% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\cD{{\mathcal D}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cS{{\mathcal S}}

\def\eff{{\text{eff}}}
\def\pert{{\text{p}}}
\def\phys{{\text{phys}}}
\def\Lcyl{{\mathbb L}}
\def\bbT{{\mathbb T}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}
\def\crosscolon{\substack{\scriptscriptstyle\times\\\scriptscriptstyle\times}}
\def\lcrosscolon{\mathopen{\,\crosscolon}}
\def\rcrosscolon{\mathclose{\crosscolon\,}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\begin{document}

\title[Лекция 9. Интегрируемые возмущения конформной теории поля]{Лекция 9.\\Интегрируемые возмущения минимальных моделей двумерной конформной теории поля}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Конформная теория поля: действие алгебры Вирасоро на операторы}

Конформная теория поля содержит бесконечную алгебру симметрий "--- две копии алгебры Вирасоро:
\eq$$
\Aligned{
[L_m,L_n]
&=(m-n)L_{m+n}+{c\over12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0},
\\
[\bar L_m,\bar L_n]
&=(m-n)\bar L_{m+n}+{c\over12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0}.
}\label{Vir}
$$
\pause
Алгебра Вирасоро порождается токами $T(x)=-2\pi T_{zz}$ и $\bar T(x)=-2\pi T_{\bz\bz}$:
$$
L_n=\oint_{C_0}{dw\over2\pi i}w^{n+1}T(w),
\quad
\bar L_n=\oint_{C_0}{d\bar w\over2\pi i}\bar w^{n+1}T(\bar w),
$$
где контуры обходят точку $0$.
\pause
Нас будет интересовать действие алгебры Вирасоро на операторы:
$$
(\cL_n\Phi)(x)=\oint_{С_z}{dw\over2\pi i}(w-z)^{n+1}T(w)\Phi(x),
\quad
(\bar\cL_n\Phi)(x)=\oint_{C_{\bar z}}{d\bar w\over2\pi i}(\bar w-\bz)^{n+1}\bar T(\bw)\Phi(x),
$$
где контуры обходят точку~$x$.
\pause

Пусть $\Lambda\in U(Vir)$. Мы можем определить операторы
$$
\Lambda(x)=(\Lambda1)(x),
\quad
\bar\Lambda(x)=(\bar\Lambda1)(x)
$$
как действие этих элементов на единичный оператор.
\pause
Например,
$$
\Gathered{
(\cL_{-1}1)(x)=\d1=0,
\qquad
(\cL_{-2}1)(x)=T(x),
\qquad
(\cL_{-3}1)(x)=(\cL_{-1}\cL_{-2}1)(x)=\d T(x),
\\
(\cL_{-2}^21)(x)=\lcrosscolon T^2(x)\rcrosscolon,
\qquad
(\cL_{-4}1)(x)={1\over2}(\cL_{-1}\cL_{-3}1)(x)={1\over2}\,\d^2T(x)
\quad\text{и т.д.}
}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Возмущения конформной теории поля}

Операторы $\Lambda$, $\bar\Lambda$ удовлетворяют уравнениям
\eq$$
\bd\Lambda(x)=0,
\qquad
\d\bar\Lambda(x)=0.
\label{im-cft}
$$
Среди этих операторов есть несколько семейств коммутативных интегралов движения, обеспечивающих интегрируемость минимальных моделей конформной теории поля. Теперь перейдем к возмущенной теории.
\pause

Пусть $\cS_0$ "--- формальное (эвклидово) действие некоторой конформной теории поля. Рассмотрим теорию с действием
\eq$$
\cS=\cS_0+\lambda\int d^2x\,\Phi_\pert(x),
\label{Spert}
$$
где $\Phi_\pert(x)$ "--- примарный оператор нулевого спина и размерности~$\Delta_\pert<1$.
\pause

Интегрируемость $\stackrel?=$ интегралы движения.
\pause
Мы будем искать \emph{локальные} интегралы движения, то есть интегралы движения вида
\eq$$
I_s=\Cases{\int dz\,T_{s+1}+\int d\bz\,\Theta_{s-1},&\text{если $s>0$;}\\
  \int d\bz\,T_{s-1}+\int dz\,\Theta_{s+1},&\text{если $s<0$,}}
\label{Is-def}
$$
\pause
где токи $T_{s\pm1}\in[1]$, $\Theta_{s\mp1}\in[\Phi_\pert]$ удовлетворяют уравнениям непрерывности:
\eq$$
\Aligned{
\bd T_{s+1}
&=\d\Theta_{s-1},\quad
&&\text{если $s>0$;}
\\
\d T_{s-1}
&=\bd\Theta_{s+1},\quad
&&\text{если $s<0$.}
}\label{TTheta-continuity}
$$
Нам будет удобно рассматривать операторы в эвклидовом пространстве, но результаты легко переносятся в пространство Минковского.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Поправки к законам сохранения}

В конформной теории поля любой оператор $\Lambda(x)$ является сохраняющимся током: $\bd\Lambda(x)=0$. В возмущенной теории в первом порядке имеем
\eq$$
\bd\Lambda(x)=\left.-\lambda\int d^2y\,\Phi_\pert(y)\,\bd\Lambda(x)\right|_{\rm CFT}.
\label{bdLambda-pert}
$$
\pause
Будем вычислять правую часть. Пусть $\Lambda(x)$ "--- оператор размерности $s$. Тогда имеет место разложение
\eq$$
\Lambda(x')\Phi_\Delta(x)=\sum^\infty_{k=0}(z'-z)^{k-s}(\Lambda_{-k}\Phi_\Delta)(x).
\label{LambdaPhi-OPE}
$$
Здесь $(\Lambda_{-k}\Phi_\Delta)$ "--- некоторый правый (киральный) потомок оператора $\Phi_\Delta$ уровня~$k$.
\pause
Используя $\bd z^{-1}=\pi\delta(x)$, находим ($x=(z,\bz)$, $y=(w,\bw)$)
$$
\Phi_\pert(y)\,\bd\Lambda(x)
=\sum^\infty_{k=0}\bd_z(z-w)^{k-s}(\Lambda_{-k}\Phi_\pert)(y)
=\pi\sum^{s-1}_{k=0}{(-1)^k\over k!}\,\d_z^k\delta(y-x)(\Lambda_{k-s+1}\Phi_\pert)(y).
$$
\pause
Берем интеграл по $d^2y$:
$$
\bd\Lambda(x)=\pi\lambda\sum^\infty_{k=0}{(-1)^{k-1}\over k!}\,\d^k(\Lambda_{k-s+1}\Phi_\pert)(x).
$$
Мы продолжили сумму до бесконечности, поскольку слагаемые с $k\ge s$ равны нулю.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Поправки к законам сохранения}

Воспользуемся разложением (\ref{LambdaPhi-OPE}) в обратную сторону:
$$
\bd\Lambda(x)=\pi\lambda\sum^\infty_{k=0}{(-1)^{k-1}\over k!}\,\d^k\oint{dw\over2\pi i}\,(w-z)^k\Lambda(y)\Phi_\pert(x).
$$
\pause
Теперь сделаем замену переменных $w\to z-u$. Имеем
$$
\bd\Lambda(x)=\pi\lambda\oint_{C_0}{du\over2\pi i}\sum^\infty_{k=0}{u^k\over k!}\,\d_z^k(\Lambda(z-u)\Phi_\pert(z,\bz)).
$$
\pause
Суммирование ряда дает в голоморфном секторе замену $z\to z+u$:
$$
\bd\Lambda(x)=\pi\lambda\oint_{C_0}{du\over2\pi i}\,\Lambda(z)\Phi_\pert(z+u,\bz)).
$$
\pause
После этого, заменяя $u\to w-z$, получаем окончательно
\eq$$
\bd\Lambda(x)=\pi\lambda\oint{dw\over2\pi i}\,\Phi_\pert(w,\bz)\Lambda(z,\bz).
\label{bdLambda-int}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Операторы $\cD_n$}

Этот ответ удобно записать в виде
\eq$$
\bd\Lambda(x)=\pi\lambda(\cD_1\Lambda)(x),
\quad
(\cD_n\Lambda)(z,\bz)=\oint{dw\over2\pi i}\,(w-z)^{n-1}\Phi_\pert(w,\bz)\Lambda(z,\bz).
\label{bdLambda-fin}
$$
\pause
Операторы $\cD_n$ просто коммутируют с $\cL_m$. Из стандартного соотношения
\eq$$
[L_n,\Phi_\Delta(x)]=z^{n+1}\d\Phi_\Delta(x)+(n+1)\Delta z^n\Phi_\Delta(x)
\label{LPhi-commut}
$$
\pause
находим
\eq$$
[\cL_m,\cD_n]=-((1-\Delta_\pert)(m+1)+n-1)\cD_{m+n}.
\label{LD-commut}
$$
\pause
Кроме того, из определения имеем
\eq$$
(\cD_{-n}1)(x)={1\over n!}(\cL_{-1}^n\Phi_\pert)(x),
\quad
n\ge0.
\label{D-on1}
$$
Из этих двух соотношений мы можем получать $\bd\Lambda$ для любых конечных $\Lambda$.
\pause

Простой пример:
\eq$$
\bd T=\pi\lambda\cD_1\cL_{-2}1=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\cD_{-1}1=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\cL_{-1}\Phi_\pert=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\d\Phi_\pert.
\label{T2-continuity}
$$
\pause
Отсюда получаем стандартное выражение
\eq$$
T_2=\cL_{-2}1,
\quad
\Theta_0=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\Phi_\pert.
\label{T2-Theta0-fin}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Примеры высших интегралов движения}

Мы не будем рассматривать $\Lambda(x)$ нечетных уровней, потому что они сводятся к полным производным: $\Lambda(x)=\cL_{-1}\Lambda_1(x)=\d\Lambda_1(x)$.
\pause

Нетрудно получить на уровне~4:
\eq$$
\bd\cL_{-2}^21
=\pi\lambda\cD_1\cL_{-2}^21=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\left(2\cL_{-2}\cL_{-1}-{3-\Delta_\pert\over6}\cL_{-1}^3\right)\Phi_\pert,
\label{bdL22-fin}
$$
\pause
И на уровне~6:
\Align$$
\bd\cL_{-2}^31
&=-\pi\lambda(1-\Delta_\pert)
\left(3\cL_{-2}^2\cL_{-1}-{3-\Delta_\pert\over2}\cL_{-2}\cL_{-1}^3+{(3-\Delta_\pert)(5-\Delta_\pert)\over120}\cL_{-1}^5\right)\Phi_\pert,
\label{bdL23-fin}
\\
\bd\cL_{-3}^21
&=-2\pi\lambda(1-\Delta_\pert)\left(\cL_{-3}\cL_{-1}^2-{5-2\Delta_\pert\over120}\cL_{-1}^5\right)\Phi_\pert.
\label{bdL32-fin}
$$
\pause
Вообще говоря, правые части этих выражений, не сводятся к выражениям вида $\cL_{-1}(\cdots)=\d(\cdots)$. Они могут принимать такой вид, если в модуле $[\Phi_p]$ имеются нуль"=векторы уровня 2 или~3. Рассмотрим сначала случай уровня~3.
\pause
Если $\Delta=\Delta_{31},\Delta_{13}$, в неприводимом представлении имеется соотношение:
\eq$$
\left(\cL_{-3}-{2\over\Delta+2}\cL_{-1}\cL_{-2}+{1\over(\Delta+1)(\Delta+2)}\cL_{-1}^3\right)\Phi_\Delta(x)=0,
\qquad
\Delta=\Delta_{13},\Delta_{31}.
\label{level3-null}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Примеры высших интегралов движения}

Но $\Delta_{31}>1$ при $c<1$, так что остается случай $\Delta_\pert=\Delta_{13}$, $\Phi_\pert=\Phi_{13}$. В этом случае $\cL_{-2}\cL_{-1}$ выражается через $\cL_{-1}\cL_{-2}$ и $\cL_{-1}^3$, так что имеем
\eq$$
\Aligned{
T_4
&=\cL_{-2}^21,
\\
\Theta_2
&=-\pi\lambda{1-\Delta_{13}\over2+\Delta_{13}}\left(2\Delta_{13}\cL_{-2}+{(1-\Delta_{13})(2-\Delta_{13})(3+\Delta_{13})\over6(1+\Delta_{13})}\right)\Phi_{13}.
}\label{T4-Theta2-fin}
$$
\pause
На уровне 6 нужно найти комбинацию $\cL_{-2}^3$ и $\cL_{-3}^2$. Оказывается, она равна
\eq$$
T_6=\cL_{-2}^31+{c+2\over2}\cL_{-3}^21.
\label{T6-fin}
$$
\pause
В случае $\Delta_\pert=\Delta_{21},\Delta_{12}$ величина $\bd(\cL_{-2}^21)$ не является полной производной по~$z$. Но можно найти ток на уровне~6:
\eq$$
T'_6=\cL_{-2}^31+\left({18\over2\Delta+1}+\Delta-2\right)\cL_{-3}^2,
\quad\text{для $\Delta_\pert=\Delta_{12},\Delta_{21}$.}
\label{T6-1221-fin}
$$
\pause
Таким образом, высшие интегралы движения имеются в случаях
\eq$$
\Delta_\pert=\Delta_{13},\Delta_{12},\Delta_{21}.
\label{Deltapert-allowed}
$$
\pause
Можно ли доказать существование интегралов движения на более высоких уровнях? Можно, но трудно. Я здесь приведу технический прием (А.~Замолодчиков, 1989), позволяющий показать это для нескольких нижних уровней.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Прием А.~Замолодчикова}

Пусть $\cH_{mn}$ "--- неприводимое представление алгебры Вирасоро со старшим весом $\Delta_{mn}$, а $(\cH_{mn})_s$ "--- подпространство уровня~$s$. Из размерности даются характерами
\eq$$
\chi_{mn}(q)=\sum^\infty_{s=0}q^s\dim(\cH_{mn})_s,
\label{chimn-def}
$$
вид которых известен из конформной теории поля.
\pause
Размерность пространств операторов, из которых мы можем построить $T_{s+1}$ есть
\eq$$
k_s=\dim(\cH_{11})_{s+1}-\dim(\cH_{11})_s+\delta_{s0}.
\label{ks-def}
$$
Вычитание $\dim(\cH_{11})_s$ исключает операторы вида $\cL_{-1}(\cdots)$.
\pause
Для величин $k_s$ имеем характер
\eq$$
\chi_0(q)\equiv\sum^\infty_{s=0}k_sq^s=q^{-1}((1-q)\chi_{11}(q)+q-1).
\label{chi0-def}
$$
\pause
Теперь найдем количество уравнений, которые накладываются на коэффициенты в операторе~$T_{s+1}$:
\eq$$
l_s=\dim(\cH_\pert)_s-\dim(\cH_\pert)_{s-1}.
\label{ls-def}
$$
Здесь мы снова количество операторов вида $\cL_{-1}(\cdots)$. Эти величины заведомо завышены, потому что уравнения могут быть не независимы.
\pause
Соответствующий характер:
\eq$$
\chi_1(q)\equiv\sum^\infty_{s=0}l_sq^s=(1-q)\chi_\pert(q).
\label{chi1-def}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Прием А.~Замолодчикова}

Найдем величины $\delta_s=k_s-l_s$, которые ограничивают количество интегралов движения \emph{снизу}.
\pause

Для точек общего положения по $c$ имеем
\eq$$
\chi_{mn}(q)=(1-q^{mn})\prod^\infty_{k=1}{1\over1-q^k}.
\label{chimn-gen}
$$
\pause
Тогда для $\Delta_\pert=\Delta_{13}$ получаем
\eq$$
\chi_0(q)-\chi_1(q)=-1+q-q^2+q^3-2q^4+q^5-3 q^6+q^7-4q^8-6q^{10}-10q^{12}-2q^{13}+O(q^{14}).
\label{deltachi-13}
$$
Мы видим, что $\delta_1=\delta_3=\delta_5=\delta_7=1$, а все остальные $\delta_s\le0$. Значит, в модели есть по крайней мере восемь интегралов движения спинов $\pm1,\pm3,\pm5,\pm7$.
\pause

Для $\Delta_\pert=\Delta_{12},\Delta_{21}$ имеем
\eq$$
\chi_0(q)-\chi_1(q)=-1+q-q^4+q^5-2q^6+q^7-2q^8-3q^10+q^{11}-6q^{12}-6q^{14}-3q^{15}+O(q^{16}).
\label{deltachi-12}
$$
Мы получаем $\delta_1=\delta_5=\delta_7=\delta_{11}=1$, то есть опять имеется по крайней мере восемь интегралов движения.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Система на цилиндре}

Обсудим другой подход. Пусть система живет на цилиндре окружности $R$: $x^1\sim x^1+R$. Пусть $C_\perp$ "--- замкнутый контур вдоль оси~$x^1$. Определим «невозмущенный» интеграл движения
\eq$$
I^{(0)}_s=\int_{C_\perp} dz\,T_{s+1}.
\label{I0s-def}
$$
\pause
Гамильтониан возмущения
\eq$$
H_\pert=\lambda\int^R_0dx^1\,\Phi_\pert(x).
\label{Hint-def-PCFT}
$$
\pause
Теперь перейдем к квантованию в координатах светового конуса: $\bar z$ будем рассматривать как время и зафиксируем: $\bar z=\bar z_0$. Тогда полный гамильтониан системы имеет вид
\eq$$
H_\pert^+(\bz_0)=\lambda\int_{C_\perp}dz\,\Phi_\pert(z,\bar z_0).
\label{Hint-lightcone-def-PCFT}
$$
\pause
Условие $\cD_1T_s=\d(\cdots)$ эквивалентно коммутативности невозмущенного интеграла движения с гамильтонианом
\eq$$
[I^{(0)}_s,H_\pert^+]=0.
\label{IHint-commut}
$$
Это уравнение можно решать в \emph{правом (голоморфном)} секторе.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Генераторы алгебры Вирасоро на цилиндре}

Чтобы определить действие генераторов алгебры Вирасоро на цилиндре, перейдем от цилиндра к плоскости:
\eq$$
\zeta=e^{-2\pi i{z\over R}},
\qquad
\bar\zeta=e^{2\pi i{\bz\over R}}.
\label{cyl-plane-map}
$$
\pause
Тогда
\eq$$
\Lcyl_n=\oint{d\zeta\over2\pi i}\,\zeta^{n+1}\tilde T(\zeta).
\label{Lcyl-def}
$$
\pause
В силу закона преобразования
\eq$$
T(z)\to(f'(z))^2T(f(z))+{c\over12}\{f(z),z\},
\qquad
\{f(z),z\}={f'''(z)\over f'(z)}-{3\over2}\left(f''(z)\over f'(z)\right)^2,
\label{T-conftransform}
$$
\pause
имеем
\eq$$
T(z)=\left(2\pi i\over R\right)^2\left(\zeta^2\tilde T(\zeta)-{c\over24}\right).
\label{T-tildeT-rel}
$$
\pause
Следовательно,
\eq$$
\bbT_n\equiv\int_{C_\perp}dz\,e^{-2\pi in{z\over R}}T(z)
=-{(2\pi)^2\over R}\left(\Lcyl_n-{c\over24}\delta_{n0}\right).
\label{T-Lcyl}
$$
\pause
Преобразуя коммутационное соотношение для $[L_n,\Phi_\Delta]$, находим
\eq$$
[\Lcyl_n,\Phi_\Delta(x)]=\zeta^n\left({iR\over2\pi}\d\Phi(x)+n\Delta\Phi_\Delta(x)\right).
\label{Lcyl-Phi-commut}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Невозмущенные интегралы движения на цилиндре}

Простейший интеграл движения легко найти:
\eq$$
I^{(0)}_1=\bbT_0=-{(2\pi)^2\over R}\left(\Lcyl_0-{c\over24}\right).
\label{I01-Lcyl}
$$
\pause
Действительно,
$$
[\bbT_0,H^+_\pert]=-2\pi i\lambda\int_{C_\perp} dz\,\d\Phi_\pert(z,\bz_0)=0.
$$
\pause
Рассмотрим следующий интеграл движения
\eq$$
I^{(0)}_3=\cL_{-2}^21=\int_{C_\perp}dz\,\cL_{-2}T(z)=\int_{C_\perp}dz\oint_{C_z}{dw\over2\pi i}\,{T(w)T(z)\over w-z}
\label{I03-def}
$$
\pause
Довольно громоздким вычислением можно получить
\Multline$$
I^{(0)}_3={1\over R}\left(\bbT_0^2+2\sum^\infty_{n=1}\bbT_{-n}\bbT_n\right)+{2\pi\over3R^2}\bbT_0+{\pi^4c\over90R^3}
\\*
={(2\pi)^4\over R^3}\left(\left(\Lcyl_0-{c\over24}\right)^2+2\sum^\infty_{n=1}\Lcyl_{-n}\Lcyl_n
-{1\over6}\left(\Lcyl_0-{c\over24}\right)+{c\over1440}\right).
\label{I03-Lcyl}
$$
\pause
В этом подходе не совсем просто вывести, что $\left[\sum^\infty_{n=1}\Lcyl_{-n}\Lcyl_n,H^+_\pert\right]=0$, зато $[I^{(0)}_3,I^{(0)}_1]=0$ получается мгновенно.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Невозмущенные интегралы движения на цилиндре}

Далее можно строить серию коммутирующих между собой интегралов движения вида
\Multline*$$
I^{(0)}_s=\int_{C_\perp}dz\,\left(\cL_{-2}^{s+1\over2}+\cdots\right)1
\\
\sim\sum_{n_1+\cdots+n_s=0}\lcolon\Lcyl_{n_1}\cdots\Lcyl_{n_s}\rcolon
+\sum^{s-1}_{k=1}\sum_{n_1+\cdots+n_k=0}A_{n_1\ldots n_k}\lcolon\Lcyl_{n_1}\cdots\Lcyl_{n_k}\rcolon,
$$
Существование такой серии доказано разными способами Фейгиным и Френкелем (1993) и Бажановым, Лукьяновым и А.~Замолодчиковым (1996). Коммутация их с $H^+_\pert$ следует из невырожденности спектра этого оператора и $I^{(0)}_s$ с $s>3$. Из этой коммутации уже следует существование $I_s$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Сводка интегралов движения для минимальных моделей}

В точках общего положения имеются по одному интегралу $I_s$ со спинами
\eq$$
\Aligned{
s
&=2n-1,
\quad
n\in\Z
&&\text{для $\Phi_\pert=\Phi_{13}$;}
\\
s
&=6n\pm1,
\quad
n\in\Z
&&\text{для $\Phi_\pert=\Phi_{12},\Phi_{21}$.}
}\label{Is-s-general}
$$
В частности, эти ответы верны для унитарных моделей с $c=1-6/p(p+1)$ для $p\ge3$ в случае возмущения $\Phi_{13}$ и для $p\ge6$ в случае возмущений $\Phi_{12},\Phi_{21}$.
\pause

В случае $\Phi_{12}$ для моделей с $p=3,4,5$ имеется особый набор интегралов движения:
\eq$$
\Aligned{
&\Phi_\pert=\Phi_{12}
&&p=3:
&&s=1,7,11,13,17,19,23,29\pmod{30};
\\
&&&p=4:
&&s=1,5,7,9,11,13,17\pmod{18};
\\
&&&p=5:
&&s=1,4,5,7,8,11\pmod{12}.
}\label{Is-s-12p345}
$$
\pause

Нас будут также интересовать неунитарные модели  $c=1-6(p'-p)^2/pp'$ с $p=2$, $p'=2N+1$. Для них
\eq$$
c=1-{3(2N-1)^2\over(2N+1)},\ \Phi_\pert=\Phi_{13}:
\quad
s\in(2\Z+1)\setminus((2N-1)\Z).
\label{Is-s-ribbon}
$$


\end{frame}

%\begin{frame}
%\frametitle{Семинар 1. Решение уравнения Янга"--~Бакстера}
%
%{\bf Задача~1.} Пусть у нас есть три матрицы $R$, $R'$, $R''$ на $\C^2\otimes\C^2$ вида
%$$
%R=\pMatrix{a&&&\\&b&c&\\&c&b&\\&&&a},
%$$
%удовлетворяющие уравнению Янга"--~Бакстера:
%$$
%R''_{12}R'_{13}R_{23}=R_{23}R'_{13}R''_{12}.
%$$
%Это уравнение может быть сведено к трем алгебраическим уравнениям
%$$
%\Aligned{
%ac'a''
%&=bc'b''+ca'c'',
%\\
%ab'c''
%&=ba'c''+cc'b'',
%\\
%cb'a''
%&=ca'b''+bc'c''.
%}
%$$
%Будем рассматривать их как линейную систему уравнений для $a'',b'',c''$. Найдите условие, при котором эта система имеет нетривиальное решение. Попробуйте записать его в виде $f(a,b,c)=f(a',b',c')$.
%
%\end{frame}

%\begin{frame}
%\frametitle{Семинар 1. Решение уравнения Янга"--~Бакстера}
%
%{\bf Задача 2.} Покажите, что набор функций
%$$
%a(\lambda,u)=\sh(\lambda-u),
%\quad
%b(\lambda,u)=\sh u,
%\quad
%c(\lambda,u)=\sh\lambda
%$$
%дает решение уравнения Янга"--~Бакстера в виде $R=R(\lambda,u_1-u_2)$, $R'=R(\lambda,u_1-u_3)$, $R''=R(\lambda,u_2-u_3)$. Выразите значение $f(a,b,c)$ через~$\lambda$.
%
%\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Регуляризация $T^2$ на цилиндре}

{\bf Задача~1.} Используя разложение
$$
{1\over z}-\cth z={z\over3}+{z^3\over45}+O(z^5),
$$
запишите
$$
I^{(0)}_3={\pi\over iR}\int_{C_\perp}dz\oint_{C_z}{dw\over2\pi i}\,{T(w)T(z)\over w-z}
$$
на цилиндре в виде, уважающем периодичность с периодом~$R$.

{\red\hrule\smallskip}
\pause
\Multline*$$
I^{(0)}_3={\pi\over iR}\int_{C_\perp}dz\oint_{C_z}{dw\over2\pi i}\,T(w)T(z)\left(\cth{\pi\over iR}(w-z)+{i\pi\over3R}(w-z)
+{i\pi^3\over45R^3}(w-z)^3\right)
\\
={\pi\over iR}\int_{C_\perp}dz\,\left(\oint_{C_z}{dw\over2\pi i}\,T(w)T(z)\cth{\pi\over iR}(w-z)+{2i\pi\over3R}T(z)
+{i\pi^3c\over90R^3}\right)
\\
={\pi\over iR}\int_{C_\perp}dz\oint_{C_z}{dw\over2\pi i}\,T(w)T(z)\cth{\pi\over iR}(w-z)+{2\pi\over3R^2}\bbT_0+{\pi^4c\over90R^3}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Регуляризация $T^2$ на цилиндре}


{\bf Задача~2.} Выразите интеграл по $C_z$ через интегралы по $C_\perp$.

{\red\hrule\smallskip}
\pause
\Multline*$$
{1\over2R}\int_{C_\perp}dz\int_{C_\perp}dw\,[T(w),T(z)]\cth{\pi\over iR}(w-z)
\\
={1\over2R}\int_{C_\perp}dz\int_{C_\perp}dw\,\left(T(w)T(z)\cth{\pi\over iR}(w-z)+T(z)T(w)\cth{\pi\over iR}(z-w)\right)
\\
={1\over R}\int_{C_\perp}dz\int_{C_\perp}dw\,T(w)T(z)\cth{i\pi\over R}(z-w).
$$


\pause

{\bf Задача~3.} Разложите получившееся подынтегральное выражение по степеням $e^{\pm{2\pi i\over R}(z-w)}$ и выразите ответ через операторы $\bbT_n$.

{\red\hrule\smallskip}
\pause
Из
$$
\cth z={1+e^{-2z}\over1-e^{-2z}}=(1+e^{-2z})\sum^\infty_{n=0}e^{-2nz}=1+2\sum^\infty_{n=1}e^{-2nz}.
$$
получаем
$$
I^{(0)}_3={1\over R}\left(\bbT_0^2+2\sum^\infty_{n=1}\bbT_{-n}\bbT_n\right)+{2\pi\over3R^2}\bbT_0+{\pi^4c\over90R^3}
$$

\end{frame}

\end{document}
