% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}

\def\phys{{\text{phys}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\begin{document}

\title[Лекция 7. Модель Тирринга: анзац Бете]{Лекция 7.\\Решение модели Тирринга методом анзаца Бете: построение собственный состояний}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга: гамильтонова формулировка}
Действие
\eq$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x\,
\left(\bpsi(i\hat\d-m_0)\psi-{\pi g\over2}(\bpsi\gamma^\mu\psi)^2\right)
\label{MT}
$$
с
\eq$$
\psi=\pMatrix{\psi_+\\\psi_-},
\qquad
\gamma^0=\pMatrix{&-i\\i&}=\sigma^2,
\qquad
\gamma^1=\pMatrix{&i\\i&}=i\sigma^1.
\label{gamma-matrices}
$$
\pause
Гамильтониан
\eq$$
H=\int dx\,(-i\psi^+\sigma^3\d_x\psi+m_0\psi^+\sigma^2\psi
+2g\psi^+_+\psi_+\psi^+_-\psi_-)
\label{MTHam}
$$
\pause
с коммутационными соотношениями
\eq$$
\psi^+_{\alpha'}(x')\psi_\alpha(x)+\psi_\alpha(x)\psi^+_{\alpha'}(x')
=\delta_{\alpha'\alpha}\delta(x'-x).
\label{MTpsicommut}
$$
\pause
Сохраняющиеся заряды: импульс $P$ и оператор числа частиц $Q$ имеют вид
\eq$$
P=-i\int dx\,\psi^+\d_x\psi,
\qquad
Q=\int dx\,\psi^+\psi.
\label{MTPQ}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Свободный фермион. Картина Дирака}

Рассмотрим случай $g=0$: свободный дираковский фермион.
\pause

Определим «реперное» состояние $|\Omega\rangle$:
\eq$$
\psi_\alpha(x)|\Omega\rangle=0,
\qquad
\langle\Omega|\psi^+_\alpha(x)=0.
\label{Omegadef}
$$
\pause
«$N$"=частичное» состояние:
\eq$$
|\chi_N\rangle
=\int d^Nx\,\chi^{\alpha_1\ldots\alpha_N}(x_1,\ldots,x_N)
\psi^+_{\alpha_1}(x_1)\ldots\psi^+_{\alpha_N}(x_N)|\Omega\rangle.
\label{Npart}
$$
\pause
\eq$$
Q|\chi_N\rangle=N|\chi_N\rangle
\quad\Rightarrow\quad
\cH\simeq\bigoplus^\infty_{N=0}\cH_N,
\qquad
\cH_N=\left\{v\in\cH\>|\>Qv=Nv\right\}.
$$
\pause
Определим действие $\hat H_N$ оператора $H$ на волновых функциях:
$$
H|\chi_N\rangle
=\int d^Nx\,(\hat H_N\chi)^{\alpha_1\ldots\alpha_N}(x_1,\ldots,x_N)
\psi^+_{\alpha_1}(x_1)\ldots\psi^+_{\alpha_N}(x_N)|\Omega\rangle.
$$
\pause
Явно имеем
$$
\hat H_N=\sum^N_{k=1}(-i\sigma^3_k\d_{x_k}+m_0\sigma^2_k),
$$
где $\sigma^i_k$ действует на пространств $k$"=й частицы:
$$
(\sigma^i_k\chi)^{\alpha_1\ldots\alpha_k\ldots\alpha_N}=\sum_{\alpha'_k}(\sigma^i)^{\alpha_k}_{\alpha'_k}\chi^{\alpha_1\ldots\alpha'_k\ldots\alpha_N}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Свободный фермион: волновые функции}

При $N=1$ волновая функция имеет вид
\eq$$
\chi_\lambda(x)=\pMatrix{e^{\lambda/2}\\ie^{-\lambda/2}}e^{ixm_0\sh\lambda}.
\label{1psolution}
$$
\pause
Для общих $N$ волновая функция дается слэтеровским детерминантом
\eq$$
\chi^{\alpha_1\ldots\alpha_N}_{\lambda_1\ldots\lambda_N}(x_1,\ldots,x_N)
=\sum_\sigma(-1)^\sigma\prod^N_{k=1}
\chi^{\alpha_{\sigma_k}}_{\lambda_k}(x_{\sigma_k}).
\label{Npsolutions-free}
$$
Энергия $N$"=частичного состояния равна
\eq$$
E_N(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=\sum^N_{k=1}\epsilon(\lambda_k),
\qquad
\epsilon(\lambda)=m_0\ch\lambda.
\label{ENfree}
$$
\pause
Периодическое граничное условие
$$
\chi^{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_N}(x_1+L,x_2,\ldots,x_N)=\chi^{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_N}(x_1,x_2,\ldots,x_N)
$$
приводит к уравнению
\eq$$
e^{im_0L\sh\lambda_k}=1,
\qquad k=1,\ldots,N.
\label{thetaquant}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Свободный фермион: вакуумное состояние}

Прологарифмируем последнее уравнение:
$$
\sh\lambda_k={2\pi n_k\over m_0L},
\qquad
n_k\in\Z.
$$
\pause
Следовательно
$$
\lambda_k\in\Cases{\R&\Rightarrow\epsilon(\lambda_k)>0;\\\R+i\pi&\Rightarrow\epsilon(\lambda_k)<0.}
$$
В основном состоянии одночастичные состояния с $\epsilon(\lambda_k)<0$ должны быть заполнены.
\pause
Положим
$$
\lambda_k=i\pi+\xi_k,
\qquad
\xi_k\in\R.
$$
Мы должны ограничить зону снизу
\eq$$
\epsilon(\lambda_k)\ge-\Lambda
\quad\Rightarrow\quad
-\Theta<\xi_k<\Theta,
\qquad
\Theta\simeq\log{\Lambda\over m_0}.
\label{cutoff}
$$
\pause
В термодинамическом пределе $L\to\infty$ вакуумная энергия равна
$$
E_0=-L\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,
\rho(\xi)m_0\ch\xi,
\qquad
\rho(\xi)={2\pi\over L}\left|dn\over d\xi\right|=m_0\ch\xi.
$$
Здесь $\rho(\xi)$ "--- \emph{спектральная плотность состояний} валентной зоны.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Свободный фермион: возбуждения}

Имеется два типа возбуждений:
\begin{itemize}
\item Частицы: $\lambda_k\in\R$;
\item Античастицы или дырки: отсутствие корня $\lambda_k=i\pi+\xi_k$.
\end{itemize}
$$
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$p=m_0\sh\lambda$};
\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$\epsilon=m_0\ch\lambda$};
\draw[dashed,thick,domain=-2:2] plot function{.5*(1+x**2)};
\draw[-,thick,domain=-2:2] plot function{-.5*(1+x**2)};
\filldraw (1,1) circle(3pt) node[below right] {частица};
\filldraw[color=white] (-1.5,-1.625) circle(3pt); \draw[-,thick] (-1.5,-1.625) circle(3pt) node[above left] {дырка};
\draw[->] (2,-1) node[above] {море Дирака} -- (1.6,-1.525);
\end{tikzpicture}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Взаимодействие: гамильтониан и разрывная волновая функция}

При $g\ne0$ имеем
\eq$$
\hat H_N=\sum^N_{k=1}(-i\sigma^3_k\d_{x_k}+m_0\sigma^2_k)
+\pi g\sum^N_{k<l}\delta(x_k-x_l)
(1-\sigma^3_k\sigma^3_l).
\label{MTHN}
$$
\pause
Здесь
\eq$$
{1\over2}(1\otimes1-\sigma^3\otimes\sigma^3)
^{\alpha'_1\alpha'_2}_{\alpha_1\alpha_2}
=\delta^{\alpha'_1}_{\alpha_1}\delta^{\alpha'_2}_{\alpha_2}\delta_{\alpha_1,-\alpha_2}.
\label{sigmaid}
$$
\pause
Член взаимодействия в гамильтониане (\ref{MTHN}) плохо определен. В самом деле, волновая функция \emph{разрывна} при $x_k=x_l$ потому что уравнение Шрёдингера здесь является уравнением \emph{первого порядка}.
\pause
Рассмотрим простое уравнение
$$
f'(x)-c\delta(x)f(x)=g(x,f(x))
$$
\pause
Давайте как"=нибудь регуляризуем дельта"=функцию:
\eq$$
f'(x)-c\delta_a(x)f(x)=g(x,f(x)),
\quad
\lim_{a\to0}\delta_a(x)=\delta(x),
\quad
\mathop{\rm supp}\delta_a=[-a,a].
$$
\pause
Пусть $\delta_a(x)=\epsilon'_a(x)$. Then
$$
{f'(x)\over f(x)}=c\epsilon'_a(x)+{\red\xcancel{\black g(x,f(x))\over f(x)}}
\quad\Rightarrow\quad
f(x)=\const e^{c\epsilon_a(x)}.
$$
\pause
\eq$$
f(+a)=e^cf(-a)
\quad\xRightarrow{\ a\to0\ }\quad
f(+0)=e^cf(-0).
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Взаимодействие: двухчастичная волновая функция}

Пусть
\eq$$
\chi^{\alpha_1\alpha_2}_{\lambda_1\lambda_2}(x_1,x_2)
=\Cases{
A_{12}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_1}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_2}(x_2)
-A_{21}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_2}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_1}(x_2)
\quad\text{for $x_1<x_2$,}\\
A_{21}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_1}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_2}(x_2)
-A_{12}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_2}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_1}(x_2)
\quad\text{for $x_1>x_2$.}
}
\label{2pAnsatz}
$$
\pause
Эта функция антисимметрична
$$
\chi^{\alpha_{\red1}\alpha_{\red2}}_{\lambda_1\lambda_2}(x_{\red1},x_{\red2})
=-\chi^{\alpha_{\red2}\alpha_{\red1}}_{\lambda_1\lambda_2}(x_{\red2},x_{\red1}).
$$
\pause
Применив правило с предыдущего слайда, получим
\eq$$
{A_{21}\over A_{12}}=R(\lambda_1-\lambda_2),
\qquad
R(\lambda)=e^{i\Phi(\lambda)}
={\ch{\lambda-i\pi g\over2}\over\ch{\lambda+i\pi g\over2}}.
\label{Phifunc}
$$
\pause
Эта функция периодична по $g$ с периодом $2$. Положим
\eq$$
-1<g<1.
\label{gregion}
$$
\pause
Функцию $\Phi(\lambda)$ будем считать нечетной
\eq$$
\Phi(-\lambda)=-\Phi(\lambda),
\label{Phiskewsym}
$$
и имеющей разрезы $(i(1-|g|),i\infty)$, $(-i(1-|g|),-i\infty)$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Взаимодействие: анзац Бете и уравнения Бете}

$N$"=частичное решение (\emph{анзац Бете}):
\eq$$
\chi^{\alpha_1\ldots\alpha_N}_{\lambda_1\ldots\lambda_N}(x_1,\ldots,x_N)
=\sum_\tau(-1)^{\sigma\tau}
A_\tau\prod^N_{k=1}\chi^{\alpha_{\sigma_k}}_{\lambda_{\tau_k}}(x_{\sigma_k})
\quad\text{for $x_{\sigma_1}<\ldots<x_{\sigma_N}$}.
\label{BetheAnsatz}
$$
\pause
Коэффициенты $A$ удовлетворяют соотношениям
\eq$$
A_{\ldots,i+1,i,\ldots}=R(\lambda_{i}-\lambda_{i+1})A_{\ldots,i,i+1,\ldots}.
\label{Arelations}
$$
\pause
Периодическое граничное условие
$$
\chi^{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_N}(x_1+L,x_2,\ldots,x_N)=\chi^{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_N}(x_1,x_2,\ldots,x_N)
$$
накладывает на $\lambda_k$ систему \emph{уравнений Бете}:
\eq$$
e^{im_0L\sh\lambda_k}\prod^N_{\scriptstyle l=1\atop\scriptstyle l\ne k}R(\lambda_k-\lambda_l)=1.
\label{BetheEqs}
$$
\pause
Множество $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_N\}$ удовлетворяющее системе (\ref{BetheEqs}) называют \emph{решением} уравнений Бете, а каждый элемент этого множества называют \emph{корнем} уравнений Бете. Все корни \emph{различны}:
\eq$$
\lambda_k\ne\lambda_l,
\quad\text{if $k\ne l$.}
\label{nnne}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Основное состояние}

Прологарифмируем уравнения Бете:
\eq$$
m_0L\sh\lambda_k+\sum^N_{l=1}\Phi(\lambda_k-\lambda_l)=2\pi n_k,
\qquad
n_k\in\Z.
\label{BetheLog}
$$
\pause
Энергия и импульс состояний:
\eq$$
E_N(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=m_0\sum^N_{i=1}\ch\lambda_i,
\qquad
P_N(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=m_0\sum^N_{i=1}\sh\lambda_i.
\label{EP}
$$
\pause
\textbf{Гипотеза:} \emph{в основном (вакуумном) состоянии} все одночастичные состояния отрицательной энергии заполнены. Тогда
$$
\lambda_k=i\pi+\xi_k,
\qquad
n_k=k_0-k.
$$
\pause
Отсюда имеем
\eq$$
m_0L\sh\xi_k=2\pi(k-k_0)+\sum^N_{l=1}\Phi(\xi_k-\xi_l).
\label{BetheLog-vac}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Основное состояние: термодинамический предел}

Возьмем разность этих уравнений при соседних значениях $k$ и поделим ее на $L(\xi_{k+1}-\xi_k)$:
$$\smash{
m_0{\sh\xi_{k+1}-\sh\xi_k\over\xi_{k+1}-\xi_k}
={2\pi\over L(\xi_{k+1}-\xi_k)}+{1\over L}\sum^N_{l=1}{\Phi(\xi_{k+1}-\xi_l)-\Phi(\xi_k-\xi_l)\over\xi_{k+1}-\xi_k}.}
$$
\pause
В пределе $L\to\infty$ значения $\xi_k$ \emph{сгущаются}. Определим величину
\eq$$
\rho(\xi)={2\pi\over L(\xi_{k+1}-\xi_k)}={1\over L}{dk\over d\xi}.
\label{rhodef}
$$
\pause
Заменяя сумму интегралом, получим
\eq$$
m_0\ch\xi=\rho(\xi)+\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi'\over2\pi}\,\Phi'(\xi-\xi')\rho(\xi').
\label{BetheTL}
$$
Нам опять пригодилось ультрафиолетовое обрезание~$\Theta$.
\pause

Мы потеряли одно уравнение. Заменим его на условие нормировки
\eq$$
\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,\rho(\xi)={N\over L}.
\label{rhonorm}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Основное состояние: решение}

Чтобы понять, как устроено решение, рассмотрим случай $\Theta=\infty$ и сделаем преобразование Фурье:
$$
\tilde X(\omega)=\int^\infty_{-\infty}{d\xi\over2\pi}\,X(\xi)e^{i\omega\xi}.
$$
\pause
Тогда уравнение (\ref{BetheTL}) формально примет вид
$$
m_0\widetilde\ch(\omega)=(1+\tilde\Phi'(\omega))\tilde\rho(\omega),
\qquad
\tilde\Phi'(\omega)=-{\sh\pi g\omega\over\sh\pi\omega}.
$$
\pause
Ни левая, ни правая часть уравнения, строго говоря, не определены. Но мы можем понять качественную картину.
\pause
Левая часть формально не равна нулю при $\omega=\pm i$. Но в этих точках $\tilde\Phi'(\omega)$ имеет особенность, поэтому осмысленный ответ может быть только если $m_0=0$, когда левая часть вообще не важна, либо если $m_0=\infty$.
\pause
Мы рассмотрим первый случай. Тогда ненулевые значения $\tilde\rho(\omega)$ могут отвечать нулям функции $2\pi+\tilde\Phi'(\omega)$. Ближайшие к вещественной оси нули находятся в точках $\omega=\pm i/(1+g)$.
\pause

Поэтому постулируем пробное решение
\eq$$
\rho(\xi)=M\ch{\xi\over1+g}.
\label{rhosolution}
$$
Более аккуратный анализ (см.\ задачу 4) показывает, что
$$
M\sim m_0e^{g\Theta\over\pi+g}.
$$
Коэффициент $M$ конечен $\Rightarrow$ $m_0$ \emph{перенормируется}: $m_0\to0$ при $g>0$ и $m_0\to\infty$ при $g<0$.

\end{frame}


\end{document}
