% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathtools,cancel,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes,decorations.markings,decorations.pathreplacing}
\usetikzlibrary{arrows.meta,shapes.geometric}
\tikzset{>={Stealth[length=1mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}}
\def\Res{\mathop{\rm Res}}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\id{\mathinner{\rm id}}
\def\cC{{\mathcal C}}
\def\cD{{\mathcal D}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cO{{\mathcal O}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\fkz{{\mathfrak z}}
\def\bfkz{{\bar\fkz}}
\def\rL{{\mathrm L}}

\def\eff{{\text{eff}}}
\def\pert{{\text{p}}}
\def\phys{{\text{phys}}}
\def\Lcyl{{\mathbb L}}
\def\bbT{{\mathbb T}}
\def\vac{{\text{vac}}}
\def\tmin{{\text{min}}}
\def\tmax{{\text{max}}}
\def\sumprime{\mathop{\sum\nolimits'}}
\def\smashop#1{\mathop{\smash{#1}}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}
\def\crosscolon{\substack{\scriptscriptstyle\times\\\scriptscriptstyle\times}}
\def\lcrosscolon{\mathopen{\,\crosscolon}}
\def\rcrosscolon{\mathclose{\crosscolon\,}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\newtheorem{thm}{Теорема}

\begin{document}

\title[Лекция 13. Конформная теория возмущений]{Лекция 13.\\Конформная теория возмущений}
\author{Михаил Лашкевич}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Операторные разложения в конформной теории поля}

Рассмотрим конформную теорию поля, определенную набором операторов $\cO_I(x)$ с фиксированными конформными размерностями
$$
\cL_0\cO_I(x)=\Delta_I\cO_I(x),
\quad
\bar\cL_0\cO_I(x)=\bar\Delta_I\cO_I(x),
$$
\pause
и операцией вычисления среднего значения $\langle\cdots\rangle_0$.
\pause
Будем считать, что единственный оператор с ненулевым средним "--- это единичный оператор $1=\cO_0(x)$:
$$
\langle\cO_I(x)\rangle_0=0\ (I\ne0),
\quad
\langle1\rangle_0=1.
$$
\pause

Произведение двух операторов можно разложить по локальным операторам:
\eq$$
\cO_I(x)\cO_J(0)
=\sum_K\cC^K_{IJ}(x)\cO_K(0).
\label{CFT-OI-OPE}
$$
\pause
\emph{Структурные функции} $C^K_{IJ}(x)$ в конформной теории поля имеют простой вид
\eq$$
\cC^K_{IJ}(x)=\cC^K_{IJ}z^{\Delta_K-\Delta_I-\Delta_J}\bz^{\bar\Delta_K-\bar\Delta_I-\bar\Delta_J}.
\label{CKIJ-CFT}
$$
\pause
Набор конформных размерностей и \emph{структурных констант} полностью задает теорию.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Вычисление корреляционных функций через структурные функции}

Применим операторные разложения к вычислению корреляционных функций:
\Multline$$
\langle\cO_{I_N}(x_N)\cdots\cO_{I_1}(x_1)\rangle_0
\\
=\sum_{J_1,\ldots,J_{N-2}}\cC^0_{I_NJ_{N-2}}(x_N-x_1)\cdots\cC^{J_2}_{I_3J_1}(x_3-x_1)\cC^{J_1}_{I_2I_1}(x_2-x_1)
\label{CFT-Npoint-corrfun}
$$
при условии
\eq$$
|x_N-x_1|>\cdots>|x_3-x_1|>|x_2-x_1|.
\label{xi-Torder}
$$
\pause
Ограничимся корреляционными функциями \emph{квазипримарных операторов}, то есть операторов, удовлетворяющих условию
\eq$$
\cL_1\cO_I(x)=\bar\cL_1\cO_I(x)=0.
\label{CFT-quasiprimary}
$$
\pause
Остальные оператор являются потомками вида $\cL_{-1}^k\bar\cL_{-1}^l\cO_I(x)=\d^k\bd^l\cO_I(x)$. Корреляционные функции потомков являются производными корреляционных функций квазипримарных операторов. Отношение структурных констант потомка к структурным константам квазипримарного оператора полностью определяется конформными размерностями.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Сопряженный оператор и оператор на бесконечности}

На квазипримарных операторах можно определить «метрику» $G_{IJ}=\cC^0_{IJ}$, причем $G_{IJ}=0$, если $\Delta_I\ne\Delta_J$ или $\bar\Delta_I\ne\bar\Delta_J$.
\pause
Определим также числа $G^{IJ}$ как элементы матрицы $(G^{-1})^t$.
\pause
Введем сопряженный оператор
\eq$$
\cO^I(x)=\sumprime_JG^{IJ}\cO_J(x),
\label{OsuperI-def}
$$
где штрих обозначает суммирование по квазипримарным операторам.
\pause
Тогда
\eq$$
\langle\cO^I(x)\cO_J(0)\rangle_0=\delta^I_Jz^{-2\Delta_I}\bz^{-2\bar\Delta_I}.
\label{CFT-cO-2p-corrfun}
$$
\pause
Определим также оператор в бесконечно удаленной точке:
\eq$$
\cO^I(\infty)=\lim_{x\to\infty}z^{2\Delta_I}\bz^{2\bar\Delta_I}\cO^I(x).
\label{cO-infty}
$$
\pause
Имеем
\eq$$
\langle\cO^I(\infty)\cO_J(0)\rangle_0=\delta^I_J.
\label{CFT-cO-infty-0-corrfun}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Возмущение конформной теории поля}

Пусть у нас есть конформная теория поля с формальным действием $\cS_0$. Рассмотрим возмущенную теорию с действием
\eq$$
\cS=\cS_0+\cS_\pert=\cS_0+\lambda\int d^2x\,\Phi_\pert(x),
\label{Spert-rep}
$$
\vspace{-8pt}

где $\Phi_\pert$ "--- бесспиновый локальный оператор с конформной размерностью $\Delta_\pert<1$.
\pause
Это значит, что корреляционные функции $\langle\cdots\rangle$ определены через корреляционные функции конформной теории $\langle\cdots\rangle_0$ так:
\eq$$
\langle\cO_{I_N}(x_N)\cdots\cO_{I_1}(x_1)\rangle
={\langle\cO_{I_N}(x_N)\cdots\cO_{I_1}(x_1)e^{-\lambda\cS_\pert}\rangle_0\over\langle e^{-\lambda\cS_\pert}\rangle_0}.
\label{PCFT-corrfun}
$$
\pause
Один из эффектов возмущения состоит в появлении ненулевых средних у бесспиновых операторов. Из размерных соображений получаем
\eq$$
\langle\cO_I(x)\rangle=
\uncover<3>{\rlap{\red\vrule height 8pt depth 4pt width 1pt}}
\pause
G_I\lambda^{\Delta_I\over1-\Delta_\pert},
\text{ если $\bar\Delta_I=\Delta_I$,}
\label{VEV-genform}
$$
где $G_I$ "--- безразмерная константа.
\pause
Поэтому корреляционная функция
\vspace{-4pt}
\Multline$$
\langle\cO_{I_N}(x_N)\cdots\cO_{I_1}(x_1)\rangle
\\
=\!\!\sum_{J_1,\ldots,J_{N-1}}\!\!\!C^{J_{N-1}}_{I_NJ_{N-2}}(x_N-x_1)\cdots C^{J_2}_{I_3J_1}(x_3-x_1)C^{J_1}_{I_2I_1}(x_2-x_1)
\langle\cO_{J_{N-1}}\rangle
\label{Npoint-corrfun}
$$
\vspace{-8pt}

уже не будет целой функцией параметра~$\lambda$.
\pause

Важный факт состоит в том, что \emph{структурные функции $C^K_{IJ}(x)$ не совпадают со структурными функциями конформной теории поля}.
\pause
Дело в том, что интегрирование в $\cS_\pert$ по всей плоскости \emph{изменяет порядок следования операторов в разложении}, вставляя в «промежутки»~$\Phi_\pert$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Расходимости в возмущенной теории}

Возмущение приводит к двум типам расходимости:
\begin{enumerate}

\item\emph{Ультрафиолетовые расходимости} происходят от окрестностей операторов в произведениях вида
$$
\cO_I(x)\int d^2y_1\cdots d^2y_n\,\Phi_\pert(y_n)\cdots\Phi_\pert(y_1).
$$
\pause
Они будут сокращаться вычитаниями операторов, возникающих в разложениях ультафиолетово"=расходящихся произведений:
$$
\cO_I(x)\to\cO_I(x)-\sum_K a_K\cO_K(x),
$$
где $a_K$ некоторые расходящиеся коэффициенты.
\pause

\item\emph{Инфракрасные расходимости} неизбежны в теории возмущений для корреляционных функций в окрестности бесконечно удаленной точки.
\pause
Тем не менее, они будут \emph{сокращаться в структурных функциях}.

\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Нормировочная матрица}

Вычислим матрицу
\eq$$
\cD^I_J=\langle\cO^I(\infty)\cO_J(0)\rangle
\label{cD-def}
$$
\pause
Введем обрезку $r_0$ на малых расстояниях и $R$ на больших расстояниях:
\eq$$
\cD^I_J(R,r_0)=\sum^\infty_{n=0}{(-\lambda)^n\over n!}\int\limits_{\mathclap{r_0\le|y_i|\le R}}d^2y_1\cdots d^2y_n\,
\langle\cO^I(\infty)\Phi_\pert(y_n)\cdots\Phi_\pert(y_1)\cO_J(0)\rangle_0.
\label{cD-perttheory}
$$
\pause
Чтобы эти величины были ненулевыми операторы должны иметь одинаковый спин:
\vspace{-4pt}
\eq$$
\Delta_I-\bar\Delta_I=\Delta_J-\bar\Delta_J.
\label{cD-spinconserv}
$$
\pause
Рассмотрим первый порядок теории возмущений ($n=1$).
\pause
Имеем
\Multline$$
\langle\cO^I(\infty)\Phi_\pert(y_1)\cO_J(0)\rangle_0
=\smashop{\sum_K}\cC^K_{\pert J}\langle\cO^I(\infty)\cO_K(0)\rangle_0|w_1|^{2\Delta_I-2\Delta_\pert-2\Delta_J}
\\
=\cC^I_{\pert J}|w_1|^{2\Delta_I-2\Delta_\pert-2\Delta_J}.
\label{CFT-pertJ-OPE}
$$
\pause
Отсюда получаем
$$
\cD^{(1)}{}^I_J=
\only<6>{\rlap{\red\vrule height 8pt depth 4pt width 1pt}}
\pause
-\lambda\cC^I_{\pert J}\int d^2y_1\,|y_1|^{2(\Delta_I-\Delta_\pert-\Delta_J)}
=-\smash{\pi\lambda\cC^I_{\pert J}\over d_{IJ}}
\left(R^{2d_{IJ}}-r_0^{2d_{IJ}}\right),
$$
где
\eq$$
d_{IJ}=\Delta_I-\Delta_J+1-\Delta_\pert.
\label{dIJ-def}
$$
\pause
При $d_{IJ}\le0$, то есть при
\eq$$
\Delta_I\le\Delta_J-(1-\Delta_\pert).
\label{DeltaIlim-n=1}
$$
интеграл \emph{ультрафиолетово расходится}.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Сокращение ультрафиолетовой расходимости}

Итак,
$$
\cD^I_J=\delta^I_J-\smash{\pi\lambda\cC^I_{\pert J}\over d_{IJ}}
\left(R^{2d_{IJ}}-r_0^{2d_{IJ}}\right)+O(\lambda^2).
$$
\pause
Определим новый оператор
\eq$$
O_J(x)=\cO_J(x)-\sum_{I,\ d_{IJ}<0}
\smash{\pi\lambda\cC^I_{\pert J}\over d_{IJ}}\cO_I(x)r_0^{2d_{IJ}}+O(\lambda^2).
\label{OJ(1)-renorm}
$$
Сумма в правой части сократит расходимость от вклада первого порядка.
\pause
Тогда матрица
\eq$$
D^I_J(R)=\langle\cO^I(\infty)O_J(0)\rangle=
\uncover<3>{\rlap{\red\vrule height 8pt depth 4pt width 1pt}}
\pause
\cD^I_J-\smash{\pi\lambda\cC^I_{\pert J}\over d_{IJ}}r_0^{2d_{IJ}}+O(\lambda^2)
\pause
=\delta^I_J-\smash{\pi\lambda\cC^I_{\pert J}\over d_{IJ}}R^{2d_{IJ}}+O(\lambda^2)
\label{DIJ-n=1}
$$
не зависит от~$r_0$ и конечна при $r_0\to0$.
\pause

В \emph{$n$м порядке} по теории возмущений ультрафиолетовая расходимость имеется, если
\eq$$
d^{(n)}_{IJ}\equiv\Delta_I-\Delta_J+n(1-\Delta_\pert)\le0.
\label{DeltaIlim}
$$
\pause
Поэтому ультрафиолетовая перенормировка оператора $\cO_J$ имеет вид
\eq$$
O_J(x)=\smashop{\sum_I}U^I_J(r_0)\cO_I(x),
\quad
U^I_J(r_0)=\delta^I_J+\smashop{\sum^\infty_{n=1}}\lambda^nU^{(n)}{}^I_Jr_0^{2d^{(n)}_{IJ}},
\label{OJ-def}
$$
причем $U^{(n)}{}^I_J=0$, если $d^{(n)}_{IJ}>0$.
\pause
Матрица
\eq$$
D^I_J(R)=\langle\cO^I(x)O_J(0)\rangle=\smashop{\sum_I}U^K_J(r_0)\cD^I_K(R,r_0)
\label{DIJ-def}
$$
не зависит от~$r_0$ и может содержать только инфракрасную расходимость.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Операторный резонанс}

Тонкий момент возникает, если имеется оператор $\cO_I$, удовлетворяющий \emph{условию резонанса}
\eq$$
d^{(n)}_{IJ}=0
\quad\Leftrightarrow\quad
\Delta_I=\Delta_J-n(1-\Delta_\pert).
\label{DeltaI-resonance}
$$
\only<1>{{\red\hrule}}
%\uncover<1>{\vbox to 0pt{\red\hrule width\textwidth\vss}}
\pause
В этом случае $\cD^I_J$ содержит слагаемое $2C\log{r_0\over R}$ с некоторой константой $C$.
\pause
Соответственно, оператор $\cO_I$ должен быть перенормирован так:
\eq$$
O_J=\cO_J-2C\cO_I\log\mu r_0,
\label{OJ-resonance}
$$
где $\mu$ "--- произвольный параметр \emph{размерности массы}.
\pause
Это означает, что определение оператора $O_J$ не зависит от выбора размерного параметра.
\pause

Если в теории есть \emph{непрерывный параметр} (модели или поля), корреляционные функции оператора $O_I(x)$ имеют \emph{полюс} в точке, где $d^{(n)}_{IJ}(u_0)=0$, с вычетом
\eq$$
\Res_{d^{(n)}_{IJ}=0}\langle O_J(x)X\rangle=C\langle O_I(x)X\rangle.
\label{resonance-id}
$$
\pause
Перенормированный оператор $O_J$ непосредственно в точке $d^{(n)}_{IJ}=0$ определяется вычитанием этого полюсного члена:
\eq$$
\langle O_J(x)X\rangle_{d^{(n)}_{IJ}=0}=\lim_{d^{(n)}_{IJ}\to0}\left(\langle O_J(x)X\rangle-{C\over d^{(n)}_{IJ}}\langle O_IX\rangle\right).
\label{OJ-resonance-Res}
$$
\pause
Ясно, что оператор $O'_J=O_J+\alpha O_I$ с конечным $\alpha$ ничуть не хуже.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Трехточечные функции и структурные функции}

Рассмотрим трехточечную функцию
\Multline$$
G^K_{IJ}(x,R)=\langle\cO^K(\infty)O_I(x)O_J(0)\rangle
\\
=\smashop{\sum^\infty_{n=0}}{(-\lambda)^n\over n!}
\smashop{\int\limits_{|y_i|\le R}}d^2y_1\cdots d^2y_n\,\langle\cO^K(\infty)\Phi_\pert(y_n)\cdots\Phi_\pert(y_1)O_I(x)O_J(0)\rangle_0.
\label{PCFT-3p-corrfun}
$$
\pause

С другой стороны,
\eq$$
G^K_{IJ}(x,R)=\smashop{\sum_LC^L_{IJ}}(x)\langle\cO^K(\infty)O_L(0)\rangle
=\smashop{\sumprime_L}C^L_{IJ}(x)D^K_L(R).
\label{PCFT-3p-decomp}
$$
\pause
Иными словами
\eq$$
C^K_{IJ}(x)=\smashop{\sumprime_L}(D^{-1})^K_L(R)G^L_{IJ}(x,R).
\label{PCFT-CKIJ}
$$
\pause
Инфракрасная расходимость связана с операторными разложениями возмущения с оператором $\cO^K(\infty)$, а структурные функции относятся только к операторам вблизи точки $0$, поэтому \emph{структурные функции не содержат инфракрасных расходимостей.}
\pause
Проверим это в первом порядке по теории возмущений.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Структурные функции в первом порядке теории возмущений}

Имеется две области интегрирования:
$$
\begin{tikzpicture}[scale=.5]
\draw[fill] (0,0) node[above right=-2pt] {\tiny$0$} circle (2pt);
\draw[dashed] (0,0) circle (1.3); \draw[fill] (1.3,0) node[above right=-2pt] {\tiny$x$} circle (2pt);
\draw[-] (0,0) circle (3);
\draw[->] (0,0) -- node[pos=.7,sloped,above] {$R$} (160:3);
\draw (4,1.5) node[right,scale=.8] (inner) {$\displaystyle\langle\cO^K(\infty)\cO_I(x)\Phi_\pert(y_1)\cO_J(0)\rangle_0
  =\smashop{\sumprime_L}\cC^K_{IL}(x)\cC^L_{\pert J}|y_1|^{2d_{LJ}-2}$};
\draw[->] (inner) to[out=180,in=50] (70:.7);
\draw (4,-1.5) node[right,scale=.8] (outer) {$\displaystyle\langle\cO^K(\infty)\Phi_\pert(y_1)\cO_I(x)\cO_J(0)\rangle_0
  =\smashop{\sumprime_L}\cC^K_{\pert L}\cC^L_{IJ}(x)|y_1|^{2d_{KL}-2}$};
\draw[->] (outer) to[out=180,in=-10] (-40:2.2);
\end{tikzpicture}
$$
\uncover<1>{{\red\hrule}}
\pause
\vspace{-16pt}
\Multline*$$
G^K_{IJ}(x,R)=\cC^K_{IJ}(x)-\lambda\int_{|x|<|y_1|<R}d^2y_1\,\sumprime_L\cC^K_{\pert L}\cC^L_{IJ}(x)|y_1|^{2d_{KL}-2}
\\
-\lambda\int_{|y_1|<|x|}d^2y_1\,\sumprime_L\cC^K_{IL}(x)\cC^L_{\pert J}|y_1|^{2d_{LJ}-2}
+(\text{УФ"=контрчлены})+O(\lambda^2)
\\
\uncover<3->{=\cC^K_{IJ}(x)
-\pi\lambda\sumprime_L\left({\cC^K_{\pert L}\cC^L_{IJ}(x)\over d_{KL}}({\red R^{2d_{KL}}}-|x|^{2d_{KL}})
  +{\cC^K_{IL}(x)\cC^L_{\pert J}\over d_{LJ}}|x|^{2d_{LJ}}\right)+O(\lambda^2).}
$$
\pause\pause
С другой стороны
$$
(D^{-1})^K_L=\delta^K_L+\smash{\pi\lambda\cC^K_{\pert L}\over d_{KL}}{\red R^{2d_{KL}}}+O(\lambda^2).
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Структурные функции в первом порядке теории возмущений}

Инфракрасная расходимость сокращается и мы получаем
\Align$$
C^K_{IJ}(x)
&=\cC^K_{IJ}(x)+\pi\lambda\sumprime_L\left({\cC^K_{\pert L}\cC^L_{IJ}(x)\over d_{KL}}|x|^{2d_{KL}}
  -{\cC^K_{IL}(x)\cC^L_{\pert J}\over d_{LJ}}|x|^{2d_{LJ}}\right)+O(\lambda^2)
\notag
\\
&\uncover<2->{=z^{d_{K,IJ}}\bz^{\bar d_{K,IJ}}
\left(\cC^K_{IJ}+\pi t\sumprime_L\left({\cC^K_{\pert L}\cC^L_{IJ}\over d_{KL}}
    -{\cC^K_{IL}\cC^L_{\pert J}\over d_{LJ}}\right)
  +O(t^2)\right),}
\label{CKIJ-n=1}
$$
\pause
\vspace{-8pt}

где
\eq$$
t=\lambda|x|^{2-2\Delta_\pert},
\quad
d_{K,IJ}=\Delta_K-\Delta_I-\Delta_J.
\label{td-def}
$$
\pause

Так как структурные функции определяются рядом теории возмущений, ожидается, что они являются целыми функциями переменной~$t$:
\eq$$
C^K_{IJ}(x)=z^{d_{K,IJ}}\bz^{\bar d_{K,IJ}}\tilde C^K_{IJ}(t)
=z^{d_{K,IJ}}\bz^{\bar d_{K,IJ}}\sum^\infty_{n=0}\tilde C^{(n)}{}^K_{IJ}t^n.
\label{C-cC-genrel}
$$
\pause
Вместе с существенно непертурбативными вакуумными средними
\eq$$
\langle\cO_I(x)\rangle=G_I\lambda^{\Delta_I\over1-\Delta_\pert},
\text{ если $\bar\Delta_I=\Delta_I$,}
\tag{\ref{VEV-genform}}
$$
структурные функции однозначно определяют корреляционные функции.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Вакуумные средние}

Что такое вакуумные средние. Пусть $O_I$ "--- оператор нулевого спина. Тогда на малых расстояниях его парная корреляционная функция описывается конформной теорией поля:
\eq$$
\langle O^I(x)O_I(0)\rangle=|x|^{-4\Delta_I}+\cdots,
\qquad
|x|\to0.
\label{OIOI-smalldist}
$$
Использует это в качестве условия нормировки.
\pause

С другой стороны на больших расстояниях корреляционная функция расщепляется
\eq$$
\langle O^I(x)O_I(0)\rangle\to\langle O^I(x)\rangle\langle O_I(0)\rangle
=\langle O_I(0)\rangle\sumprime_JG^{IJ}\langle O_J(0)\rangle,
\qquad
|x|\to\infty.
\label{OIOI-largedist}
$$
Именно входящие в правую часть множители $\langle O_I\rangle$ при условии фиксированной нормировки на малых расстояниях мы и будем понимать под вакуумными средними.
\pause

Для вычисления вакуумных средних мы не знаем общих методов. Большинство известных ответов угадано на основе разнообразных бутстрапных соображений. Тем не менее, я приведу несколько примеров, где ответ можно получить явно.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Вакуумные средние тензора энергии"=импульса}

В прошлый раз мы показали, что энергия системы длины $R$ имеет вклад $-\ve_\infty R$. Значит
$$
-\ve_\infty=\langle T_{22}\rangle=\langle2T_{z\bz}-T_{zz}-T_{\bz\bz}\rangle=2\langle T_{z\bz}\rangle=-\smash{1\over\pi}\langle\Theta\rangle.
$$
\pause
То есть,
\eq$$
\langle\Theta\rangle=\pi\ve_\infty,
\qquad
\langle\Phi_\pert\rangle=-\smash{\ve_\infty\over\lambda(1-\Delta_\pert)}.
\label{Theta-VEV-veinf}
$$
Последнее равенство верно, если вклады высших порядков в $\Theta$ равны нулю.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Вакуумные средние тензора энергии"=импульса}

Другой интересный пример: оператор $T\bar T$.
\pause
Вне конформной точки это произведение требует регуляризации и перенормировки. Положим
\Multline$$
\textstyle
(T\bar T)_\ve(x)=\smash{1\over2}T(x+\ve)\bar T(x)+\smash{1\over2}\bar T(x+\ve)T(x)-\Theta(x+\ve)\Theta(x)
\\
\textstyle
=-\smash{\pi^2\over2}\epsilon^{\mu\kappa}\epsilon^{\nu\lambda}T_{\mu\nu}(x+\ve)T_{\kappa\lambda}(x).
\label{TbarT-ve-def}
$$
\pause
Нетрудно показать, что
\eq$$
\smash{\d\over\d\ve^\mu}(T\bar T)_\ve(x)=\d_\nu J^\nu_\mu(x,\ve),
\quad
J^\nu_\mu(x,\ve)
=\smash{\pi^2\over2}\epsilon_{\mu\rho}\epsilon_{\kappa\lambda}T^{\kappa\rho}(x+\ve)T^{\lambda\nu}(x).
\label{TbarT-ve-derivs}
$$
\pause
Значит можно определить независящий от $\ve$ оператор $\only<5,6>\red(T\bar T)(x)$ и ток $J^\mu_\ve(x)$, что
\eq$$
(T\bar T)_\ve(x)={\only<5,6>\red(T\bar T)(x)}+\d_\mu J^\mu(x,\ve),
\quad
J^\mu(x,\ve)=\int^\ve d\xi^\nu\,J^\mu_\nu(x,\ve).
\label{TbarT-def}
$$
Последний интеграл не зависти от траектории интегрирования.
\pause
Можно думать, что $\only<6>\red(T\bar T)(x)$ есть регуляризация оператора $\only<6>\red-\pi^2\det T$.
\pause
Из (\ref{TbarT-ve-def}) немедленно получаем
\eq$$
{\d\over\d\ve^\mu}\langle(T\bar T)_\ve(x)\rangle=0.
\label{TbarT-VEV-veindep}
$$
\pause
Поэтому для вычисления среднего мы можем использовать предел $\ve\to\infty$:
\eq$$
\langle T\bar T\rangle=\langle(T\bar T)_\ve(x)\rangle\mathrel{\mathop=\limits_{\ve\to\infty}}-\langle\Theta\tikz[overlay] \node (theta) {};\rangle^2.
\tikz[overlay,baseline=-2pt,color=red] {\draw (.5,-.5) node[right,rectangle,draw] (thetavac) {$\langle\Theta\rangle=\pi\ve_\infty$};
  \draw[->] (thetavac.west) to[out=180,in=-45] (theta.south);}
\label{TbarT-VEV}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Вакуумные средние экспоненциальных и примарных операторов}

Для справки приведу формулы для вакуумных средних в модели синус"=Гордона и $\Phi_{13}$"=возмущенных минимальных моделей.
\pause
Для экспоненциальных операторов в модели синус"=Гордона имеем
\eq$$
\langle e^{i\alpha\phi}\rangle
=M^{\alpha^2}
\exp\int^\infty_0{dt\over t}\left({\sh^2(\alpha\sqrt{2p(p+1)}t)\over2\sh t\sh pt\sh(p+1)t}-\alpha^2e^{-2(p+1)t}\right),
\label{SG-VEV-exp}
$$
\pause
где параметр $M$ связан с массой кинка $m_\text{kink}$ и с константой связи $\mu$ формулой
\eq$$
M={\sqrt\pi\over2}{\Gamma\left(1+p\over2\right)\over\Gamma\left(p\over2\right)}m_\text{kink}
=\left({\pi\over2}{\Gamma\left(1\over p+1\right)\over\Gamma\left(p\over p+1\right)}\mu\right)^{p+1\over2}.
\label{SG-mu-m-relation}
$$
\pause
В $\Phi_{13}$"=возмущении минимальной модели $M(P,P')$ имеется $P-1$ вакуумное состояние и вакуумное среднее зависит от этого состояния:
\eq$$
\langle\Phi_{mn}\rangle_s=M^{2\Delta_{mn}}{\sin{\pi s\over P}|P'm-Pn|\over\sin{\pi s\over P}(P'-P)}Q\left(P'm-Pn\over P'-P\right),
\quad
s=1,\ldots,P-1,
\label{Phimn-VEV}
$$
\pause
где
\eq$$
Q(\eta)=\exp\int^\infty_0{dt\over t}\,\left({\ch2t\sh t(\eta-1)\sh t(\eta+1)\over\ch t\sh tp\sh t(p+1)}-{\eta^2-1\over2p(p+1)}e^{-4t}\right),
\quad
p={P\over P'-P}.
\label{Phimn-Q-def}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Ли"--~Янга}

Рассмотрим модель Ли"--~Янга $M(2,5)$. В ней имеется всего два примарных поля $\Phi_{11}=1$ и $\Phi_{12}=\varphi=\Phi_\pert$ размерности $\Delta_\varphi=-{1\over5}$.
\pause
Массивной теории отвечает мнимая константа связи $\lambda=ih$, причем
\eq$$
h=\alpha m^{\only<2>{\rlap{\red\tiny??}\phantom{12/5}}\only<3->{12/5}},
\quad
\uncover<3->{\alpha=0.0970\ldots}
\label{LY-hm-rel}
$$
\pause\pause
Нас будет интересовать корреляционная функция $G(x)=\langle\varphi(x)\varphi(0)\rangle$.
\pause
В конформной теории поля имеется операторное разложение
\eq$$
\varphi(x)\varphi(0)=|x|^{4/5}\left(1+{|x|^4\over121}T\bar T(0)+O(|x|^12)\right)
+|x|^{2/5}\cC^\varphi_{\varphi\varphi}\left(\varphi(0)+O(|x|^8)\right),
\label{LY-CFT-vphi-OPE}
$$
\pause
где
\eq$$
\cC^\varphi_{\varphi\varphi}=i\kappa={i\over2}\gamma^{3/2}\left(1\over5\right)\gamma^{1/2}\left(2\over5\right),
\qquad
\gamma(x)={\Gamma(x)\over\Gamma(1-x)}.
\label{LY-cCppp}
$$
\pause
Вакуумные средние равны
\eq$$
\langle\varphi\rangle=\only<7>{\rlap{\red??}\phantom{5im^2\over24\sqrt3h}}\only<8->{{5im^2\over24\sqrt3h}},
\qquad
\langle T\bar T\rangle=\only<7>{\rlap{\red??}\phantom{{}-{\pi^2m^4\over48}}}\only<8->{-{\pi^2m^4\over48}}.
\label{LY-VEVs}
$$
\pause\pause
Константы $C^1_{\varphi\varphi}(x)$ можно получить аналитически из интеграла:
\Multline$$
C^1_{\varphi\varphi}(x)=|x|^{4/5}+\kappa h\smash{\pi\gamma^2(1/5)\over14^2\gamma(2/5)}|x|^{16/5}+O(|x|^{28/5})
\\
=|x|^{4/5}(1+0.0310\ldots\times(m|x|)^{12/5}+O(|x|^{24/5})).
\label{LY-C1pp-fin}
$$
\pause
В случае $C^\varphi_{\varphi\varphi}$ интеграл приходится брать численно:
\eq$$
C^\varphi_{\varphi\varphi}(r)=i\kappa|x|^{2/5}(1+0.0212\ldots\times(mr)^{12/5}+O(|x|^{24/5})).
\label{LY-Cppp-fin}
$$




\end{frame}

\end{document}
