% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathtools,cancel,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes,decorations.markings,decorations.pathreplacing}
\usetikzlibrary{arrows.meta,shapes.geometric}
\tikzset{>={Stealth[length=1mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}}
\def\Res{\mathop{\rm Res}}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\id{\mathinner{\rm id}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cD{{\mathcal D}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\fkz{{\mathfrak z}}
\def\bfkz{{\bar\fkz}}

\def\eff{{\text{eff}}}
\def\pert{{\text{p}}}
\def\phys{{\text{phys}}}
\def\Lcyl{{\mathbb L}}
\def\bbT{{\mathbb T}}
\def\vac{{\text{vac}}}
\def\tmin{{\text{min}}}
\def\tmax{{\text{max}}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}
\def\crosscolon{\substack{\scriptscriptstyle\times\\\scriptscriptstyle\times}}
\def\lcrosscolon{\mathopen{\,\crosscolon}}
\def\rcrosscolon{\mathclose{\crosscolon\,}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\newtheorem{thm}{Теорема}

\begin{document}

\title[Лекция 11. ТБА. Основы]{Лекция 11.\\Термодинамический анзац Бете: основы метода}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Квантовая теория поля на торе}

Рассмотрим систему на прямоугольном торе $T_{L,R}$ размера $L\times R$ в эвклидовом пространстве:
\vspace{-4pt}
$$
\tikz[baseline=-2pt,scale=.5]{
\draw[-,very thick] (0,-1) -- node[sloped,scale=.8] {$/$} (7,-1)
  -- node[sloped,scale=.8] {$/\!/$} (7,1)
  -- node[sloped,scale=.8] {$/$} (0,1)
  -- node[midway,sloped,scale=.8] {$/\!/$} (0,-1);
\draw[->] (7,-1) node[below] {$L$} -- (7.7,-1) node[below] {$x^1$};
\draw[->] (0,1) node[left] {$R$} -- (0,1.7) node[left] {$x^2$};
}
$$
\vspace{-8pt}
\pause

Мы можем рассматривать систему двумя способами:
\begin{itemize}
\item $L$"=картина: $x^1$ "--- пространственная координата, $x^2$ "--- мнимое время. Тогда $L$ "--- размер ящика, $R$ "--- обратная температура.
\pause
\item $R$"=картина: $x^2$ "--- пространственная координата, $x^1$ "--- мнимое время. Тогда $R$ "--- размер ящика, $L$ "--- обратная температура.
\end{itemize}
\pause
Предположим, что
\vspace{-8pt}
\eq$$
R\ll\xi\ll L,
\label{R-xi-L-scales}
$$
где $\xi$ "--- корреляционная длина.
\pause
Тогда
\begin{itemize}
\item $L$"=картина. Разреженная ($L\gg N\xi$?) система при высокой температуре. Термодинамика описывается $S$"=матрицей.
\pause
\item $R$"=картина. Сжатая система при низкой температуре описывается конформной теорией поля в ультрафиолетовой неподвижной точке РГ.
\end{itemize}
\pause
Вычисляя статсумму системы
\eq$$
Z(L,R)=\tr_{\cH_L}e^{-RH_L}=\tr_{\cH_R}e^{-LH_R},
\label{Z(L,R)-def}
$$
в двух картинах, мы можем установить связь между массивной теорией, описываемой $S$"=матрицей, и конформной теорией поля на малых масштабах.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$R$"=картина}

Начнем с $R$"=картины. Поскольку $L$ очень велико,
\eq$$
\log Z(L,R)=-L\cE_0(R)+O(L^0),
\label{Z(L,R)-Rpic}
$$
где $\cE_0(R)$ "--- энергия основного состояния гамильтониана~$H_R$.
\pause

Рассмотрим возмущенную конформную теорию поля. Гамильтониан
$$
H_R=\int^R_0dx^2\,T_{11}(x)=\int^R_0dx^2\,(-T_{\fkz\fkz}-T_{\bfkz\bfkz}+2T_{\fkz\bfkz}),
$$
где $\fkz=x^2+ix^1$.
\pause
Для эвклидова ($T^{\mu\nu}_\text{эвк}=-T^{\mu\nu}_\text{минк}$) тензора энергии"=импульса имеем
$$
T(x)=2\pi T_{\fkz\fkz},
\qquad
\bar T(x)=2\pi T_{\bfkz\bfkz},
\qquad
\Theta(x)=-2\pi T_{\fkz\bfkz}.
$$
\pause
Тогда 
\Align$$
H_R
&=H_R^{(0)}+H_R^\pert
=-{\bbT_0+\bar\bbT_0\over2\pi}-{1\over\pi}\int^R_0dx^2\,\Theta(x)
\notag
\\*
&\uncover<5->{={2\pi\over R}\left(\Lcyl_0+\bar\Lcyl_0-{c\over12}\right)+(1-\Delta_\pert)\lambda\int^R_0dx^2\,\Phi_\pert(x).}
\label{HR-CFT}
$$
\pause\pause
Пренебрегая возмущением, получаем
\eq$$
\cE_0^{(0)}(R)=-{\pi c_\eff\over6R},
\qquad
c_\eff=c-12\Delta_\tmin-12\bar\Delta_\tmin.
\label{E0R-CFT}
$$
Здесь $c_\eff$ "--- \emph{эффективный центральный заряд}.
\pause
В случае мацубаровских граничных условий $\Delta_\tmin\le0$, $c_\eff\ge c$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$R$"=картина. Учет возмущения}

Теперь учтем возмущение:
$$
\cE_0(R)=\langle\vac|H_R|\vac\rangle{\only<3>{\red}{}-\ve_\infty R}
={\mathopen{\only<2>\red\langle}H_R\,e^{-S_\pert}\mathclose{\only<2>{\red}\rangle_0}
  \over\mathopen{\only<2>\red\langle}e^{-S_\pert}\mathclose{\only<2>{\red}\rangle_0}}{\only<3>{\red}{}-\ve_\infty R},
\quad
S_\pert=\lambda\int d^2x\,\Phi_\pert.
$$
\pause
Здесь $\only<2>{\red}\langle\cdots\rangle_0=\langle\Phi_\tmin|\cdots|\Phi_\tmin\rangle$ "--- среднее в конформной теории поля,
\pause
{\only<3>{\red}$\ve_\infty=\langle T^1_1\rangle_{R=\infty}$} "--- вакуумное среднее тензора энергии"=импульса на бесконечной прямой, которое необходимо вычитать при регуляризации энергии основного состояния.
\pause

Вычислим $\cE_0(R)$, прологарифмировав статсумму:
$$
\Aligned{
\cE_0(R)
&=-\lim_{L\to\infty}{1\over L}\log\left\langle e^{-L\cE_0^{(0)}(R)-S_\pert}\right\rangle_0-\epsilon_\infty R
\\
&=\cE_0^{(0)}(R)-\epsilon_\infty R-\lim_{L\to\infty}{1\over L}\log\sum^\infty_{n=1}{(-1)^n\over n!}\langle S_\pert^n\rangle_0.
}
$$
\pause
Логарифм заменяет средние на связные средние $\only<5>{\red}\langle\cdots\rangle_{0,c}$:
$$
\cE_0(R)=\cE^{(0)}_0(R)-\ve_\infty R
+\lambda\int dx^2\sum^\infty_{n=0}{(-1)^n\over(n+1)!}\langle\Phi_\pert S_\pert^n\rangle_{0,c}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$R$"=картина. Учет возмущения}

Перемасштабируя, получаем
\eq$$
\Aligned{
\cE_0(R)
&=-{\pi c_\eff\over6R}-\ve_\infty R+\lambda\sum^\infty_{n=0}{(-\lambda)^n\over n!}
{\only<2>{\red}R^{(2n+2)(1-\Delta_\pert)-1}}\mathbb M_n({\only<2>{\red}L/R})
\\
\mathbb M_n({\only<2>{\red}l})
&=\int_{\only<2>{\red}T_{l,1}}d^2x_1\cdots d^2x_n\,\langle\Phi_\pert(x)\Phi_\pert(x_1)\cdots\Phi_\pert(x_n)\rangle_{0,c}
}\label{E0R-fin}
$$
\pause
Интеграл масштабным преобразованием приведен от $T_{L,R}$ к $\only<2>{\red}T_{L/R,1}$.
\pause
В пределе $L/R\to\infty$ тор становится цилиндром, а цилиндр можно отобразить на плоскость. Поэтому
\vspace{-8pt}
\Multline$$
\mathbb M_n(\infty)
=(2\pi)^{2-(2n+2)(1-\Delta_\pert)}
\\
\times\int_{\R^2}d^2x_1\cdots d^2x_n\,\langle\Phi_\pert(x)\Phi_\pert(x_1)\cdots\Phi_\pert(x_n)\rangle_{0,c}\prod^n_{i=1}|z_i|^{2\Delta_\pert-2}
\label{Mn-ints-plane}
$$
\pause
Два основных случая:
\begin{itemize}
\item $\Delta_\tmin=0$ или $\bar\Delta_\tmin=0$. Тогда $\langle\Phi_\pert\rangle_{0,c}=0$, и ряд начинается с $n=1$;
\pause
\item $\Delta_\tmin,\bar\Delta_\tmin<0$, причем $\langle\Phi_\pert\rangle_{0,c}\ne0$, и ряд начинается с $n=0$.
\end{itemize}
\pause
Поэтому
\eq$$
\cE_0(R)=-{\pi c_\eff\over6R}-\ve_\infty R+O(R^\alpha),
\qquad
\alpha=\Cases{1-2\Delta_\pert,&\text{если $\Delta_\tmin,\bar\Delta_\tmin<0$;}\\
  3-4\Delta_\pert,&\text{если $\Delta_\tmin=0$ или $\bar\Delta_\tmin=0$.}}
\label{E0R-estimation}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$L$"=картина. Анзац Бете}

Рассмотрим простой случай. Пусть в модели имеется одна частица с матрицей $S(\theta)=\pm e^{i\phi(\theta)}$, $\phi(-\theta)=-\phi(\theta)$. Рассмотрим условие периодичности для \emph{асимптотической} волновой функции:
\eq$$
e^{imL\sh\theta_i}\prod^N_{j=1\atop(j\ne i)}e^{i\phi(\theta_i-\theta_j)}=(-1)^{\rm F},
\qquad
i=1,\ldots,N.
\label{TBA-BE}
$$
\pause
Прологарифмируем эти уравнения:
\eq$$
mL\sh\theta_i+\sum^N_{i=1}\phi(\theta_i-\theta_j)=2\pi n_i,
\label{TBA-BE-log}
$$
причем $n_i\in\Z+{N-1+{\rm F}\over2}$, если $S(0)=-1$, и $n_i\in\Z+{{\rm F}\over2}$, если $S(0)=1$.
\pause
Для каждого решения уравнений Бете $\{\theta_i\}$ зададим функцию $\theta(n)$ уравнением
\eq$$
mL\sh\theta(n)+\sum^N_{i=1}\phi(\theta(n)-\theta_j)=2\pi n.
\label{TBA-theta(n)-def}
$$
Очевидно $\theta(n_i)=\theta_i$. Если $n\in\{n_i\}$ будем считать состояние $n$ заполненным, иначе "--- пустым.
\pause
Мы будем полагать, что значения $n_i$ упорядочены по возрастанию: $n_{i+1}\ge n_i$, причем равные значения отвечают кратным корням уравнений Бете, если таковые имеются.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$L$"=картина. Термодинамический предел}

Введем спектральную \emph{плотность состояний} $\rho(\theta)$ и \emph{плотность частиц} $\rho^\bullet(\theta)$:
\eq$$
\rho(\theta)=\left\langle2\pi\over L(\theta(n+1)-\theta(n))\right\rangle_{\theta(n)\simeq\theta},
\qquad
\rho^\bullet(\theta)=\left\langle2\pi\over L(\theta_{i+1}-\theta_i)\right\rangle_{\theta_i\simeq\theta}.
\label{TBA-rho-rho1-def}
$$
\pause
Интеграл от $\rho^\bullet$ дает плотность частиц:
\eq$$
\int{d\theta\over2\pi}\,\rho^\bullet(\theta)={N\over L},
\label{TBA-rho1-norm}
$$
\pause
а интеграл с весом $m\ch\theta$ дает энергию состояния:
\eq$$
E[\rho^\bullet]=mL\int{d\theta\over2\pi}\,\rho^\bullet(\theta)\ch\theta.
\label{TBA-E[rho1]}
$$
Все интегралы по $\theta$ мы будем понимать по всей прямой $\R$, если не оговорено иное.
\pause

Обычным образом перепишем уравнения Бете в термодинамическом пределе в виде интегрального уравнения:
\eq$$
\rho(\theta)=m\ch\theta+\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\rho^\bullet(\theta').
\label{TBA-BE-continuous}
$$
\pause
Теперь, по идее, надо найти все решения интегрального уравнения, вычислить энергии и записать статсумму. Это будет сложный функциональный интеграл, который надо вычислять методом перевала. Решение этой задачи сводится к минимизации свободной энергии.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$L$"=картина. Свободная энергия}

Свободная энергия:
\eq$$
F[\rho,\rho^\bullet]=E[\rho^\bullet]-R^{-1}S[\rho,\rho^\bullet].
\label{TBA-free-energy}
$$
\pause
Теперь нужно определить энтропию $S[\rho,\rho^\bullet]$. Рассмотрим два случая:
\pause
\begin{itemize}
\item «Фермионный» случай. Если частицы являются фермионами с~$S(0)=1$ или бозонами с~$S(0)=-1$, каждое значение $n_i$ может быть заполнено только один раз.
\pause
\item «Бозонный» случай. Если частицы являются бозонами с~$S(0)=1$ или фермионами с~$S(0)=-1$, каждое значение $n_i$ может заполняться неограниченным числом частиц.
\end{itemize}
\pause
Разобьем вещественную прямую на небольшие интервалы $\Delta_k=[\eta_k,\eta_{k+1}]$. Тогда $S=\sum_k\Delta S_k$. Энтропия $\Delta S_k$ понимается как число «микроскопических» состояний, которыми реализуется «макроскопическое» состояние, которое задается числом частиц $N^\bullet_k$ на числе состояний $N_k$ этом интервале~$\Delta_k$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$L$"=картина. Вычисление энтропии}

\begin{itemize}
\item «Фермионный» случай. Число состояний $=$ число сочетаний из $N_k$ по $N^\bullet_k$:
$$
\Delta S_k=\log{N_k!\over N^\bullet_k!(N_k-N^\bullet_k)!}\simeq N_k\log N_k-N^\bullet_k\log N^\bullet_k-(N_k-N^\bullet_k)\log(N_k-N^\bullet_k).
$$
\pause
\item «Бозонный» случай. Число состояний $=$ число сочетаний из $N_k+N^\bullet_k-1$ по $N^\bullet_k$.
\pause
Действительно, возьмем $N_k+N^\bullet_k-1$ ящиков и заполним их $N^\bullet_k$ частицами. В нем останется $N_k-1$ пустых мест:
$$
\begin{tikzpicture}[scale=.5]
\draw[-] (0,0) -- (15,0) -- (15,1) -- (0,1) -- cycle;
\foreach \x in {1,2,...,10,12,13,14} \draw[-] (\x,0) -- (\x,1);
\draw[fill,xshift=0cm] (.5,.5) circle (.2);
\draw[fill,xshift=1cm] (.5,.5) circle (.2);
\draw[fill,xshift=3cm] (.5,.5) circle (.2);
\draw[fill,xshift=6cm] (.5,.5) circle (.2);
\draw[fill,xshift=7cm] (.5,.5) circle (.2);
\draw[fill,xshift=8cm] (.5,.5) circle (.2);
\draw[fill,xshift=13cm] (.5,.5) circle (.2);
\draw[fill,xshift=14cm] (.5,.5) circle (.2);
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=1mm,raise=0mm}] (0,1) -- node[above=1mm,scale=.7] {$l_1=2$} (2,1);
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=1mm,raise=0mm}] (3,1) -- node[above=1mm,scale=.7] {$l_2=1$} (4,1);
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=1mm,raise=0mm}] (4.7,1) -- node[above=1mm,scale=.7] {$l_3=0$} (5.3,1);
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=1mm,raise=0mm}] (6,1) -- node[above=1mm,scale=.7] {$l_4=3$} (9,1);
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=1mm,raise=0mm}] (13,1) -- node[above=1mm,scale=.7] {$l_{N_k}=2$} (15,1);
\draw (11,.5) node {$\cdots$};
\end{tikzpicture}
$$
Количество точек между $(j-1)$м и $j$м пустыми местами отождествим с числом заполнения $l_j$ состояния $j$ в этом интервале. Таким образом, мы построили взаимно"=однозначное соответствие между наборами числе заполнения $\{l_j\}$, $\sum_jl_j=N^\bullet_k$ и сочетаниями.
\pause

Отсюда
$$
\Delta S_k=\log{(N_k+N^\bullet_k-1)!\over N^\bullet_k!(N_k-1)!}\simeq(N_k+N^\bullet_k)\log(N_k+N^\bullet_k)-N^\bullet_k\log N^\bullet_k-N_k\log N_k.
$$
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$L$"=картина. Вычисление энтропии}

В непрерывном пределе имеем
\begin{itemize}
\item «Фермионный» случай:
\eq$$
S[\rho,\rho^\bullet]=L\int{d\theta\over2\pi}\,(\rho\log\rho-\rho^\bullet\log\rho^\bullet-(\rho-\rho^\bullet)\log(\rho-\rho^\bullet))
\label{TBA-Sfermion}
$$
\pause
\item «Бозонный» случай:
\eq$$
S[\rho,\rho^\bullet]=L\int{d\theta\over2\pi}\,((\rho+\rho^\bullet)\log(\rho+\rho^\bullet)-\rho^\bullet\log\rho^\bullet-\rho\log\rho)
\label{TBA-Sboson}
$$
\end{itemize}
\pause
Чтобы упростить запись, введем знаковый множитель
\eq$$
\sigma=(-1)^{\rm F}S(0)=\Cases{1&\text{в «бозонном» случае;}\\
  -1&\text{в «фермионном» случае.}}
\label{sigma-def}
$$
\pause
Тогда энтропию можно записать в виде
\eq$$
S[\rho,\rho^\bullet]=L\int{d\theta\over2\pi}\,
\left((\sigma\rho+\rho^\bullet)\log(\rho+\sigma\rho^\bullet)-\sigma\rho\log\rho-\rho^\bullet\log\rho^\bullet\right).
\label{TBA-entropy}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$L$"=картина. Уравнение Янга"--~Янга}

Интегральное уравнение Бете \uncover<2->{можно переписать как вариационную производную}
\eq$$
\rho(\theta)=m\ch\theta+\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\rho^\bullet(\theta')
\pause
\quad\Rightarrow\quad
{\delta\rho(\theta')\over\delta\rho^\bullet(\theta)}={1\over2\pi}\phi'(\theta'-\theta).
\tag{\ref{TBA-BE-continuous}}
$$
\pause
Теперь мы можем найти минимум свободной энергии
$$
F[\rho,\rho^\bullet]=L\int{d\theta\over2\pi}\left(\rho^\bullet(\theta)m\ch\theta
-R^{-1}\left((\sigma\rho+\rho^\bullet)\log(\rho+\sigma\rho^\bullet)-\sigma\rho\log\rho-\rho^\bullet\log\rho^\bullet\right)\right).
$$
\pause
из условия
\Multline$$
0={2\pi R\over L}{\delta F[\rho[\rho^\bullet],\rho^\bullet]\over\delta\rho^\bullet(\theta)}
\\
=mR\ch\theta
-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta'-\theta)\log{\rho(\theta')+\sigma\rho^\bullet(\theta')\over\rho(\theta')}
-{\only<5>{\red}\log{\rho(\theta)+\sigma\rho^\bullet(\theta)\over\rho^\bullet(\theta)}}.
$$
\pause
Введем функцию, называемую \emph{псевдоэнергией}:
\eq$$
\epsilon(\theta)={\only<5>{\red}\log{\rho(\theta)+\sigma\rho^\bullet(\theta)\over\rho^\bullet(\theta)}}
\quad\Leftrightarrow\quad
{\rho^\bullet(\theta)\over\rho(\theta)}={1\over e^{\epsilon(\theta)}-\sigma}.
\label{TBA-epsilon-def}
$$
\pause
Выражая минимум через псевдоэнергию $\epsilon(\theta)$, получаем \emph{уравнение Янга"--~Янга}:
\eq$$
\epsilon(\theta)-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\log\left(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta')}\right)=mR\ch\theta.
\label{TBA-YYeq}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$L$"=картина. Свободная энергия и плотность состояний}

Все остальные величины можно выразить через решение $\epsilon(\theta,mR)$ этого нелинейного интегрального уравнения.
\pause
Для свободной энергии $F$ и пропорциональной ей (при больших $L$) энергии основного состояния в $R$"=картине $\cE_0$ имеем
\eq$$
\cE_0(R)={RF\over L}=\sigma m\int{d\theta\over2\pi}\,\ch\theta\,\log\left(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta)}\right).
\label{TBA-F-epsilon}
$$
\pause
Удобно ввести не зависящую от размерных параметров скейлинговую функцию $f(r)$:
\eq$$
f(mR)=\sigma mR\int{d\theta\over2\pi}\,\ch\theta\,\log\left(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta)}\right)=R\cE_0(R).
\label{TBA-f(r)}
$$
\pause
Через нее выражается эффективный центральный заряд:
\eq$$
c_\eff=-{6\over\pi}f(0).
\label{TBA-ceff}
$$
\pause
Дифференцируя уравнение Янга"--~Янга по $R$ и сравнивая результат с уравнением Бете, получаем
\eq$$
\rho(\theta)={\d\epsilon(\theta,mR)\over\d R}.
\label{TBA-rho-epsilon}
$$
\pause
Отсюда следует, что
\eq$$
{N\over L}=\sigma{\d\over\d R}\int{d\theta\over2\pi}\,\log\left(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta,mR)}\right).
\label{TBA-N-epsilon}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$L$"=картина. Несколько частиц с диагональной матрицей рассеяния}

Пусть имеется набор частиц $a=1,\ldots,r$ с массами $m_a$ и матрицами рассеяния
$$
S_{ab}(\theta)=Z_{ab}e^{i\phi_{ab}(\theta)},
\quad
Z_{ab}=\pm1,
\quad
\phi_{ab}(\theta)=-\phi_{ba(\theta)}.
$$
Пусть $\sigma_a=1$ для «бозонных» частиц и $\sigma_a=-1$ для «фермионных» частиц.
\pause
Тогда уравнения Бете имеют вид:
\eq$$
m_aL\sh\theta^{(a)}_i+\sum^r_{b=1}\sum^{N_b}_{i=1}\phi_{ab}(\theta^{(a)}_i-\theta^{(b)}_j)=2\pi n^{(a)}_i.
\label{TBA-BE-mp}
$$
\pause
Проделывая все те же операции, получаем интегральное уравнение Бете
\eq$$
\rho_a(\theta)=m_a\ch\theta+\sum^r_{b=1}\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'_{ab}(\theta-\theta')\rho^\bullet_b(\theta').
\label{TBA-BE-continuous-mp}
$$
\pause
При выводе уравнения Янга"--~Янга удобнее фиксировать не числа частиц $N_a$, а \emph{химические потенциалы} $\mu_a$. Для нейтральных частиц $\mu_a=0$, а для пар частица"--~античастица $\mu_a=-\mu_{\bar a}$.
\pause
Ищем минимум большого термодинамического потенциала
\eq$$
\Omega[\rho,\rho^\bullet]=E[\rho^\bullet]-R^{-1}S[\rho,\rho^\bullet]-\sum^r_{a=1}\mu_aN_a.
\label{TBA-Omega-potential}
$$
\pause
В остальном выводе достаточно заменить
$$
\rho\to\rho_a,
\quad
\rho^\bullet\to\rho^\bullet_a,
\quad
\epsilon\to\epsilon_a,
\quad
\sigma\to\sigma_a,
\quad
\phi(\theta-\theta')\to\phi_{ab}(\theta-\theta'),
\quad
\int{d\theta\over2\pi}\to\sum_a\int{d\theta\over2\pi}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$L$"=картина. Уравнение Янга"--~Янга для нескольких частиц}

Получаем уравнение Янга"--~Янга в виде
\eq$$
\epsilon_a(\theta)-\sum^r_{b=1}\sigma_b\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'_{ab}(\theta-\theta')\log\left(1-\sigma_be^{-\epsilon_b(\theta')}\right)
=R(m_a\ch\theta-\mu_a).
\label{TBA-YYeq-GCE}
$$
\pause
Для большого потенциала имеем
\eq$$
{R\Omega\over L}=\sum^r_{a=1}\int{d\theta\over2\pi}\,\sigma_am_a\ch\theta\,\log\left(1-\sigma_ae^{-\epsilon_a(\theta)}\right).
\label{TBA-Omega-fin}
$$
\pause
Для плотности и числа частиц имеем
\eq$$
\rho_a(\theta)={m\over R}{\d\epsilon_a(\theta)\over\d m},
\qquad
{N_a\over L}={\sigma_am\over R}{\d\over\d m}\int{d\theta\over2\pi}\,\log\left(1-\sigma_ae^{-\epsilon_a(\theta,R)}\right).
\label{TBA-rho-m}
$$
Здесь $m$ "--- общий множитель масс: $m_a=\kappa_am$.
\pause
Энергия $\cE_0(R)$ выражается через свободную энергию
\eq$$
\cE_0(R)={RF\over L},
\qquad
F=\Omega+\sum^r_{a=1}\mu_aN_a.
\label{TBA-F-Omega}
$$
\pause
В симметричном случае $N_a=N_{\bar a}$ ($\forall a$), все $\mu_a=0$, и ответы не отличаются от случая нейтральных частиц. Однако в некоторых задачах интересен и несимметричный случай.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Уравнение Янга"--~Янга для модели Либа"--~Линихера}


Рассмотрим модель Либа"--~Линихера. В термодинамическом пределе уравнение Бете для него имеет вид
$$
1+\int{dp'\over2\pi}\phi'(p-p')\rho^\bullet(p')=\rho(p),
\quad
\phi(p)=-i\log{mc+ip\over mc-ip},
$$
причем число частиц и энергия равны
$$
N=L\int{dp\over2\pi}\,\rho^\bullet(p),
\quad
E=L\int{dp\over2\pi}\,{p^2\over2m}\rho^\bullet(p).
$$
\pause
1.~Получите уравнение Янга"--~Янга.
\pause
$$
\epsilon(p)+\int{dp'\over2\pi}\,\phi'(p-p')\log(1+e^{-\epsilon(p')})=R\left({p^2\over2m}-\mu\right).
$$
\pause
2.~Найдите большой термодинамический потенциал
$$
\Omega=
\pause
-{L\over R}\int{dp\over2\pi}\log(1+e^{-\epsilon(p)}).
$$





\end{frame}

\end{document}
