% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathtools,cancel,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}}
\def\Res{\mathop{\rm Res}}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\id{\mathinner{\rm id}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cD{{\mathcal D}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\ve{\varepsilon}

\def\eff{{\text{eff}}}
\def\pert{{\text{p}}}
\def\phys{{\text{phys}}}
\def\Lcyl{{\mathbb L}}
\def\bbT{{\mathbb T}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}
\def\crosscolon{\substack{\scriptscriptstyle\times\\\scriptscriptstyle\times}}
\def\lcrosscolon{\mathopen{\,\crosscolon}}
\def\rcrosscolon{\mathclose{\crosscolon\,}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\newtheorem{thm}{Теорема}

\begin{document}

\title[Лекция 10. Интегралы движения и матрицы рассеяния]{Лекция 10.\\Интегралы движения и матрицы рассеяния}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Асимптотическая волновая функция и ее аналитические свойства}

Рассмотрим асимптотическую волновую функцию $n$ бозонных частиц:
\Multline$$
\psi_{\beta_1p_1,\ldots,\beta_np_n}(\alpha_1x_1,\ldots,\alpha_nx_n)
=\sum_{\tau\in S_n}
A^{\alpha_{\sigma_1}\ldots\alpha_{\sigma_n}}
_{\beta_{1\,\hphantom\sigma}\ldots\beta_n}[\tau]
e^{i\sum^n_{i=1}p_{\tau_i}x_{\sigma_i}}
\\
\text{при}\quad
x_{\sigma_1}<x_{\sigma_2}<\cdots<x_{\sigma_n},
\quad
|x_i-x_j|\gg R.
\label{psifunction-rep}
$$
\pause
Мы говорили, что внешние значки $\beta_i$ можно определить условием
\eq$$
A^{\alpha_1\ldots\alpha_n}_{\beta_1\ldots\beta_n}[\id]=\prod^n_{i=1}\delta^{\alpha_i}_{\beta_i}.
\label{psinorm-analytic}
$$
Это условие означает, сто значки $\beta_i$ совпадают со значками $\alpha_i$ во входящем канале при условии $p_1>p_2>\cdots>p_n$. При этом волновые функции аналитичны по импульсам.
\pause

При перестановках $\beta_ip_i\leftrightarrow\beta_jp_j$ эти функции меняются по правилу:
\Multline$$
\psi_{\ldots,\beta_ip_i,\beta_{i+1}p_{i+1},\ldots}(\alpha_1x_1,\ldots,\alpha_nx_n)
\\
=\sum_{\beta'_i\beta'_{i+1}}S(p_i,p_{i+1})^{\beta'_i}_{\beta_i}{}^{\beta'_{i+1}}_{\beta_{i+1}}
\psi_{\ldots,\beta'_{i+1}p_{i+1},\beta'_ip_i,\ldots}(\alpha_1x_1,\ldots,\alpha_nx_n).
\label{psi-p-commut}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Проверка перестановочного свойства при $n=2$}

Покажем это на пример двухчастичной волновой функции. Если $x_1<x_2$, имеем
\Align*$$
&\psi_{\beta_1p_1,\beta_2p_2}(\alpha_1x_1,\alpha_2x_2)
=\delta^{\alpha_1}_{\beta_1}\delta^{\alpha_2}_{\beta_2}e^{ip_1x_1+ip_2x_2}+S(p_1,p_2)^{\alpha_2\alpha_1}_{\beta_1\beta_2}e^{ip_2x_1+ip_1x_2}
\\
&\uncover<2->{\quad=\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(p_1,p_2)^{\beta'_1\beta'_2}_{\beta_1\beta_2}
\left(\delta^{\alpha_1}_{\beta'_2}\delta^{\alpha_2}_{\beta'_1}e^{ip_2x_1+ip_1x_2}
+S^{-1}(p_1,p_2)^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta'_1\beta'_2}e^{ip_1x_1+ip_2x_2}\right)}
\\
&\uncover<3->{\quad=\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(p_1,p_2)^{\beta'_1\beta'_2}_{\beta_1\beta_2}
\left(\delta^{\alpha_1}_{\beta'_2}\delta^{\alpha_2}_{\beta'_1}e^{ip_2x_1+ip_1x_2}
+S(p_2,p_1)^{\alpha_2\alpha_1}_{\beta'_2\beta'_1}e^{ip_1x_1+ip_2x_2}\right)}
\\
&\uncover<4->{\quad=\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(p_1,p_2)^{\beta'_1\beta'_2}_{\beta_1\beta_2}\psi_{\beta'_2p_2,\beta'_1p_1}(\alpha_1x_1,\alpha_2x_2).}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Волновые функции и состояния}

Каждая волновая функция определяет (с точностью до симметричного по импульсам аналитического нормировочного множителя) состояние $|p_1,\ldots,p_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n}$.
\pause

Во-первых, в релятивистском случае перейдем к быстротам $\theta_i$: $p_i=m_i\sh\theta_i$. Тогда
\Multline$$
|\ldots,\theta_i,\theta_{i+1},\ldots\rangle_{\ldots\beta_i\beta_{i+1}\ldots}
\\
=\sum_{\beta'_i\beta'_{i+1}}S(\theta_i-\theta_{i+1})^{\beta'_i}_{\beta_i}{}^{\beta'_{i+1}}_{\beta_{i+1}}
|\ldots,\theta_{i+1},\theta_i,\ldots\rangle_{\ldots\beta'_{i+1}\beta'_i\ldots}.
\label{vec-theta-commut}
$$
\pause
Это равенство можно записать короче, используя обозначение
\eq$$
|\nu_1\theta_1,\ldots,\nu_N\theta_n\rangle=\sum_{\beta_1,\ldots,\beta_n}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n}
e^{\beta_1}_{(\nu_1)}\otimes\cdots\otimes e^{\beta_n}_{(\nu_n)},
\label{vec-shortform}
$$
где $e^\beta_{(\nu)}$ "--- базисный вектор в пространстве состояний~$V^{(\nu)}$ частицы сорта~$\nu$.
\pause
Тогда
\eq$$
|\ldots,\nu_i\theta_i,\nu_{i+1}\theta_{i+1},\ldots\rangle
=S^{(\nu_i,\nu_{i+1})}_{i,i+1}(\theta_i-\theta_{i+1})|\ldots,\nu_{i+1}\theta_{i+1},\nu_i\theta_i,\ldots\rangle.
\label{vec-theta-commut-short}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Операторы Фаддеева"--~Замолодчикова}

Введем «операторы рождения» $V^+_\beta(\theta)$ и «уничтожения»~$V^\beta(\theta)$:
\eq$$
\Aligned{
V^+_\beta(\theta)|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n}
&=|\theta,\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta\beta_1\ldots\beta_n},
\\
\uncover<2->{V^\beta(\theta)|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n}}
&\uncover<2->{{}=\sum^n_{k=1}2\pi\delta(\theta-\theta_k)}
\\
&\uncover<2->{\hspace{-8em}\times\sum_{\beta'_1,\ldots,\beta'_{k-1}\atop\alpha_1,\ldots,\alpha_k}
\delta^\beta_{\alpha_1}\delta^{\alpha_k}_{\beta_k}\prod^{k-1}_{i=1}S(\theta_i-\theta)^{\beta'_i}_{\beta_i}{}^{\alpha_i}_{\alpha_{i+1}}
|\theta_1,\ldots,\hat\theta_k,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta'_1\ldots\hat\beta_k\ldots\beta_n}.}
}\label{V+V-def}
$$
\pause\pause
Отсюда находим квадратичные соотношения
\subeq{\label{VV+-gen-commut}
\Align$$
V^{\beta_1}(\theta_1)V^{\beta_2}(\theta_2)
-\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(\theta_1-\theta_2)^{\beta_1}_{\beta'_1}{}^{\beta_2}_{\beta'_2}V^{\beta'_2}(\theta_2)V^{\beta'_1}(\theta_1)
&=0,
\label{VV-commut}
\\
\uncover<4->{V^+_{\beta_1}(\theta_1)V^+_{\beta_2}(\theta_2)
-\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(\theta_1-\theta_2)^{\beta'_1}_{\beta_1}{}^{\beta'_2}_{\beta_2}V^+_{\beta'_2}(\theta_2)V^+_{\beta'_1}(\theta_1)}
&\uncover<4->{=0,}
\label{V+V+-commut}
\\
\uncover<5->{V^{\beta_1}(\theta_1)V^+_{\beta_2}(\theta_2)
-\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(\theta_2-\theta_1)^{\beta'_2}_{\beta_2}{}^{\beta_1}_{\beta'_1}V^+_{\beta'_2}(\theta_2)V^{\beta'_1}(\theta_1)}
&\uncover<5->{=2\pi\delta^{\beta_1}_{\beta_2}\delta(\theta_1-\theta_2).}
\label{VV+-commut}
$$}
\pause\pause\pause
Эта алгебра называется \emph{алгеброй Фаддеева"--~Замолодчикова}.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Кроссинг"=симметрия}

С учетом кроссинг"=симметрии мы можем положить
\eq$$
V^+_\alpha(\theta)=\sum_\beta C_{\alpha\beta}V^\beta(\theta-i\pi),
\label{V+-V-rel}
$$
где $C_{\alpha\beta}$ "--- матрица $CPT$"=преобразования, представляющая собой симметричную матрицу, причем существует унитарная матрица $U$, такая что $UCU^t=1$.
\qquad

Тогда алгебру Фаддеева"--~Замолодчикова можно записать в компактном виде
\Multline$$
V^{\beta_1}(\theta_1)V^{\beta_2}(\theta_2)
-\sum_{\beta'_1\beta'_2}S(\theta_1-\theta_2)^{\beta_1}_{\beta'_1}{}^{\beta_2}_{\beta'_2}V^{\beta'_2}(\theta_2)V^{\beta'_1}(\theta_1)
\\
=2\pi C^{\beta_1\beta_2}\delta(\theta_1-\theta_2-i\pi)
-2\pi\sum_{\beta'_1\beta'_2}C^{\beta'_1\beta'_2}S(-i\pi)^{\beta_2\beta_1}_{\beta'_2\beta'_1}\delta(\theta_1-\theta_2+i\pi),
\label{VV-unif-commut}
$$
\qquad
Здесь мы считаем, что переменные $\theta_i$ живут на двух (направленных, по соглашению, направо) прямых:
\eq$$
\theta_i\in\cC_\rightrightarrows\equiv\R\cup(\R-i\pi).
\label{cC-twolines}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Локальные интегралы движения и кроссинг"=симметрия}

Пусть теперь $\hat I_s$ "--- локальный интеграл движения спина~$s$, причем \emph{интегралы движения в выбранном базисе диагонализуются}:
\eq$$
\hat I_s|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n}
=\sum^n_{i=1}I_{s,\beta_i}e^{s\theta_i}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle_{\beta_1\ldots\beta_n}.
\label{Is-eigenvalue}
$$
\pause
Отсюда получаем коммутационные соотношения
\eq$$
[\hat I_s,V^+_\beta(\theta)]=I_{s,\beta}e^{s\theta}V^+_\beta(\theta),
\qquad
[\hat I_s,V^\beta(\theta)]=-I_{s,\beta}e^{s\theta}V^\beta(\theta).
\label{Is-V+V-commut}
$$
\pause
Согласие с условием кроссинг"=симметрии
\eq$$
V^+_\alpha(\theta)=\sum_\beta C_{\alpha\beta}V^\beta(\theta-i\pi)
\tag{\ref{V+-V-rel}}
$$
\pause
накладывает на собственные значения ограничение
\eq$$
I_{s,\alpha}\delta^\alpha_{\alpha'}=(-1)^{s-1}\sum_\beta C^{\alpha\beta}I_{s,\beta}C_{\beta\alpha'}.
\label{Is-crossing}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Связанные состояния}

Другое ограничение связано с наличием связанных состояний. Положим, что $c$ является связанным состоянием $a$ и $b$:
\eq$$
\begin{tikzpicture}[baseline=5pt]
\draw[-,very thick] (0,0) -- +(-140:1) node[below left] {$a$};
\draw[-,very thick] (0,0) -- +(-30:1) node[below right] {$b$};
\draw[->,very thick] (0,0) -- +(90:1) node[above] {$c$};
\draw[-] +(-30:.4) arc (-30:-140:.4) node[midway,below] {$u^c_{ab}$};
\draw[-] +(220:.35) arc (220:90:.35) node[midway,above left=-2pt] {$u^{\bar b}_{\bar ca}$};
\draw[-] +(90:.45) arc (90:-30:.45) node[midway,above right=-4pt] {$u^{\bar a}_{b\bar c}$};
\end{tikzpicture}
\qquad
\Gathered{
u^c_{ab}+u^{\bar b}_{\bar ca}+u^{\bar a}_{b\bar c}=2\pi,
\\
0<u^c_{ab},u^{\bar b}_{\bar ca},u^{\bar a}_{b\bar c}<\pi,
}\qquad
\Aligned{
\bar u^c_{ab}
&=\pi-u^c_{ab},
\\
\bar u^{\bar b}_{\bar ca}
&=\pi-u^{\bar b}_{\bar ca},
\\
\bar u^{\bar a}_{b\bar c}
&=\pi-u^{\bar a}_{b\bar c}.
}\label{fusion-ab->c}
$$
\pause
Тогда для операторов $V^\beta(\theta)$ мы можем постулировать
\eq$$
V^c(\theta)=\sum_{a,b}\Gamma^c_{ab}V^b(\theta-i\bar u^{\bar a}_{b\bar c})V^a(\theta+i\bar u^{\bar b}_{\bar ca}),
\label{V-bound}
$$
что согласуется со свойствами $S$"=матриц.
\pause

Отсюда получаем второе ограничение:
\eq$$
I_{s,c}=I_{s,a}e^{is\bar u^{\bar b}_{\bar ca}}+I_{s,b}e^{-is\bar u^{\bar a}_{b\bar c}}.
\label{Is-bound}
$$
Изучим ограничения (\ref{Is-crossing}) и~(\ref{Is-bound}).

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Нейтральные частицы и пары частица"=античастица}

\begin{thm}
Если в лоренц"=инвариантной модели имеется нейтральная частица или пара частица"--~античастица с недиагональной матрицей рассеяния, на которых интегралы движения диагонализуются, интегралы движения четных спинов имеют нулевые собственные значения на этих частицах. Как следствие, если в модели есть только частицы этих двух сортов, она не имеет интегралов движения четных спинов.
\end{thm}
\pause

Действительно, наличие нейтральной частицы $1$ означает, что в подходящем базисе имеется блок $1\times1$ с матрицей $C=1$ на нем. Следовательно, $I_{s,1}=(-1)^{s+1}I_{s,1}$. Следовательно, $I_{2n,1}=0$.
\pause

Пусть теперь в системе есть частица $1$ и античастица $\bar1$ с $C=\sigma^1$, такие что матричный элемент $1+\bar1\to\bar1+1$ не равен нулю. Тогда
$$
I_{s,1}=(-1)^{s-1}I_{s,\bar1}.
$$
\pause
Рассмотрим рассеяние $|\theta_1,\theta_2\rangle_{1\bar1}\to|\theta_1,\theta_2\rangle_{\bar11}$.
\pause
Тогда до и после рассеяния собственные значения интегралов движения должны быть одинаковы:
$$
I_{s,1}e^{s\theta_1}+I_{s,\bar1}e^{s\theta_2}=I_{s,\bar1}e^{s\theta_1}+I_{s,1}e^{s\theta_2}.
$$
Это значит, что $I_{s,1}=I_{s,\bar1}=(-1)^{s-1}I_{s,1}$. Отсюда заключаем, что $I_{2n,1}=I_{2n,\bar1}=0$.
\pause

Именно поэтому в модели синус"=Гордона нет интегралов движения четных спинов.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пример: редукция модели синус"=Гордона с $\beta^2=4/5$}

Рассмотрим матрицу рассеяния первого бризера в модели синус"=Гордона в специальной точке $\beta^2=4/5$:
\eq$$
S_{11}(\theta)={\th{1\over2}(\theta+{2\pi i\over3})\over\th{1\over2}(\theta-{2\pi i\over3})}.
\label{S11-p2/3}
$$
\pause
Изучим \emph{редукцию} этой модели, в которой частица $1$ является элементарной.
\pause
Есть полюс $\theta={2\pi i\over3}$, но знак вычета по $-i\theta$ отрицательный. Это значит, что, если мы дополним теорию связанным состоянием, теория будет \emph{неунитарной}, то есть не все состояния будут иметь положительную норму.
\pause

Найдем массу этого связанного состояния:
$$
M_2=2M_1\cos{\pi\over3}=M_1,
$$
\pause
и ее матрицу рассеяния с частицей~1:
$$
S_{21}(\theta)=S_{11}\left(\theta+{i\pi\over3}\right)S_{11}\left(\theta-{i\pi\over3}\right)=S_{11}(\theta).
$$
\pause
\emph{Отождествим} частицу 2 с частицей~1. Тогда
$$\textstyle
I_{s,1}=2I_{s,1}\cos{\pi s\over3}
\quad\Rightarrow\quad
\cos{\pi s\over3}={1\over2}.
$$
\pause
Отсюда следует, что ненулевые интегралы движения имеют спины
$$
s=\pm1\pmod6.
$$
\pause
Это совпадает с интегралами движения $\Phi_{12}$"=возмущения минимальных моделей.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пример: редукция модели синус"=Гордона с $\beta^2=4/5$}

Рассмотрим модель синус"=Гордона как возмущение «мнимой» теории Лиувилля:
\eq$$
\cS_0=\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}+{\mu\over2}e^{-i\beta\phi}\right),
\qquad
\cS_1={\mu\over2}\int d^2x\,e^{i\beta\phi}.
\label{SG-cft+exp-action-Mink}
$$
\pause
Формально теория с действием $\cS_0$ представляет собой конформную теорию с центральным зарядом
\eq$$
c=1-12\alpha_0^2,
\quad
\alpha_0=\beta^{-1}-{\textstyle{1\over2}}\beta,
\label{c-rsG}
$$
\pause
и конформными размерностями полей $e^{i\alpha\phi}$
$$
\Delta_\alpha={1\over2}\alpha(\alpha-2\alpha_0),
\qquad
\Delta_{-\beta}=1.
$$
\pause
Легко проверить, что
$$
\Delta_\pert=\Delta_\beta=\Delta_{13}.
$$
\pause
Можно показать, что некоторые редукции модели синус"=Гордона совпадают с $\Phi_{13}$"=возмущениями минимальных моделей с центральным зарядом $c$ из~\ref{c-rsG}.
\pause

При $\beta^2={4\over5}$ центральный заряд равен $c=-{22\over5}$. Теория совпадает $\Phi_{13}$"=возмущением \emph{модели Ли"--~Янга} $M(2,5)$. Модель содержит два примарных поля
$$
\Phi_{11}=\Phi_{14}=1:\ \Delta_{11}=0,
\quad
\Phi_{12}=\Phi_{13}:\ \Delta_{13}=-{1\over5}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пример: редукции модели синус"=Гордона с $\beta^2=4/(2N+1)$}

Обобщим полученный результат. Пусть $\beta^2=4/(2N+1)$, $N=2,3,\ldots$. Тогда в модели синус"=Гордона имеется серия бризеров с массами
$$
M_n=2M_\text{kink}\sin{\pi n\over2N-1},
\quad
n=1,2,\ldots,N-1.
$$
\pause
Если мы отбросим топологические солитоны (кинки), мы можем пожертвовать унитарностью и продлить серию до $2N-2$. При этом
\eq$$
M_n=M_{2N-1-n}=M_1{\sin{\pi n\over2N-1}\over\sin{\pi\over2N-1}}
\quad(n=1,2,\ldots,2N-2).
\label{ribbon-spectrum}
$$
\pause
Нетрудно показать, что
\eq$$
S_{n,2N-1-n'}(\theta)=S_{nn'}(\theta),
\label{S-ribbon-symmetry}
$$
\pause
Если мы \emph{отождествим} частицы $n$ и $2N-1-n$, мы можем думать (и это можно проверить), что теория отвечает $\Phi_{13}$"=возмущению конформных моделей $M(2,2N+1)$ с центральными зарядами и конформными размерностями
\eq$$
c_N=1-3{(2N-1)^2\over2N+1},
\quad
\Delta_{1n}=-{(n-1)(2N-n)\over2(2N+1)}
\quad(n=1,2,\ldots,2N).
\label{Delta1n-ribbon}
$$
Эти размерности отвечают примарным полям $\Phi_{1n}=\Phi_{1,2N+1-n}$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пример: редукции модели синус"=Гордона с $\beta^2=4/(2N+1)$}

Рассмотрим реакцию $1+(n-1)\to n$. Имеем
\eq$$
\bar u^1_{n,n-1}={\pi\over2N-1},
\qquad
\bar u^{n-1}_{1n}={\pi(n-1)\over2N-1}.
\label{un-ribbon}
$$
\pause
Следовательно,
\Multline*$$
I_{s,n}=I_{s,n-1}e^{i\pi s/(2N-1)}+I_{s,1}e^{-i\pi s(n-1)/(2N-1)}=I_{s,1}\sum^n_{k=1}e^{i\pi s(n+1-2k)/(2N-1)}
\\
=I_{s,1}\times\Cases{{\sin{\pi sn\over2N-1}\over\sin{\pi s\over2N-1}},&s\ne0\pmod{2N-1};\\
n(-1)^{s(n+1)/(2N-1)},&s=0\pmod{2N-1}.}
$$
\pause
Потребовав $I_{s,2N-2}=I_{s,1}$, получаем, что
$$
s\ne0\pmod{2N-1},\quad(-1)^{s-1}=1,
$$
то есть спины нечетны и не кратны $2N-1$. Это соответствует спектру $\Phi_{13}$"=возмущений $M(2,2N+1)$"=моделей, описанному в прошлой лекции.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пример: модель Изинга}

Модель Изинга в критической точке в непрерывном пределе описывается конформной теорией $M(3,4)$ с двумя единичными полями
$$
\textstyle
\ve=\Phi_{21}=\Phi_{13}: \Delta_\ve={1\over2},
\quad
\sigma=\Phi_{12}=\Phi_{22}: \Delta_\sigma={1\over16}.
$$
\pause
В окрестности критической точки мы имеем теорию
$$
\cS=\cS_{M(3,4)}+\tau\int d^2x\,\ve(x)-h\int d^2x\,\sigma(x),
\qquad
\tau\sim{T-T_c\over T_c},
\qquad
h\sim H_{\text{ext}}.
$$
\pause
Такая общая теория не является интегрируемой, поскольку не имеет высших интегралов движения. Но теории с $h=0$ (температурное возмущение) и $\tau=0$ (возмущение внешним магнитным полем) интегрируемы.
\pause

С другой стороны модель Изинга соответствует классической теории Ландау со свободной энергией
\eq$$
F[\sigma]=\int d^2x\,\left({g\over2}(\nabla\sigma)^2-h\sigma+{a\tau\sigma^2\over2}+{b\sigma^4\over4!}+\cdots\right).
\label{Ising-FLandau}
$$
Свободную энергию~(\ref{Ising-FLandau}) можно использовать ка «затравочное действие» для флуктуационной теории.
\pause

Рассмотрим \emph{температурное возмущение} ($h=0$, $\tau\ne0$). Эта теория описывается свободным майорановским фермионом. В бозонных терминах это теория с матрицей рассеяния $S(\theta)=-1$. Ее интегралы движения $I_s$ имеют все нечетные спины (см.\ задачу~4 к предыдущей лекции):
$$
I_s=i^{s+2}\int dz\,\lcolon\d^{(s-1)/2}\psi\,\d^{(s+1)/2}\psi\rcolon+\cdots
\quad(s>0).
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пример: модель Изинга в магнитном поле}

Рассмотрим теперь \emph{возмущение магнитным полем} ($\tau=0$, $h\ne0$). По размерности массы частиц пропорциональны~$m_i\sim h^{8/15}$.
\pause

Оператор возмущения $\sigma=\Phi_{21}$, поэтому
\eq$$
s=1,7,11,13,17,19,23,29\pmod{30}.
\label{IsingMF-s-spectrum}
$$
\pause

В спектре отсутствуют спины, кратные~3 и 5. Учтем теорему

\begin{thm}[$\Phi^n$"=свойство]
Если теория содержит нейтральную частицу обладающую $\Phi^n$"=свойством, то есть, если имеется цепочка последовательных $n-2$ слияний:
$$
1+1\to2,\ 1+2\to3,\ \ldots,\ (n-2)+1\to1,
$$
причем каждая следующая частица $1$ в цепочки отстоит от предыдущей на один и тот же угол $u^2_{11}$ в одном и том же направлении, собственные значения интегралов движения спинов кратных $n$ равны нулю на этой частице.
\end{thm}
\pause

Можно предположить, что теория обладает $\Phi^3$"= $\Phi^5$"=свойствами.
\pause
Что касается $\Phi^3$"=свойства, то его легко увидеть. При $\tau=0$ параметр порядка $\sigma$ в свободной энергии Ландау имеет минимум в точке $\sigma=\sigma_0=(6h/b)^{1/3}$. Вблизи минимума свободную энергию можно разложить по $\varphi=\sigma-\sigma_0$:
$$
F[\sigma_0+\varphi]=\const+\int d^2x\,\left({g\over2}(\nabla\varphi)^2+{b^{1/3}(6h)^{2/3}\varphi^2\over4}
+h\varphi^3+{b\varphi^4\over4!}+\cdots\right).
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пример: модель Изинга в магнитном поле}

$\Phi^3$"=свойство означает, что $S_11(\theta)$ имеет полюс при $\theta={2\pi i\over3}$ и
\eq$$
S_{11}\left(\theta+{i\pi\over3}\right)S_{11}\left(\theta-{i\pi\over3}\right)=S_{11}(\theta),
\label{S11-selfeq}
$$
Но кроме этого полюса должны быть и другие полюсы.
\pause

$\Phi^5$"=свойство означает, что должна быть частица 2 со свойствами: $1+1\to2$, $2+2\to1$. Отсюда
$$
I_{s,2}=2I_{s,1}\cos s\bar u^1_{21},
\qquad
I_{s,1}=2I_{s,2}\cos s\bar u^2_{12}
$$
\pause
Значит
$$
4\cos s\bar u^1_{21}\cos s\bar u^2_{12}=1.
$$
Это уравнение имеет решение
\eq$$
\bar u^1_{21}={\pi\over5},
\qquad
\bar u^2_{12}={2\pi\over5}.
\label{IsingMF-u211-u122}
$$
\pause
Отсюда находим
\eq$$
{m_2\over m_1}=2\cos{\pi\over5}\simeq1.618.
\label{IsingMF-m2}
$$
\pause
Надо найти решение уравнения (\ref{S11-selfeq}) с полюсами $\theta={2\pi i\over3}$ и $\theta={2\pi i\over5}$ с положительными вычетами. Из (\ref{S11-selfeq}) следует, что также имеются полюсы при $\theta={\pi i\over15},{14\pi i\over15}$. С условием того, что $m_1$ является наименьшей массой, отбрасываем второй.
\pause
Находим решение
\eq$$
S_{11}(\theta)={\th{\theta+2\pi i/3\over2}\th{\theta+2\pi i/5\over2}\th{\theta+\pi i/15\over2}
  \over\th{\theta-2\pi i/3\over2}\th{\theta-2\pi i/5\over2}\th{\theta-\pi i/15\over2}}.
\label{IsingMF-S11}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Пример: модель Изинга в магнитном поле}

Дополнительный полюс дает третью частицу
\eq$$
\bar u^1_{31}={\pi\over30},
\qquad
{m_3\over m_1}=2\cos{\pi\over30}\simeq1.989.
\label{IsingMF-m3}
$$
\pause

Далее, амплитуда рассеяния
\eq$$
S_{12}(\theta)=S_{11}\left(\theta+{i\pi\over5}\right)S_{11}\left(\theta-{i\pi\over5}\right)
\label{IsingMF-S12}
$$
имеет полюсы в точках $\theta={4\pi i\over5},{3\pi i\over5},{7\pi i\over15},{4\pi i\over15}$. Первые три легко отождествляются с $u^a_{12}$, $a=1,2,3$. Последний соответствует новой частице~$4$ массы
\eq$$
{m_4\over m_1}=4\cos{\pi\over5}\cos{7\pi\over30}\simeq2.405.
\label{IsingMF-m4}
$$
\pause
Продолжая процедуру дальше, можно найти еще четыре частицы с массами
\eq$$
\Aligned{
{m_5\over m_1}
&=4\cos{\pi\over5}\cos{2\pi\over15}\simeq2.956,
&\quad
{m_6\over m_1}
&=4\cos{\pi\over5}\cos{\pi\over30}\simeq3.218,
\\
{m_7\over m_1}
&=8\cos^2{\pi\over5}\cos{7\pi\over30}\simeq3.891,
&\quad
{m_8\over m_1}
&=8\cos^2{\pi\over5}\cos{2\pi\over15}\simeq4.783.
}\label{IsingMF-m5678}
$$
Частицы~5 и~6 появляются как связанные состояния $2+2$, частица~7 появляется в канале $3+3$, а частица~8 "--- в канале $4+4$.





\end{frame}

\end{document}
