^2+c\sum_{1\le ix_2$.}} $$ Здесь использована симметрия: $\chi(x_1,x_2)=\chi(x_2,x_1)$. \unpause Энергия равна сумме энергий частиц: $$ E={p_1^2+p_2^2\over2m}, $$ \unpause Найдем отношение коэффициентов $A_{21}/A_{12}$, используя взаимодействие. \unpause Перейдем в систему центра масс. Положим $X={1\over2}(x_1+x_2)$, $x=x_1-x_2$. Гамильтониан $$ \hat H_2=-{1\over4m}\d_X^2-{1\over m}\d_x^2+c\delta(x), $$ \unpause а волновая функция $$ \chi(X+{\textstyle{x\over2}},X-{\textstyle{x\over2}})=e^{\i PX}\times\Cases{A_{12}e^{\i px/2}+A_{21}e^{-\i px/2}&\text{при $x<0$;}\\ A_{21}e^{\i px/2}+A_{12}e^{-\i px/2}&\text{при $x>0$;}} \quad \Aligned{ P &=p_1+p_2, \\ p &=p_1-p_2.} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Двухчастичная волновая функция} \unpause Проинтегрируем уравнение $\hat H_2\chi=E\chi$ по небольшому интервалу $[-\epsilon,\epsilon]$. Получим $$ \Aligned{ 0 &=-\left.{1\over m}\d_x\chi(X+{\textstyle{x\over2}},X-{\textstyle{x\over2}})\right|^{x=+0}_{x=-0}+c\chi(X,X) \\ &=\left.{1\over2m}(\d_{x_2}\chi(x_1,x_2)-\d_{x_1}\chi(x_1,x_2))\right|^{x_1=x_2+0}_{x_1=x_2-0}+c\chi(x_2,x_2). } $$ \unpause Отсюда имеем $$ {A_{21}\over A_{12}}=S(p_1-p_2), \quad S(p)\equiv-e^{\i\Phi(p)}={p-\i mc\over p+\i mc}. $$ \unpause Функция $S(p)$ представляет собой матрицу рассеяния двух частиц, а функция $\Phi(p)$, такая что $$ \Phi(-p)=-\Phi(p) $$ представляет собой фазу рассеяния, сдвинутую на $\pi$. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Анзац Бете} \unpause Волновая функция должна \begin{enumerate} \item<.-> быть линейной комбинацией плоских волн при $x_i\ne x_j$ ($\forall i\ne j$); \item<+-> быть симметричной по отношению к перестановкам $x_i\leftrightarrow x_j$; \item<+-> при $x_i=x_j$ удовлетворять уравнению $$ \left.{1\over2m}(\d_{x_j}\chi(\{x_k\}^N_{k=1})-\d_{x_i}\chi(\{x_k\}^N_{k=1}))\right|^{x_i=x_j+0}_{x_i=x_j-0} +\left.c\chi(\{x_k\}^N_{k=1})\right|_{x_i=x_j}=0. $$ \end{enumerate} \unpause Будем искать волновые функции в виде \emph{анзаца (подстановки) Б\'{е}те} $$ \chi(x_1,\ldots,x_N)=\sum_{\tau\in S^N}A_\tau\exp\left(\i\sum^N_{i=1}p_{\tau_i}x_{\sigma_i}\right), \quad x_{\sigma_1}p_\text{max}$ вакантны. \unpause Очевидно, $p_\text{max}={\pi\over L}(N-1)$, то есть $n_i$ пробегают значения от $-{N-1\over2}$ до ${N-1\over2}$. \unpause Следовательно, энергия основного состояния равна $$ E^{(0)}_N(+\infty)={\pi^2\over2mL^2}\sum^{N-1}_{k=0}\left(N-1-2k\over2\right)^2={\pi^2N(N-1)(2N-1)\over48mL^2}\simeq{\pi^2N^3\over24mL^2}. $$ Последнее приближенное равенство верно в термодинамическом пределе $L\to\infty$, ${N\over L}=\const$. При конечных $c>0$ для положительных импульсов $\sum_j\Phi(p_i-p_j)>0$, а для отрицательных импульсов ${}<0$. Поэтому $$ p_\text{max}(c)0$ \unpause и $p_\text{max}(0)=0$, $E^{(0)}_N(0)=0$ (см.\ задачу 6.3). \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Термодинамический предел} \unpause Рассмотрим термодинамический предел $L\to\infty$, $N/L=\const$. \unpause Расположим $n_i$ в возрастающем порядке: $n_{i+1}>n_i$. В термодинамическом пределе $p_{i+1}-p_i\sim L^{-1}\to0$. Также $p(n+1)-p(n)\sim L^{-1}\to0$. Поэтому мы можем ввести спектральные плотности состояний и частиц. \unpause \emph{Спектральную плотность состояний} определим как $$ \rho(p)={2\pi\,dn\over L\,dp(n)}=\left\langle2\pi\over L(p(n+1)-p(n))\right\rangle. $$ Усреднение производится по небольшому интервалу. \unpause Аналогично введем \emph{спектральную плотность частиц}: $$ \rho^\bullet(p)={2\pi\,di\over L\,dp_i}=\left\langle2\pi\over L(p_{i+1}-p_i)\right\rangle. $$ \unpause Вернемся к уравнению $$ pL+\sum^N_{j=1}\Phi(p-p_j)=2\pi n. $$ \unpause Возьмем разность двух таких уравнения с последовательными значениями $n$ и поделим на $L(p(n+1)-p(n))$: $$ 1+{1\over L}\sum^N_{j=1}{\Phi(p(n+1)-p_j)-\Phi(p(n)-p_j)\over p(n+1)-p(n)}={2\pi\over L(p(n+1)-p(n))}. $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Термодинамический предел} \unpause Перепишем уравнение так: \Multline*$$ 1+\sum^N_{j=1}{p_{j+1}-p_j\over2\pi}{\Phi(p(n+1)-p_j)-\Phi(p(n)-p_j)\over p(n+1)-p(n)} \uncover<.(2)->{\tikz[overlay,baseline=-1pt]{\draw[-,blue,thick] (-.05,0) -- (-.05,.4) -- (1.9,.4) node[right,rotate=20] {${}=\rho^\bullet(p)$} -- (1.9,-.4) -- (-.05,-.4) -- cycle;}}{2\pi\over L(p_{j+1}-p_j)} \\ =\uncover<.(1)->{\tikz[overlay,baseline=-1pt]{\draw[-,red,thick] (-.05,0) -- (-.05,.4) -- (2.55,.4) node[right,rotate=20] {${}=\rho(p)$} -- (2.55,-.4) -- (-.05,-.4) -- cycle;}}{2\pi\over L(p(n+1)-p(n))}. $$ \unpause В правой части мы видим плотность состояний, \unpause а в левой "--- плотность частиц. \unpause Теперь сумму превращаем в интеграл $$ 1+\int^\infty_{-\infty}{dp'\over2\pi}\,\Phi'(p-p')\rho^\bullet(p')=\rho(p). $$ \unpause Мы получили линейное интегральное уравнение, связывающее плотность частиц и плотность состояний. \unpause Дополним эту систему условием на количество частиц $$ \int^\infty_{-\infty}{dp\over2\pi}\,\rho^\bullet(p)={N\over L}. $$ \unpause Разумеется, спектральная плотность частиц не может превышать спектральную плотность состояний. Поэтому накладываем ограничение $$ 0\le\rho^\bullet(p)\le\rho(p). $$ \unpause Импульс и энергия системы равны $$ P=L\int{dp\over2\pi}\,\rho^\bullet(p)p, \quad E=L\int{dp\over2\pi}\,\rho^\bullet(p){p^2\over2m}. $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Основное состояние} \unpause В случае основного состояния все состояния с $p\le p_\text{max}$ заполнены, а все состояния с $p>p_\text{max}$ вакантны. Поэтому $$ \rho^\bullet(p)=\Cases{\rho(p),&|p|\le p_\text{max};\\0,&|p|>p_\text{max}.} $$ \unpause Получаем систему уравнений $$ 1+\int^{p_\text{max}}_{-p_\text{max}}{dp'\over2\pi}\,\Phi'(p-p')\rho(p')=\rho(p), \quad \int^{p_\text{max}}_{-p_\text{max}}{dp\over2\pi}\,\rho(p)={N\over L}. $$ \unpause Импульс такой системы равен нулю, а плотность энергии равна $$ {E\over L}=\int^{p_\text{max}}_{-p_\text{max}}{dp\over2\pi}\,\rho(p){p^2\over2m}. $$ \unpause Уравнения Бете в интегральной форме можно решать численно или аналитически в каких-то предельных случаях. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель фермионов с дельтаобразным взаимодействием} \unpause Модель Либа"--~Линихера является простейшим случаем интегрируемых моделей с дельтаобразным взаимодействием "--- моделей Янга"--~Год\'{е}на. Рассмотрим простейшую фермионную модель из этого класса. \unpause Пусть $\psi_\pm(x)$, $\psi^+_\pm(x)$ "--- фермионные поля с коммутационными соотношениями $$ \{\psi_\ve(x),\psi_{\ve'}^+(x')\}=\delta_{\ve\ve'}\delta(x-x'), \quad \{\psi_\ve(x),\psi_{\ve'}(x')\}=\{\psi_\ve^+(x),\psi_{\ve'}^+(x')\}=0. $$ \unpause Введем систему с гамильтонианом $$ H=\int dx\,\left(\sum_{\ve=\pm}{\d_x\psi_\ve^+\,\d_x\psi_\ve\over2m}+c\psi_+^+\psi_-^+\psi_-\psi_+\right). $$ Обратим внимание, что здесь взаимодействуют только частицы с \emph{разными спинами}. \unpause Числа частиц каждого спина и импульс $$ Q_\ve=\int dx\,\psi_\ve^+\psi_\ve, \quad P=-\i\sum_{\ve=\pm}\int dx\,\psi_\ve^+\,\d_x\psi_\ve $$ сохраняются: $[H,Q_\ve]=[H,P]=0$. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Фермионная модель} \unpause Введем вакуум условиями $$ \psi_\ve(x)|0\rangle=0, \quad \langle0|\psi_\ve^+(x)=0 $$ \unpause и состояния с фиксированным числом частиц $$ |\chi_N\rangle=\int d^Nx\,\chi^{\ve_1\ldots\ve_N}(x_1,\ldots,x_N)\psi_{\ve_N}^+(x_N)\cdots\psi_{\ve_1}^+(x_1)|0\rangle. $$ \unpause Гамильтониан $\hat H_N$, действующий на волновые функции определяется уравнением $$ H|\chi_N\rangle=\int d^Nx\,(\hat H_N\chi)^{\ve_1\ldots\ve_N}(x_1,\ldots,x_N)\psi_{\ve_N}^+(x_N)\cdots\psi_{\ve_1}^+(x_1)|0\rangle $$ \unpause и равен $$ \hat H_N=-{1\over2m}\sum^N_{i=1}\d_{x_i}^2+{c\over2}\sum_{ix_2.} $$ антисимметрична по отношению к перестановке $(\ve_1,x_1)\leftrightarrow(\ve_2,x_2)$. \unpause Подставляя в уравнение Шрёдингера и требуя непрерывности волновой функции: $$ A^{\ve_1\ve_2}_{12}-A^{\ve_1\ve_2}_{21}=A^{\ve_2\ve_1}_{21}-A^{\ve_2\ve_1}_{12}, $$ \unpause получаем $$ A_{21}^{\ve_2\ve_1}=\sum_{\ve'_1\ve'_2}S(p_1-p_2)^{\ve_1\ve_2}_{\ve'_1\ve'_2}A_{12}^{\ve'_1\ve'_2}, \quad S(p)=\, \raise 3pt\hbox{$\begin{blockarray}{ccccc} ++&+-&-+&--&\\ \begin{block}{(cccc)c} 1\bigstrut&&&&++\\ &{p\over p+\i mc}&{\i mc\over p+\i mc}&&+-\\ &{\i mc\over p+\i mc}&{p\over p+\i mc}&&-+\\ &&&1&--\\ \end{block} \end{blockarray}$} $$ \unpause Матрица $S(p)$ удовлетворяет уравнению Янга"--~Бакстера $$ S_{12}(p_1-p_2)S_{13}(p_1-p_3)S_{23}(p_2-p_3)=S_{23}(p_2-p_3)S_{13}(p_1-p_3)S_{12}(p_1-p_2) $$ \unpause и при $p=0$ является оператором перестановки: $$ S(0)=\quad \begin{tikzpicture}[baseline=-2.5pt,scale=.5] \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p$} -- (1,1); \draw[->] (1,-1) node[below right] {$p$} -- (-1,1); \end{tikzpicture} \quad=\quad \begin{tikzpicture}[baseline=-2.5pt,scale=.5] \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p$} -- (-.2,-.2) to[out=45,in=-45] (-.2,.2) -- (-1,1); \draw[->] (1,-1) node[below right] {$p$} -- (.2,-.2) to[out=135,in=-135] (.2,.2) -- (1,1); \end{tikzpicture} \quad=P. $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Фермионная модель. Анзац Бете} \unpause Многочастичную волновую функцию запишем опять в виде \emph{анзаца Бете}: $$ \chi^{\ve_1\ldots\ve_N}(x_1,\ldots,x_N)=\sum_{\tau\in S^N}(-1)^{\sigma\tau} A_\tau^{\ve_{\sigma_1}\ldots\ve_{\sigma_N}}e^{\i\sum^N_{i=1}p_{\tau_i}x_{\sigma_i}}, \quad x_{\sigma_1}] (-2,0) -- (-3.3,0) to[out=180,in=-90] (-3.5,0.2) -- (-3.5,.6); \draw[->] (2.5,-.5) node[below] {$i+1$} -- (2.5,.6); \draw[->] (.5,-.5) node[below] {$N$} -- (.5,.6); \draw[->] (-.5,-.5) node[below] {$1$} -- (-.5,.6); \draw[->] (-2.5,-.5) node[below] {$i-1$} -- (-2.5,.6); \end{tikzpicture} \\ &\uncover<+->{{}=\quad \begin{tikzpicture}[baseline=-2.5pt,scale=.8] \draw[-] (0,-.5) node[below] {$i$} -- (0,-.2) to[out=90,in=0] (-.2,0) -- (-1.5,0); \draw[dashed] (-1.5,0) -- (-2.5,0); \draw[->] (-2.5,0) -- (-3.6,0); \vwave(-3.6,0); \vwave(3.5,0); \draw[-] (3.5,0) -- (2.5,0); \draw[dashed] (2.5,0) -- (1.5,0); \draw[->] (1.5,0) -- (.2,0) to[out=180,in=-90] (0,.2) -- (0,.6); \draw[->] (3,-.5) node[below] {$1$} -- (3,.6); \draw[->] (1,-.5) node[below] {$i-1$} -- (1,.6); \draw[->] (-1,-.5) node[below] {$i+1$} -- (-1,.6); \draw[->] (-3,-.5) node[below] {$N$} -- (-3,.6); \end{tikzpicture}} \\ &\uncover<+->{{}=\quad \begin{tikzpicture}[baseline=-2.5pt,scale=.8] \vwave(3.5,0); \draw[-] (3.5,0) node[right] {$0$} -- (2.5,0); \draw[dashed] (2.5,0) -- (1.5,0); \draw[-] (1.5,0) -- (-1.5,0); \draw[dashed] (-1.5,0) -- (-2.5,0); \draw[->] (-2.5,0) -- (-3.6,0) node[above,xshift=7pt] {$p_i$}; \vwave(-3.6,0); \draw[->] (3,-.5) node[below] {$1$} -- (3,.6); \draw[->] (1,-.5) node[below] {$i-1$} -- (1,.6); \draw[->] (0,-.5) node[below] {$i$} -- (0,.6); \draw[->] (-1,-.5) node[below] {$i+1$} -- (-1,.6); \draw[->] (-3,-.5) node[below] {$N$} -- (-3,.6); \end{tikzpicture}} \uncover<+->{\quad=T(p_i;p_1,\ldots,p_N).} $$ \unpause Здесь $$ T(p)\equiv T(p;p_1,\ldots,p_N)=\tr_0(S_{N0}(p_N-p)\cdots S_{20}(p_2-p)S_{10}(p_1-p)). $$ Мы знаем, что такие трансфер"=матрицы коммутируют: $[T(p),T(p')]=0$. Следовательно, и $[T^{(i)},T^{(j)}]=0$. \unpause Поэтому задача $$ e^{\i p_iL}T^{(i)}(p_1,\ldots,p_N)A_{1\ldots N}=A_{1\ldots N} $$ \unpause сводится к задаче о собственных значениях трансфер"=матрицы: $$ T(p;p_1,\ldots,p_N)A_{1\ldots N}=\Lambda(p;p_1,\ldots,p_N)A_{1\ldots N}, \quad e^{-\i p_iL}=\Lambda(p_i;p_1,\ldots,p_N). $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Фермионная модель. Уравнения Бете} \unpause Задача свелась к диагонализации трансфер"=матрицы неоднородной шестивершинной модели в рациональной точке ($a+b=c$) и решается методом алгебраического анзаца Бете. \unpause В подпространстве спина $$ S^z={N\over2}-n $$ \unpause уравнения Бете имеют вид $$ \uncover<.(3)->{\tikz[overlay,baseline=-1pt]{\draw[-,red,thick] (-.05,0) -- (-.05,.6) -- (7.5,.6) -- (7.5,-.8) -- (-.05,-.8) -- cycle;}} \prod^N_{i=1}{u_a-p_i+{\i mc\over2}\over u_a-p_i-{\i mc\over2}}=\prod^n_{\substack{b=1\\b\ne a}}{u_a-u_b+\i mc\over u_a-u_b-\i mc}, \quad a=1,\ldots,n. $$ \unpause Каждому решению этих уравнений Бете отвечает собственное значение трансфер"=матрицы $T(p)$ вида $$ \Lambda\left(p;\{p_k\};\{u_b\}\right) =\prod^n_{a=1}{u_a-p-{\i mc\over2}\over u_a-p+{\i mc\over2}} +\prod^N_{i=1}{p-p_i\over p-p_i-\i mc}\prod^n_{a=1}{p-u_a-{3\i mc\over2}\over p-u_a-{\i mc\over2}}. $$ \unpause Второе слагаемое исчезает при $p=p_i$. Получаем $$ \uncover<.(1)->{\tikz[overlay,baseline=-1pt]{\draw[-,red,thick] (-.15,0) -- (-.15,.6) -- (5.8,.6) -- (5.8,-.6) -- (-.15,-.6) -- cycle;}} e^{\i p_iL}=\prod^n_{a=1}{u_a-p_i+{\i mc\over2}\over u_a-p_i-{\i mc\over2}}, \quad i=1,\ldots,N. $$ \unpause Мы получили полный набор уравнений Бете. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Семинар. Вычеты $S$"=матрицы и связанные состояния} \unpause Рассмотрим систему двух тождественных нерелятивистских бозонов с $m=1$ и с некоторым безотражательным потенциалом $U(x_1-x_2)$: $$ H=-{1\over2}(\d_{x_1}^2+\d_{x_2}^2)+U(x_1-x_2). $$ \unpause Асимптотическая волновая функция $$ \psi(x_1,x_2)=\Cases{A_{12}e^{\i p_1x_1+\i p_2x_2}+A_{21}e^{\i p_2x_1+\i p_1x_2},&x_1x_2.} $$ \unpause Перейдем в систему отсчета центра масс ($x=x_1-x_2$, $p=p_1-p_2$): $$ \psi(x)=\Cases{A_{12}(p)e^{{\i\over2}px}+A_{21}(p)e^{-{\i\over2}px},&x<0; \\ A_{21}(p)e^{{\i\over2}px}+A_{12}(p)e^{-{\i\over2}px},&x>0.} $$ \unpause Предположим, что $S$"=матрица $$ S(p)=A_{21}(p)/A_{12}(p) $$ \unpause имеет полюс в точке $p=\i u_0$: $$ S(p)={\i G\over p-\i u_0}+O\left((p-\i u_0)^0\right). $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Семинар. Вычеты $S$"=матрицы и связанные состояния} \unpause Нормируем волновую функцию условием $A_{21}(p)=1$. Тогда $$ A_{12}(p)=G^{-1}(-\i p-u_0)+O\left((-\i p-u_0)^2\right). $$ \unpause \emph{Всюду ниже мы будем считать импульс $p$ мнимым. Тогда $\chi(x)\in\R$.} \unpause Выпишем уравнение Шрёдингера и его производную по $p$ ($\d=\d_x$, $\chi'=\d_p\chi$): $$ \Aligned{ \uncover<.(2)->{\tikz[overlay,baseline]{\draw (0,0) node[yshift=-.9em] {$-~~~$};}\chi'\times|} &&-\d^2\chi+U(x)\chi &=p^2\chi, \\ \uncover<.(2)->{\chi\times|} &&\uncover<+->{-\d^2\chi'+U(x)\chi'} &\uncover<.->{{}=2p\chi+p^2\chi'.} } $$ \unpause Домножим первое уравнение на $\chi'$, а второе "--- на $\chi$ и вычтем. Получим: \unpause $$ \d(\chi\,\d\chi'-\chi'\,\d\chi)=-2p\chi^2. $$ \unpause Интегрируя по большому интервалу $[-L,L]$, получим $$ {1\over2p}(\chi'\,\d\chi-\chi\,\d\chi')\Bigr|^L_{x=-L}=\int^L_{-L}dx\,\chi^2(x)>0. $$ \unpause Вычислим левую часть при $p=\i u_0$. Для начала $$ \Aligned{ \chi(x)|_{p=\i u_0}=\chi(-x)|_{p=\i u_0} &=\uncover<.(1)->{e^{-u_0x/2}} \\ \chi'(x)|_{p=\i u_0}=\chi'(-x)|_{p=\i u_0} &=\uncover<.(2)->{-\i G^{-1}e^{u_0x/2}} } \quad (x>0) $$ \unpause\unpause\unpause Отсюда получаем \unpause $$ {1\over2G}=\int^\infty_{-\infty}dx\,\chi^2(x)>0 \quad\Rightarrow\quad G=\Gamma^2>0. $$ \end{frame} \end{document}