% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}

\def\phys{{\text{phys}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\begin{document}

\title[Лекция 8. Модель Тирринга: спектр и матрица рассеяния]{Лекция 8.\\Решение модели Тирринга методом анзаца Бете: спектр частиц и матрица рассеяния}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Возбуждения в термодинамическом предел: дырки}

Рассмотрим теперь море фермионов с \emph{дырками}: $n_k$ не покрывают отрезок на $\Z$. Тогда
\eq$$
m_0L\sh\xi_k=-2\pi n_k+\sum^N_{l=1}\Phi(\xi_k-\xi_l).
\label{BetheLog-holes}
$$
\pause
Определим $\xi(n)$ by уравнением
\eq$$
m_0L\sh\xi(n)=-2\pi n+\sum^N_{l=1}\Phi(\xi(n)-\xi_l)
\label{BetheLog-holes-beta(n)}
$$
Очевидно, $\xi(n_k)=\xi_k$. В случае $n=n_k$ мы будем говорить, что одночастичное состояние заполнено. Для всех остальных $n$ будем считать состояние пустым.
\pause
Определим две плотности.
\begin{itemize}
\item Плотность состояний $\rho(\xi(n))={2\pi\over L|\xi(n+1)-\xi(n)|}\simeq{2\pi\over L}\left|dn\over d\xi(n)\right|$.
\pause
\item Плотность частиц $\rho^\bullet(\xi)=\left\langle{2\pi\over L|\xi_{k+1}-\xi_k|}\right\rangle_{\xi_k\simeq\xi}
=\left\langle{2\pi\over L}\left|dk\over d\xi_k\right|\right\rangle_{\xi_k\simeq\xi}$.
\end{itemize}
\pause
Их разность $\rho(\xi)-\rho^\bullet(\xi)=\rho^\circ(\xi)$ будем называть \emph{плотностью дырок}.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Интегральное уравнение для дырок}

Аналогично интегральному уравнению для плотности состояний в основном состоянии выводится интегральное уравнение при наличии дырок:
\eq$$
m_0\ch\xi
=\rho(\xi)+\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi'\over2\pi}\,\Phi'(\xi-\xi')(\rho(\xi')-\rho^\circ(\xi')).
\label{p-eq2}
$$
\pause
Пусть $\rho_\text{vac}(\xi)$ "--- плотность состояний для основного состояния (вакуума), то есть решение уравнения
\eq$$
m_0\ch\xi=\rho_\text{vac}(\xi)+\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi'\over2\pi}\,\Phi'(\xi-\xi')\rho_\text{vac}(\xi').
\label{BetheTL}
$$
Положим
$$
\delta\rho(\xi)=\rho(\xi)-\rho_\text{vac}(\xi).
$$
\pause
Найдем разность уравнений (\ref{p-eq2}) и (\ref{BetheTL}):
\eq$$
\delta\rho(\xi)
+\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi'\over2\pi}\,\Phi'(\xi-\xi')\delta\rho(\xi')
=\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi'\over2\pi}\,\Phi'(\xi-\xi')\rho^\circ(\xi').
\label{deltarhoeq}
$$
Решим это уравнение в пределе $\Theta\to\infty$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Предел $\Theta\to\infty$. Преобразование Фурье}

При $\Theta\to\infty$ мы можем применить преобразование Фурье
$$
\tilde X(\omega)
=\int^\infty_{-\infty}{d\xi\over2\pi}\,X(\xi)e^{i\xi\omega},
\quad
X=\Phi',\delta\rho,\rho^\circ,\ldots
$$
\pause
Уравнение (\ref{deltarhoeq}) становится алгебраическим
$$
\delta\tilde\rho(\omega)+\tilde\Phi'(\omega)\delta\tilde\rho(\omega)=\tilde\Phi'(\omega)\tilde\rho^\circ(\omega).
$$
\pause
Получаем
\eq$$
\tilde\Phi'(\omega)=-{\sh\pi g\omega\over\sh\pi\omega},
\qquad
\delta\tilde\rho(\omega)=-{\sh\pi g\omega\over2\sh{\pi(1-g)\omega\over2}\ch{\pi(1+g)\omega\over2}}\tilde\rho^\circ(\omega).
\label{Phi-deltarho-omega}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Дробный заряд дырки}


Эффект обрезания: \emph{дробный заряд}. Формальный заряд дырки равен $-1$, но когда мы вносим в систему дырку, частицы втягиваются в область $-\Theta\le\xi\le\Theta$ или выталкиваются из"=под нее. У нас есть две величины
\eq$$
\Delta N
=-L\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,\rho^\circ(\xi)=-L\tilde\rho^\circ(0),
\quad
\Delta Q
=L\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,(\delta\rho(\xi)-\rho^\circ(\xi)).
\label{DeltaN-DeltaQ-def}
$$
\pause
Получаем
\eq$$
\Delta Q=-\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,\int^\infty_{-\infty}d\omega\,e^{-i\omega\xi}
{\sh\pi\omega\over2\sh{\pi(1-g)\omega\over2}\ch{\pi(1+g)\omega\over2}}\tilde\rho^\circ(\omega)
\simeq{\Delta N\over1-g}.
\label{DeltaQ-fin}
$$
\pause
Отсюда находим дробный заряд дырки
\eq$$
z^\circ=-{\Delta Q\over\Delta N}=-{1\over1-g}.
\label{charge-zh-fin}
$$
\pause
Значит, величина $Q$ не совпадает с физическим количеством частиц. Следовательно,
\eq$$
Q=|z^\circ|\int dx\,\psi_\phys^+\psi_\phys+\const
\quad\Rightarrow\quad
\psi=|z^\circ|^{1/2}\psi_\phys.
\label{Q-psiphys}
$$
\pause
Это приводи к перенормировке константы связи~$g$:
\eq$$
g_\phys=g|z^\circ|={g\over1-g}
\quad\Leftrightarrow\quad
{1\over g_\phys}={1\over g}-1.
\label{g-gphys}
$$
\pause
$$
-1<g<1\quad\Leftrightarrow\quad-{1\over2}<g_\phys<\infty
$$
в согласии с бозон"=фермионным соответствием.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Масса дырки}

Вычислим энергию и импульс состояния, содержащего дырки:
$$
\Aligned{
E[\rho^\circ]-E[0]
&=m_0L\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,(\rho^\circ(\xi)-\delta\rho(\xi))\ch\xi,
\\
P[\rho^\circ]
&=m_0L\int^\Theta_{-\Theta}{d\xi\over2\pi}\,(\rho^\circ(\xi)-\delta\rho(\xi))\sh\xi.
}
$$
\pause
Пусть $g<0$. В этом случае интегралы сходятся при $\Theta\to\infty$, но при $\Theta=\infty$ мы имеем $E[\rho^\circ]-E[0]=P[\rho^\circ]=0$. Значит, $m_0$ должно \emph{перенормироваться в бесконечность}.
\pause

Пусть $g>0$. Интегралы расходятся при $\Theta\to\infty$. Значит, $m_0$ должно \emph{перенормироваться в ноль}.
\pause

Полагая $\Theta$ большим, но конечным, можно получить
\eq$$
E[\rho^\circ]-E[0]=L\int^\infty_{-\infty}{d\xi\over2\pi}\,\epsilon(\xi)\rho^\circ(\xi),
\qquad
P[\rho^\circ]=L\int^\infty_{-\infty}{d\xi\over2\pi}\,p(\xi)\rho^\circ(\xi)
\label{EP-fin}
$$
где
\eq$$
\epsilon(\lambda)=m\ch{\lambda\over1+g},
\qquad
p(\lambda)=m\sh{\lambda\over1+g},
\qquad
m={M\over\pi g}\ctg\left({\pi\over2}{1-g\over1+g}\right)
\label{spectrum}
$$
и
\eq$$
m_0=M\exp\left(-{g\over1+g}\Theta\right)
\sim M\left(m_0\over\Lambda\right)^{g/(1+g)}.
\label{m0div}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Массы и масштабы}

Итак, частицы имеют релятивистский спектр с массой
$$
m\sim m_0\exp\left({g\over1+g}\Theta\right)
$$
и быстротой
$$
\theta={\xi\over1+g}.
\label{theta-beta-rel}
$$
\pause

Сравнивая с оценкой
$$
m_0\sim m^{2-\beta^2},
$$
где $\beta$ "--- константа связи модели синус"=Гордона, мы получим=
$$
g=1-\beta^2.
$$
\pause
Для физической константы связи $g_\phys$ имеем
$$
g_\phys=\beta^{-2}-1,
$$
в согласии с бозонизацией.
\pause

Теперь вычислим матричный элемент $S$"=матрицы для рассеяния двух дырок. Для этого нам придется рассмотреть модельную систему.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модельная система}

Рассмотрим систему «бесспиновых» фермионов с $S$"=матрицей $S(\theta)=e^{i\Psi(\theta)}$, $\Psi(-\theta)=-\Psi(\theta)$. Если частицы находятся далеко друг от друга, мы можем применить анзац Бете и получить уравнения Бете:
\eq$$
e^{imL\sh\theta_k}\prod^N_{l=1\atop l\ne k}S(\theta_k-\theta_l)=1,
\label{auxBetheEqs}
$$
где $\theta_k$ "--- физические быстроты частиц, а $m$ "--- их физическая масса.
\pause
Логарифмируя уравнения, получаем
\eq$$
mL\sh\theta_k+\sum^N_{l=1}\Psi(\theta_k-\theta_l)=2\pi n_k.
\label{auxBetheLog}
$$
\pause
Определим $\theta(n)$ равенством
\eq$$
mL\sh\theta(n)=\sum^N_{k=1}\Psi(\theta(n)-\theta_l)=2\pi n.
\label{auxTheta(n)}
$$
\pause
Введем плотности
\eq$$
\rho_*(\theta(n))
={2\pi\over L|\theta(n+1)-\theta(n)|}\simeq{2\pi\over L}\left|dn\over d\theta(n)\right|,
\quad
\rho^\bullet_*(\theta_k)
={2\pi\over L|\theta_{k+1}-\theta_k|}
={2\pi\over L}\left|dk\over d\theta_k\right|.
\label{aux-rho-rhof-def}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модельная система: интегральное уравнение}

Совершенно аналогично получим линейное уравнение
\eq$$
m\ch\theta+\int^\infty_{-\infty}{d\theta'\over2\pi}\,\Psi'(\theta-\theta')\rho^\bullet_*(\theta')=\rho_*(\theta).
\label{aux-p-eq2}
$$
\pause
Если $\rho^\bullet_*(\theta)=0$, мы немедленно получаем $\rho_{*\text{vac}}(\theta)=m\ch\theta$. Полагая $\delta\rho_*=\rho_*-\rho_{*\text{vac}}$, имеем
\eq$$
\delta\rho_*(\theta)=\int^\infty_{-\infty}{d\theta'\over2\pi}\,\Psi'(\theta-\theta')\rho^\bullet_*(\theta').
\label{aux-deltarhoeq}
$$
\pause
После преобразования Фурье имеем
\eq$$
\delta\tilde\rho_*(\omega)=\tilde\Psi'(\omega)\rho^\bullet_*(\omega).
\label{aux-p-eq2-fourier}
$$
\pause
Теперь отождествим плотности
\eq$$
\rho^\circ(\xi)={d\theta\over d\xi}\rho^\bullet_*(\theta),
\quad
\delta\rho(\xi)={d\theta\over d\xi}\delta\rho_*(\theta),
\quad
\theta={\xi\over1+g}.
\label{rho*-rho-rel}
$$
\pause
В фурье"=образах
\eq$$
\tilde\rho^\circ\left(\omega\over1+g\right)=\delta\tilde\rho^\bullet_*(\omega),
\qquad
\tilde\rho\left(\omega\over1+g\right)=\delta\tilde\rho_*(\omega).
\label{rho*-rho-omega-rel}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга: $S$"=матрица}

Сравнивая это с~(\ref{Phi-deltarho-omega}), получаем
\Align$$
\Psi(\theta)
&=i\int^\infty_{-\infty}{d\omega\over\omega}
{\sh{\pi\omega\over2}\sh{\pi(p-1)\omega\over2}\over\sh\pi\omega\sh{\pi p\omega\over2}}e^{-i\theta\omega}
\notag
\\
&=2\int^\infty_0{d\omega\over\omega}
{\sh{\pi\omega\over2}\sh{\pi(p-1)\omega\over2}\over\sh\pi\omega\sh{\pi p\omega\over2}}\sin\theta\omega,
\quad
\beta^2=1-g=2{p\over p+1}.
\label{Psi-fin}
$$
Это отождествляет функцию $S(\theta)=e^{i\Psi(\theta)}$ с матричным элементом $S_\text{MT}(\theta)^{--}_{--}$ двух антифермионов в модели Тирринга.
\pause

Другие матричные элементы можно найти, решая уравнение Янга"--~Бакстера. В базисе $(++,+-,-+,--)$ матрица рассеяния фермионов и антифермионов имеет вид
\eq$$
S_\text{MT}(\theta)
=\left(S_\text{MT}(\theta)^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta_1\beta_2}\right)
=-\pMatrix{a(\theta)&&&\\
&b(\theta)&c(\theta)&\\
&c(\theta)&b(\theta)&\\
&&&a(\theta)},
$$
где $a(\theta)=-e^{i\Psi(\theta)}$, и
\eq$$
{b(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{\theta\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}},
\qquad
{c(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{i\pi\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}}.
\label{ba-ca-ratios}
$$
\pause
$S$"=матрица кинков в модели синус"=Гордона отличается знаком:
\eq$$
S(\theta)\equiv S_\text{SG}(\theta)=-S_\text{MT}(\theta).
\label{SSG-SMT}
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга: связанные состояния}

При $g<0$ (or $g_\phys<0$, $\beta^2<1$, $p<1$) элементы $b(\theta)$ и $c(\theta)$ имеют полюсы на физическом листе в точках
\eq$$
\theta_n=i\pi-i\pi pn,
\qquad n=1,2,\ldots,\left\lfloor1\over p\right\rfloor,
\label{theta-SG-bound}
$$
\pause
которые соответствуют связанным состояниям с массами
\eq$$
M_n=2m\sin{\pi pn\over2}
\label{masses-SG-bound}
$$
В модели синус"=Гордона эти связанные состояния соответствуют бризерным возбуждениям, и в классическом пределе $\beta^2\to0$ их спектр становится непрерывным в согласии с классической теорией поля.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Связанные состояния: кинематические условия}

Предположим, что некоторый диагональный элемент $S$"=матрицы имеет полюс в некоторой точке $iu^c_{ab}$:
\eq$$
S(\theta)^{ab}_{ab}=\sum_c{i\Gamma^c_{ab}\Gamma^{\bar c}_{\bar a\bar b}\over\theta-iu^c_{ab}}+O(1)
\quad\text{при $\theta\to iu^c_{ab}.$}
\label{S-pole}
$$
\pause
Изобразим слияние частиц графически:
\eq$$
\begin{tikzpicture}[baseline=5pt]
\draw[-,very thick] (0,0) -- +(-140:1) node[below left] {$a$};
\draw[-,very thick] (0,0) -- +(-30:1) node[below right] {$b$};
\draw[->,very thick] (0,0) -- +(90:1) node[above] {$c$};
\draw[-] +(-30:.4) arc (-30:-140:.4) node[midway,below] {$u^c_{ab}$};
\draw[-] +(220:.35) arc (220:90:.35) node[midway,above left=-2pt] {$u^{\bar b}_{\bar ca}$};
\draw[-] +(90:.45) arc (90:-30:.45) node[midway,above right=-4pt] {$u^{\bar a}_{b\bar c}$};
\end{tikzpicture}
\quad
\Gathered{
u^c_{ab}+u^{\bar b}_{\bar ca}+u^{\bar a}_{b\bar c}=2\pi,
\\
0<u^c_{ab},u^{\bar b}_{\bar ca},u^{\bar a}_{b\bar c}<\pi,
}\quad
\Aligned{
\bar u^c_{ab}
&=\pi-u^c_{ab},
\\
\bar u^{\bar b}_{\bar ca}
&=\pi-u^{\bar b}_{\bar ca},
\\
\bar u^{\bar a}_{b\bar c}
&=\pi-u^{\bar a}_{b\bar c}.
}\label{fusion-ab->c}
$$

\pause
Здесь числа $u^c_{ab}$ и $u^c_{ba}$ определяются кинематическим условием
\eq$$
m_c=m_ae^{\pm i\bar u^{\bar b}_{\bar ca}}+m_be^{\mp iu^{\bar a}_{b\bar c}},
\qquad
|m_a-m_b|<m_c<m_a+m_b.
\label{fusion-ab->c-kincond}
$$
\pause
Более явно
\eq$$
\cos u^c_{ab}={m_c^2-m_a^2-m_b^2\over2m_am_b},
\qquad
{\sin u^{\bar b}_{\bar ca}\over\sin u^{\bar a}_{b\bar c}}={m_b\over m_a}.
\label{ucab-explicit}
$$
Очевидно, все формулы симметричны по отношению к перестановкам индексов $a,b,c$.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Связанные состояния: уравнение на $S$"=матрицы}

Изобразим условие на вычет $S$"=матрицы графически
\eq$$
-i\res_{\theta=u^c_{ab}}\quad
\tikz[baseline=-2pt,scale=.7]{
\draw[->] (-.5,-1) node[left] {$a$} -- (0,0) node[right] {$S(\theta)^{ab}_{ab}$} -- (.5,1) node[right] {$a$};
\draw[->] (.5,-1) node[right] {$b$} -- (-.5,1) node[left] {$b$};
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt,scale=.7]{
\draw[->] (-.5,-1) node[left] {$a$} -- (0,-.5);
\draw[->] (.5,-1) node[right] {$b$} -- (0,-.5);
\draw[->] (0,-.5) node[right,yshift=1pt] {$\Gamma^c_{ab}$} -- node[left] {$c$} (0,.5) node[right,yshift=-4pt] {$\Gamma^{\bar c}_{\bar a\bar b}$};
\draw[->] (0,.5) -- (.5,1) node[right] {$a$};
\draw[->] (0,.5) -- (-.5,1) node[left] {$b$};
}
\label{S-pole-graph}
$$
\pause
Теперь возьмем нижнюю половину диаграммы и пересечем ее с линией некоторой четвертой частицы~$d$:
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt,scale=.7]{
\draw[-] (-.5,-1.5) node[left] {$a$} -- node[pos=.8, left] {$a'$} (0,0);
\draw[-] (.5,-1.5) node[right] {$b$} -- node[pos=.7, right] {$b'$} (0,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,1.5) node[left] {$c'$};
\draw[->] (1,-1.3) node[above] {$d$} -- node[below] {$d''$} (-1,-.6) node[above] {$d'$};
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt,scale=.7]{
\draw[-] (-.5,-1.5) node[left] {$a$} -- (0,0);
\draw[-] (.5,-1.5) node[right] {$b$} -- (0,0);
\draw[->] (0,0) -- node[pos=.3, left] {$c$} (0,1.5) node[left] {$c'$};
\draw[->] (1,.4) node[above] {$d$} -- (-1,1.1) node[above] {$d'$};
}
\label{S-bound-eq-graph}
$$
\pause
Явно имеем уравнение на $S$"=матрицу рассеяния частиц $c$ и~$d$:
\eq$$
\sum_{a',b',d''}\Gamma^{c'}_{a'b'}S(\theta+i\bar u^{\bar a}_{b\bar c})_a^{a'}{}^{d'}_{d''}S(\theta-i\bar u^{\bar b}_{\bar ca})^{b'}_b{}^{d''}_d
=\sum_c\Gamma^c_{ab}S(\theta\tikz[overlay]{\draw[-,color=red] (2pt,2pt) ellipse (.6cm and .4cm);})^{c'}_c{}^{d'}_d.
\label{S-bound-eq}
$$
\pause
Можно подобрать базис так, чтобы в правой части уравнения было только одно слагаемое. Тогда уравнение дает прямой вид $S$"=матрицы.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга: Элементы $S$"=матрицы для связанных состояний}

Уравнение имеет особенно простой вид, когда в него входят только диагональные матричные элементы $S$"=матрицы:
\eq$$
S_{cd}(\theta)\equiv S(\theta)^{cd}_{cd}=S(\theta+i\bar u^{\bar a}_{b\bar c})^{ad}_{ad}S(\theta-i\bar u^{\bar b}_{\bar ca})^{bd}_{bd}.
\label{S-bound-diag}
$$
\pause
Применим это уравнение к случаю, когда $d=\pm$ "--- кинк или антикинк, а $c=n$ "--- бризер. Получаем
\eq$$
S_{\pm n}(\theta)=\prod^n_{k=1}S_{+1}\left(\theta+{\textstyle{i\pi p(n+1-2k)\over2}}\right),
\quad
S_{+1}(\theta)={\th\left({\theta\over2}+{i\pi(1-p)\over4}\right)\over\th\left({\theta\over2}-{i\pi(1-p)\over4}\right)}.
\label{MT-S-kink-breather}
$$
\pause
Применяя теперь к рассеянию двух бризеров, получаем
\eq$$
S_{nn'}(\theta)=\prod^n_{k=1}\prod^{n'}_{l=1}S_{11}\left(\theta+{\textstyle{i\pi p(n-n'-2k+2l)\over2}}\right),
\qquad
S_{11}(\theta)={\th{\theta+i\pi p\over2}\over\th{\theta-i\pi p\over2}}.
\label{MT-S-breather-breather}
$$
\pause
Структура ответов связана с тем, что у двух бризеров $n$ и $n'$ имеются связанные состояния $n''$, такие что
$$
|n-n'|\le n''\le n+n',\qquad n+n'-n''\in2\Z.
$$




\end{frame}

\end{document}
