% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathtools,cancel,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes,decorations.markings,decorations.pathreplacing}
\usetikzlibrary{arrows.meta,shapes.geometric}
\tikzset{>={Stealth[length=1mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}}
\def\Res{\mathop{\rm Res}}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\id{\mathinner{\rm id}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cD{{\mathcal D}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\fkz{{\mathfrak z}}
\def\bfkz{{\bar\fkz}}
\def\rL{{\mathrm L}}

\def\eff{{\text{eff}}}
\def\pert{{\text{p}}}
\def\phys{{\text{phys}}}
\def\Lcyl{{\mathbb L}}
\def\bbT{{\mathbb T}}
\def\vac{{\text{vac}}}
\def\tmin{{\text{min}}}
\def\tmax{{\text{max}}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}
\def\crosscolon{\substack{\scriptscriptstyle\times\\\scriptscriptstyle\times}}
\def\lcrosscolon{\mathopen{\,\crosscolon}}
\def\rcrosscolon{\mathclose{\crosscolon\,}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\newtheorem{thm}{Теорема}

\begin{document}

\title[Лекция 12. ТБА. Результаты]{Лекция 12.\\Термодинамический анзац Бете: результаты}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Предел высоких температур}

Уравнение Янга"--~Янга для одной частицы
\eq$$
\epsilon(\theta)-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\log\left(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta')}\right)=mR\ch\theta
\label{TBA-YYeq}
$$
\pause
имеет постоянное решение $\epsilon(\theta)=\epsilon_0$ при $R=0$:
\eq$$
{\epsilon_0\over\log(1-\sigma e^{-\epsilon_0})}=\sigma\nu,
\quad
\nu=\int{d\theta\over2\pi}\,\phi'(\theta)={\phi(+\infty)-\phi(-\infty)\over2\pi}.
\label{TBA-epsilon0-def}
$$
\pause
Пусть теперь $R$ мало, но не равно нулю. Тогда
\eq$$
\theta_R\simeq\log{2\over mR}\gg1.
\label{TBA-thetaR-def}
$$
\pause
Если $|\theta|<\theta_R-\delta$ ($\delta\sim1$), то $\epsilon(\theta)=\epsilon_0$.
\pause

Если $|\theta|>\theta_R+\delta$, то $\epsilon(\theta)\simeq mR\ch\theta$.
\pause

Между этими областями имеются «кинки»:
\vspace{-8pt}
$$
\tikz[scale=.5]{
\draw[->,thick] (-6,0) -- (6,0) node[below right] {$\theta$};
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,3) node[above right] {$e^{-\epsilon}$};
\draw[-] (-6,0) (-5,0) to[out=0, in=-120] (-4,.9) to[out=60,in=-175] (-2.5,1.9) to[out=5,in=180] (0,2) node[above right] {$e^{-\epsilon_0}$}
  to[out=0,in=175] (2.5,1.9) to[out=-5,in=120] (4,.9) to[out=-60,in=180] (5,0);
\draw[-] (-4,0) -- ++(0,-.1) node[below] {$-\theta_R$}; \draw[-] (4,0) -- ++(0,-.1) node[below] {$\theta_R$};
\draw[dashed] (-6,2) -- (6,2);
}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{«Кинк» и скейлинговая функция $f(r)$}

Если $\theta_R$ достаточно велика «кинки» не чувствуют друг друга. Рассмотрим решение уравнения
\eq$$
\tilde\epsilon(\theta)-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta')})=e^\theta.
\label{TBA-kink-eq}
$$
\pause
Тогда можно использовать приближение
$$
\epsilon(\theta)\simeq\tilde\epsilon(|\theta|-\theta_R).
$$
\pause
Используем его, чтобы вычислить скейлинговую функцию
\eq$$
f(r)=\sigma r\int{d\theta\over2\pi}\,\ch\theta\,\log\left(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta,r)}\right).
\tikz[overlay,color=red] \draw (1.5,.7) node[rectangle,draw] {$R\cE_0(R)=f(mR)$};
\label{TBA-f(r)}
$$
\pause
В силу четности $\epsilon(\theta)$ имеем
\Multline$$
f(r)=\sigma r\int{d\theta\over2\pi}\,e^\theta\log(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta)})
\\
\uncover<5->{
\mathrel{\mathop\simeq\limits_{\red r\ll1}}\sigma re^{\theta_R}\int{d\theta\over2\pi}\,e^\theta\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta)})
}
\uncover<6->{
=2\tikz[overlay,baseline=0pt,color=red] {\draw (0,0) node (two) {\strut};
  \draw (0.5,1) node[rectangle,draw] (thetaR) {$e^{\theta_R}={2\over r}$}; \draw[->] (thetaR) to (two.north);}
\sigma\int{d\theta\over2\pi}\,e^\theta\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta)}).
}
\label{TBA-f(r)-kink}
$$
\pause\pause\pause
Правая часть не зависит от $r$ и дает $f(0)$. Попробуем вычислить эту величину.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$f(0)$: рецепт вычисления}

Продифференцируем уравнение (\ref{TBA-kink-eq}) для $\tilde\epsilon(\theta)$ по~$\theta$:
$$
e^\theta=\tilde\epsilon'(\theta)-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi''(\theta-\theta')\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta')}).
$$
\pause
Теперь подставим в формулу для $f(0)$. Обозначим \emph{$\tilde l(\theta)=-\sigma\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta)})$}. Тогда
$$
f(0)
=-2\int{d\theta\over2\pi}\,\tilde\epsilon'(\theta)\tilde l(\theta)
-2\int{d\theta\over2\pi}\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi''(\theta-\theta')\tilde l(\theta)\tilde l(\theta')
=f_1(0)+f_2(0),
$$
\pause
Первое слагаемое легко вычисляется
$$
f_1(0)={\sigma\over\pi}\int^\infty_{\epsilon_0}d\epsilon\,\log(1-\sigma e^{-\epsilon}),
$$
\pause
А вот второе сложнее. Хотя функция $\phi''(\theta)$ нечетна, интеграл не равен нулю, потому что $\tilde l(\theta)\to l_0=-\sigma\log(1-\sigma e^{-\epsilon_0})$ при $\theta\to-\infty$. Порядок интегрирования важен.
\pause

Запишем второе слагаемое в виде
$$
f_2(0)=2\int{d\theta\over2\pi}\,\tilde l(\theta){d\over d\theta}\int{d\theta'\over2\pi}\,\tilde l(\theta'){\d\over\d\theta'}(\phi(\theta-\theta'){\red{}+\pi\nu}).
$$
Мы добавили слагаемое $\red\pi\nu$ чтобы выражение в скобках равнялось нулю при $\theta\to-\infty$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$f(0)$: рецепт вычисления}

Теперь мы можем взять второй интеграл по частям
$$
f_2(0)=-2{\only<3>{\blue}\int{d\theta\over2\pi}}\,
\tilde l(\theta){d\over d\theta}{\only<2>{\red}\int{d\theta'\over2\pi}\,(\phi(\theta-\theta')+\pi\nu)\tilde l'(\theta')}.
$$
Свободный член не зависит от $\theta$ и пропадает при дифференцировании.
\pause
{\only<2>{\red}Внутренний} интеграл {\only<2>{\red}стремиться к нулю} при $\theta\to-\infty$.
\pause
Берем {\only<3>{\blue}внешний} интеграл по частям:
$$
f_2(0)=\pi\nu\int{d\theta\,d\theta'\over2\pi^2}\,\tilde l'(\theta)\tilde l'(\theta')
+\tikz[overlay,baseline=-2pt]{\draw (0,-.5) node (ld) {}; \draw (0,.5) node (lu) {};}
\int{d\theta\,d\theta'\over2\pi^2}\,\tilde l'(\theta)\phi(\theta-\theta')\tilde l'(\theta').
\tikz[overlay,baseline=-2pt]{\draw (0,-.5) node (rd) {}; \draw (0,.5) node (ru) {}; \only<4->{\draw[-,color=red] (ld) -- (ru); \draw[-,color=red] (lu) -- (rd);}}
$$
\pause
Второй член обращается в {\only<4>{\red}нуль} в силу нечетности $\phi(\theta)$ и того, что $l'(\theta)\to0$ при $\theta\to\pm\infty$.
\pause
Отсюда
$$
f_2(0)={\nu\over2\pi}\left(\int d\theta\,\tilde l'(\theta)\right)^2
\pause
={\nu l_0^2\over2\pi}
\pause
=\tikz[overlay,baseline=-2pt,xshift=-6pt] \node (eq) {};-{\epsilon_0 l_0\over2\pi}.
\tikz[overlay,baseline=-2pt,color=red]{\draw (.7,.6) node[rectangle,draw] (epsilonzero) {$\epsilon_0=-\nu l_0$};
  \draw[->] (epsilonzero) to[bend right] (eq.north);}
$$
\pause
Окончательно получаем
\eq$$
f(0)={\sigma\over\pi}\left({\epsilon_0\over2}\log(1-\sigma e^{-\epsilon_0})+\int^\infty_{\epsilon_0}d\epsilon\,\log(1-\sigma e^{-\epsilon})\right).
\label{TBA-f(0)-fin}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Дилогарифм Роджерса}

Запишем ответ через \emph{дилогарифм Роджерса}, определенный соотношениями
\Gather$$
\rL(z)=-{1\over2}\int^z_0du\,\left({\log(1-u)\over u}+{\log u\over1-u}\right)={\log z\log(1-z)\over2}-\int^z_0{du\over u}\,\log(1-u)
\notag
\\[-2pt]
\omit\hfill$(0\le z\le1),$
\notag
\\[-5pt]
\uncover<2->{\rL(-z)=-\rL\left(z\over z+1\right),
\quad
\rL(1/z)=2\rL(1)-\rL(z).}
\label{Rdilog}
$$
\vspace{-5pt}
\pause\pause
Имеем
\eq$$
f(0)=-{\sigma\over\pi}\rL(\sigma e^{-\epsilon_0})
\quad\Rightarrow\quad
c_\eff={6\sigma\over\pi^2}\rL(\sigma e^{-\epsilon_0}).
\label{TBA-f(0)-dilog}
$$
\pause
Дилогарифм Роджерса хорошо изучен, про него доказано множество теорем. Нам понадобятся простейшие свойства:
\eq$$
{\rm L(0)}=0,
\quad
{\rm L(1)}={\pi^2\over6}=\rL(z)+\rL(1-z),
\quad
{\rm L\left(1-\sqrt5\over2\right)}=-{\pi^2\over15}.
\label{Rdilog-specvals}
$$
\pause
Для свободной частицы $S(\theta)=1$, $\nu=0$ и $\epsilon_0=0$. Для нейтрального бозона имеем
$$
c^{FB}=c_\eff^{FB}={6\over\pi^2}\rL(1)=1.
$$
\pause
Для майорановского фермиона (=~модель Изинга в нулевом магнитном поле) имеем
$$
c^{FF}=c_\eff^{FF}=-{6\over\pi^2}\rL(-1)={6\over\pi^2}\rL\left(1\over2\right)={1\over2}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модели sh"=Гордона и Ли"--~Янга}

Рассмотрим матрицу рассеяния бризера в модели синус"=Гордона:
\eq$$
S_{11}(\theta)={\th{1\over2}(\theta+i\pi p)\over\th{1\over2}(\theta-i\pi p)}.
\label{SG-S11-rep}
$$
\pause
При $-1<p<0$ эта матрица рассеяния описывает модель sh"=Гордона. Для нее имеем $\sigma=S(0)=-1$ и \emph{$\nu=1$}.
\pause
Уравнение $\epsilon_0=-\log(1+e^{-\epsilon_0})$ \emph{не имеет решения}.
\pause
С помощью предельного перехода
$$
\epsilon_0+\log(1+e^{-\epsilon_0})\equiv\log(e^{\epsilon_0}+1)=\delta\to+0
$$
мы находим $e^{\epsilon_0}=+0\ \Rightarrow\ e^{-\epsilon_0}=+\infty$.
\pause
Отсюда имеем
$$
c_\eff^{ShG}=-{6\over\pi^2}\rL(-\infty)={6\over\pi^2}\rL(1)=1.
$$
Итак, модель sh"=Гордона на малых масштабах ведет себя как модель свободного безмассового бозона.
\pause

Теперь рассмотрим случай $0<p<1$. В этом случае \emph{$\nu=-1$},
\pause
а уравнение $\epsilon_0=\log(1+e^{-\epsilon_0})$ имеет решение
$$
e^{-\epsilon_0}=\smash{\sqrt5-1\over2}.
$$
\pause
Отсюда получаем
\eq$$
c^{LY}_\eff=2/5,
\label{ceff-LY}
$$
что имеет смысл для \emph{редуцированной} модели при \emph{$p=2/3$}, когда эта частица "--- единственная.
\pause
Этот эффективный заряд соответствует \emph{модели Ли"--~Янга} с $c=-22/5$ и $\Delta_\tmin=-1/5$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Проблема плотности частиц}

Оценим число~$N$ частиц в системе. Согласно формуле
$$
{N\over L}=\sigma{\d\over\d R}\int{d\theta\over2\pi}\,\log\left(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta,mR)}\right)
$$
\pause
имеем
$$
{N\over L}\simeq-2{\d\over\d R}\log{2\over mR}\log(1+e^{-\epsilon_0})\sim R^{-1}.
$$
\pause
Таким образом, среднее расстояние между частицами по порядку величины равно $R\ll\xi$ и, таким образом, предположение
$$
N\xi\ll L
$$
термодинамического анзаца Бете не выполнено.
\pause
Возникает вопрос, почему все же термодинамический анзац Бете работает.
\pause
Ответ на этот вопрос дан в работе Классена и Мельцера (1990). Они обратили внимание на то, что, как показали Дашен, Ма и Бернштейн в 1969 году, \emph{вириальные коэффициенты газа полностью определяются $S$"=матрицей} составляющих его частиц.
\pause
\emph{Точные} $S$"=матрицы дают \emph{точные вириальные коэффициенты} и, коль скоро газ не испытывает фазового перехода при повышении температуры, его статистическая сумма является аналитическим продолжением статистической суммы из области $R\gg\xi$.
\pause
Это значит, что условием применимости термодинамического анзаца Бете является \emph{отсутствие фазового перехода} для одномерного газа.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Несколько частиц с диагональной $S$"=матрицей}

Рассмотрим систему частиц $a=1,\ldots,r$ с диагональной $S$"=матрицей $S_{ab}(\theta)=Z_{ab}e^{i\phi_{ab}(\theta)}$ и параметрами $\sigma_a=\pm$.
\pause
При $R=0$ уравнения Янга"--~Янга сводятся к системе алгебраических уравнений
\eq$$
\epsilon_{0a}=\mathop{\smash{\sum^r_{b=1}}}\nu_{ab}\sigma_b\log(1-\sigma_be^{-\epsilon_{0b}}),
\qquad
\nu_{ab}=\smash{\phi_{ab}(+\infty)-\phi_{ab}(-\infty)\over2\pi}.
\label{TBA-epsilon0-mp}
$$
\pause
Для скейлинговой функции $f(m_\tmin R)=R\cE_0(R)$ значение $f(0)$ дается формулой
\eq$$
f(0)=-\smash{1\over\pi}\sum_a\sigma_a\rL(\sigma_ae^{-\epsilon_{0a}}).
\label{TBA-f(0)-dilog-mp}
$$
\pause
Рассмотрим теорию рассеяния бризеров в модели синус"=Гордона. Эта теория замкнута при $p=2/(2N-1)$, если отождествить $n$-й и $(2N-1-n)$-й бризеры.
\pause
Константы $\nu_{nn'}$ даются формулами
\eq$$
\nu_{nn'}=\delta_{nn'}-2\min(n,n').
\label{TBA-SGbr-nu}
$$
\pause
Возьмем экспоненту от уравнений (\ref{TBA-epsilon0-mp}) и запишем их в переменных $y_n=e^{-\epsilon_{0n}}$:
\eq$$
y_n(1+y_n)^{2n-1}\prod^{n-1}_{m=1}(1+y_m)^{2m}\prod^{N-1}_{m=n+1}(1+y_m)^{2n}=1,
\quad
n=1,\ldots,N-1.
\label{TBA-SGbr-epsilon0-eqs}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$Y$"=система}

Эту систему можно переписать в виде
\eq$$
y_n^{-2}=(1+y_{n-1}^{-1})(1+y_{n+1}^{-1})\quad(1\le n\le N-1),
\quad
y_0^{-1}=0,
\quad
y_N=y_{N-1}.
\label{TBA-SGbr-ysys}
$$
\pause
Системы неэквивалентны, но единственное положительное решение этой системы совпадает с единственным положительным решением предыдущей системы.
\pause

\begin{thm}[об $Y$"=системе]

Система
\vspace{-4pt}
\eq$$
y_n^{-2}=(1+y_{n-1}^{-1})(1+y_{n+1}^{-1})\quad(1\le n\le l-1),
\quad
y_0^{-1}=y_l^{-1}=0,
\label{TBA-ysys-long}
$$
\vspace{-8pt}

имеет единственное положительное решение, и
\vspace{-4pt}
\eq$$
-{6\over\pi^2}\sum^{l-1}_{n=1}\rL(-y_n)=2-{6\over l+2}
\label{TBA-sumL-ysys}
$$

\end{thm}
\pause

Полагая $l=2N-1$, находим
\eq$$
\smash{c^N_\eff=-{6\over\pi^2}\sum^{N-1}_{n=1}\rL(-y_n)=1-{3\over2N+1},}
\label{ceff-ribbon}
$$
\pause
\vspace{-4pt}

что совпадает с эффективными центральными зарядами минимальных моделей $M(2,2N+1)$~с
$$
c=1-\smash{3(2N-1)^2\over2N+1},
\qquad
\Delta_\tmin=\Delta_{1N}=-\smash{N(N-1)\over2(2N+1)}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Следующие члены в разложении $f(r)$}

Пусть $\epsilon(\theta_R+\theta)=\tilde\epsilon(\theta)+\delta\epsilon(\theta)$.
\pause
Тогда уравнение Янга"--~Янга имеет вид
$$
\tilde\epsilon(\theta)+\delta\epsilon(\theta)
-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta')-\delta\epsilon(\theta')})
=e^\theta+\left(\textstyle{mR\over2}\right)^2e^{-\theta}.
$$
\pause
В окрестности правого «кинка» разложим уравнение по $\delta\epsilon$. Получаем
\eq$$
\delta\epsilon(\theta)=\left(mR\over2\right)^2\psi_-(\theta),
\quad
\psi_\pm(\theta)-\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta'){\psi_\pm(\theta')\over e^{\tilde\epsilon(\theta')}-\sigma}=e^{\pm\theta}
\label{TBA-psi-eq}
$$
\pause
Уравнение для $\psi_+(\theta)$ получается дифференцированием уравнения для $\tilde\epsilon(\theta)$ по $\theta$. Следовательно
\eq$$
\psi_+(\theta)=\tilde\epsilon'(\theta).
\label{TBA-psi+-fin}
$$
\pause
Теперь подставим $\tilde\epsilon+\delta\epsilon$ вместо $\tilde\epsilon$ в выражение для $f(r)$:
$$
f(r)=2\sigma\int{d\theta\over2\pi}\,e^\theta\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta)-\delta\epsilon(\theta)})
=f(0)+{r^2\over2}\int{d\theta\over2\pi}\,{e^\theta\psi_-(\theta)\over e^{\tilde\epsilon(\theta)}-\sigma}.
$$
\pause
Мы видим, что $f'(0)=0$, а
$$
f''(0)=\int{d\theta\over2\pi}\,{e^\theta\psi_-(\theta)\over e^{\tilde\epsilon(\theta)}-\sigma}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Вычисление $f''(0)$}

Подставляя $e^\theta$ через уравнение для $\psi_+$, находим
$$
f''(0)=\int{d\theta\over2\pi}\,{\psi_+(\theta)\psi_-(\theta)\over e^{\tilde\epsilon(\theta)}-\sigma}
-\int{d\theta\over2\pi}{d\theta'\over2\pi}\,{\phi'(\theta-\theta')\psi_+(\theta)\psi_-(\theta')
  \over(e^{\tilde\epsilon(\theta)}-\sigma)(e^{\tilde\epsilon(\theta')}-\sigma)}.
$$
\pause
Применяя уравнение для $\psi_-$, получаем
\eq$$
f''(0)=\int{d\theta\over2\pi}\,{e^{-\theta}\psi_+(\theta)\over e^{\tilde\epsilon(\theta)}-\sigma}
\pause
=\int{d\theta\over2\pi}\,{e^{-\theta}\tilde\epsilon'(\theta)\over e^{\tilde\epsilon(\theta)}-\sigma}
\pause
=-\int{d\theta\over2\pi}\,e^{-\theta}\tilde l'\tikz[overlay] \node (lprime) {\strut};(\theta).
\tikz[overlay,color=red]{\draw (.2,1) node[rectangle,draw] (ldef) {$\tilde l(\theta)=-\sigma\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta)})$};
\draw[->] (ldef) -> (lprime.north);}
\label{TBA-f''(0)-intexpression}
$$
Итак, интеграл определяется формой «кинка» на левом крае.
\pause
Его можно вычислить, если фаза имеет асимптотику
\eq$$
\phi(\theta)=\pi\nu+Ae^{-\theta}+o(e^{-\theta}),
\qquad
\theta\to\infty.
\label{logS-asymptotic}
$$
\pause
Тогда
\Multline*$$
Af''(0)=-Ae^{-\theta}\int{d\theta'\over2\pi}\,e^{\theta-\theta'}\tilde l'(\theta')
\uncover<7->{=\left.e^{-\theta}\int{d\theta'\over2\pi}\,(\phi(\theta-\theta')+\pi\nu)\tilde l'(\theta')\right|_{\theta\to-\infty}}
\\
\uncover<8->{=\left.e^{-\theta}
\left(\tikz[overlay,baseline=-2pt]\draw (-3pt,-6pt) node (dl) {};\epsilon_0\tikz[overlay,baseline=-2pt]\draw (0,6pt) node (ur) {};
\uncover<9->{\tikz[overlay,baseline=-2pt,color=red]{\draw[-] (dl) -- (ur); \draw (0,.3) node {$\tilde\epsilon(\theta)$};}}
+\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\tilde l(\theta')\right)\right|_{\theta\to-\infty}.}
$$
\pause\pause\pause
В силу сходимости интеграла в уравнении для $\tilde\epsilon(\theta)$ имеем {\red$\tilde\epsilon(\theta)-\epsilon_0=o(e^\theta)$} при $\theta\to-\infty$.
\pause
Поэтому
$$
Af''(0)=e^{-\theta}e^{\theta}=1.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Вычисление $\ve_\infty$}

\eq$$
f''(0)=A^{-1}=\lim_{\theta\to\infty}\left((\phi(\theta)-\pi\nu)e^\theta\right)^{-1}.
\label{TBA-f''(0)-fin}
$$
\pause
Отсюда мы можем получить плотность энергии в бесконечном объеме:
\eq$$
\ve_\infty=-{f''(0)m^2\over2}.
\label{veinf-fin}
$$
\pause
Для $S$"=матрицы первого бризера в модели синус"=Гордона $A=4\sin\pi p$.
\pause
Отсюда для модели sh"=Гордона ($-1<p<0$) имеем
\eq$$
\ve_\infty={m^2\over8\sin\pi(-p)},
\label{veinf-ShG}
$$
\pause
а для модели Ли"--~Янга
\eq$$
\ve_\infty=-{m^2\over4\sqrt3}.
\label{veinf-LY}
$$
\pause

Более тщательный анализ показывает, что выражение $f(r)-f(0)-{1\over2}f''(0)r^2$ действительно раскладывается по целым степеням $r^\alpha$ c некоторым показателем $\alpha>0$, что позволяет найти конформную размерность возмущающего оператора $\Delta_\pert=1-\alpha/2$. Вычисление коэффициента при первой поправке позволяет связать константу связи~$\lambda$ с массой частицы~$m$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар. Вычисление $\ve_\infty$ для нескольких сортов частиц}

Пусть у нас есть теория поля с двумя частицами с массами $m_1$ и $m_2=\kappa m_1>m_1$. Вторая частица является связанным состоянием двух первых в полюсе $S$"=матрицы $\theta=iu$, так что $\kappa=2\cos{\pi u\over2}$. Матрицы рассеяния диагональны. Задача состоит в том, чтобы выразить $\ve_\infty$ через асимптотики фаз $\phi_{ab}(\theta)$ и массы $m_a$.
\pause

1. Найдите общее выражение для $f''(0)$ через $\tilde\epsilon_a(\theta)$, считая, что $m_a=\kappa_am$.
\medskip

\uncover<2>{{\red\hrule}}
\pause
$$
f''(0)=\sum_a\kappa_aI_a,\text{ где }I_a=-\int{d\theta\over2\pi}\,e^{-\theta}\tilde l'_a(\theta).
$$
\pause

2. Найдите уравнение для $I_a$ через коэффициенты для асимптотик $\phi_{ab}(\theta)$.
\medskip

\uncover<4>{{\red\hrule}}
\pause
Положим
$$
\phi_{ab}(\theta)=\pi\nu_{ab}+A_{ab}e^{-\theta}+o(e^{-\theta})\text{ при }\theta\to+\infty.
$$
Тогда
$$
\sum_bA_{ab}I_b=\kappa_a.
$$
\pause
3. Проанализируйте вид асимптотик $S_{ab}(\theta)$, исходя из условий задачи, и найдите $f''(0)$.
\medskip

\uncover<6>{{\red\hrule}}
\pause
$$
A=A_{11}\pMatrix{1&\kappa\\\kappa&\kappa^2}\text{ или }A_{ab}=A_{11}\kappa_a\kappa_b
\ \Rightarrow\ f''(0)=A_{11}^{-1},\ \epsilon_\infty=-{m_1^2\over2A_{11}}.
$$

\end{frame}

\end{document}
