% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathtools,cancel,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
%\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
\usetikzlibrary{intersections}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cN{{\cal N}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}

\def\phys{{\text{phys}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}


\begin{document}

\title{Семинары~1--2.\\Интегралы по траекториям. Введение}
\date{}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Математическое введение. Учимся брать гауссовы интегралы}

{\bf Задача~1.} Найдите интеграл
\eq$$
\int^\infty_{-\infty}dx\,e^{-{kx^2\over2}}=
\pause
\sqrt{2\pi\over k}.
\label{GI-1d}
$$
\pause

{\bf Задача~2.} Найдите интеграл
\eq$$
\int^\infty_{-\infty}dx\,e^{-{kx^2\over2}+vx}=
\pause
\sqrt{2\pi\over k}\,e^{v^2\over2k}.
\label{GI-1d-gen}
$$
\pause

{\bf Задача~3*.} Пусть $x\in\R^n$, а $K$ "--- симметричная матрица $n\times n$, $(a,b)=a^Tb=\sum^n_{i=1}a_ib_i$. Вычислите интеграл
\eq$$
\int_{\R^n}d^nx\,e^{-{1\over2}(x,Kx)}=
\pause
\sqrt{(2\pi)^n\over\det K}.
\label{GI-nd}
$$
\pause

{\bf Задач~4*.} Пусть также $v\in\R^n$. Вычислите интеграл
\eq$$
\int_{\R^n}d^nx\,e^{-{1\over2}(x,Kx)+(v,x)}=
\pause
\sqrt{(2\pi)^n\over\det K}\,e^{{1\over2}(v,K^{-1}v)}.
\label{GI-nd-gen}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Классическая механика. Принцип наименьшего действия}

Для простоты будем рассматривать задачу о движении частицы массы $m$ в одном пространственном измерении в потенциальном поле $U(x)$.
\pause

Пусть $x(t)$ "--- кривая, $t\in[t_A,t_B]$. Действием называется величина
\eq$$
S[x]=\int^{t_B}_{t_A}dt\,\left({m\dot x^2\over2}-U(x)\right).
\label{action}
$$
\pause
\begin{block}{Принцип наименьшего действия}
Рассмотрим все кривые $x(t)$, такие что $x(t_A)=x_A$, $x(t_B)=x_B$. Тогда закон движения частицы $X(t)$ из точки $A$ в точку $B$ доставляет действию локальный минимум:
$$
\exists\epsilon>0,\ \forall x,\ |x(t)-X(t)|<\epsilon\ (\forall t\in[t_A,t_B]):\ S[X]\le S[x].
$$
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Классическая механика. Принцип наименьшего действия}

Дискретизуем кривые. Пусть $x(t)$ представляет собой ломаную, соединяющую точки $(t_0,x_0)=(t_A,x_A)$, $(t_1,x_1)$, \dots~, $(t_N,x_N)=(t_B,x_B)$ с фиксированными промежуточными моментами времени $t_1,t_2,\ldots,t_{N-1}$. Тогда
\eq$$
S[x]\simeq S_\text{д}(\{t_i,x_i\})=\sum^{N-1}_{i=0}\left({m(x_{i+1}-x_i)^2\over2(t_{i+1}-t_i)}-U(x_i)(t_{i+1}-t_i)\right).
\label{action-discretized}
$$
\pause


{\bf Задача~5.} Найдите условие минимума дискретного действия $S_\text{д}$.
\pause

Получаем дискретную версию второго закона Ньютона:
$$
{m\over t_{i+1}-t_i}\left({x_{i+1}-x_i\over t_{i+1}-t_i}-{x_i-x_{i-1}\over t_i-t_{i-1}}\right)=-U'(x_i)
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Квантовая механика. Основные принципы}

\small
Пусть некоторый набор измерений позволяет полностью определить состояние системы. Будем называть такой набор измерений \emph{полным} и обозначим эти состояния~$A_i$.
\pause
\begin{enumerate}
\item Состояния $A_i$ образуют ортонормированный базис в унитарном векторном пространстве над $\C$: $(A_i,A_j)=\delta_{ij}$. Другой полный набор измерений дает набор состояний $B_i$, тоже образующий ортонормированный базис. Базисы связаны унитарным преобразованием
$$
A_i=\sum_ja(A_i,B_j)B_j.
$$
Если система находится в состоянии $A_i$, то вероятность ее немедленно найти в состоянии $B_j$ равна $|a(A_i,B_j)|^2$. Очевидно, $a(A_i,A_j)=\delta_{ij}$.
\pause
\item Пусть система, которая в момент времени $t_1$ находится в состоянии $A_i$, может перейти в момент времени $t_2$ в состояние $B_j$. Этому переходу отвечает комплексная \emph{амплитуда перехода} $a_{t_1t_2}(A_i,B_j)$. При этом $a_{tt}(A_i,B_j)=a(A_i,B_j)$ Вероятность найти систему в состоянии $B_j$ равна $|a_{t_1t_2}(A_i,B_j)|^2$. Соответственно,
\eq$$
\sum_j|a_{t_1t_2}(A_i,B_j)|^2=1.
\label{ta-norm}
$$
\pause
\item Композиция переходов. Пусть $t_1<t<t_2$. Тогда для амплитуд перехода выполняется правило:
\eq$$
a_{t_1t_2}(A_i,B_j)=\sum_ka_{t_1tt_2}(A_i,C_k,B_j)=\sum_ka_{t_1t}(A_i,C_k)a_{tt_2}(C_k,B_j).
\label{ta-composition}
$$
Иными словами: амплитуды последовательных переходов перемножаются, а амплитуды переходов через различные промежуточные состояния складываются.
\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Квантовая механика. Частица в одном измерении}

Рассмотрим частицу в одном пространственном измерении. В этом случай измерение координаты $x$ является полным измерением. При этом должно быть
\eq$$
a(x,x')=\delta(x-x').
\label{amp-norm}
$$
\pause

Для амплитуды перехода из состояния $x_A$ в состояние $x_B$ через промежуточные состояния $x(t)$ во все моменты времени постулируем:
\eq$$
a_{t_At_B}[x]=Z_{t_At_B}^{-1}e^{{i\over\hbar}S_{t_At_B}[x]}
\label{amp-action}
$$
с некоторым постоянным множителем $Z_{t_At_B}^{-1}$.
\pause

Действительно, амплитуда удовлетворяет условию перемножения. Пусть $t_A<t<t_B$. Тогда
\Multline$$
a_{t_At}[x]a_{tt_B}[x]=Z_{t_At}^{-1}e^{{i\over\hbar}S_{t_At}[x]}Z_{tt_B}^{-1}e^{{i\over\hbar}S_{tt_B}[x]}
\\
=Z_{t_At}^{-1}Z_{tt_B}^{-1}e^{{i\over\hbar}\left(S_{t_At}[x]+S_{tt_B}[x]\right)}
=Z_{t_At_B}^{-1}e^{{i\over\hbar}S_{t_At_B}[x]}=a_{t_At_B}[x].
\label{amp-mult}
$$
Заодно мы выяснили, что $Z_{t_At_B}=Z_{t_At}Z_{tt_B}$.
\pause

Как же найти постоянные $Z_{t_At_B}$ и суммарные амплитуды $a_{t_At_B}(x_A,x_B)$?

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Короткое время наблюдения}

Если время наблюдения $t_2-t_1$ очень короткое, мы можем думать, что частица движется почти по прямой. Тогда
\eq$$
a_{t_1t_2}(x_1,x_2)\simeq z_{t_1t_2}^{-1}e^{{i\over\hbar}\left({m(x_2-x_1)^2\over2(t_2-t_1)}-U(x_1)(t_2-t_1)\right)}
\simeq z_{t_1t_2}^{-1}e^{im(x_2-x_1)^2\over2\hbar(t_2-t_1)}.
\label{at1t2}
$$
Мы пренебрегли малым вкладом потенциальной энергии.
\pause

С другой стороны, должно быть
$$
a_{tt}(x_1,x_2)=a(x_1,x_2)=\delta(x_1-x_2).
$$
\pause
А значит,
\eq$$
\int^\infty_{-\infty}dx_2\,a_{tt}(x_1,x_2)=1.
\label{att-norm}
$$
Поэтому потребуем, чтобы при малых $t_2-t_1$ было
\eq$$
\int^\infty_{-\infty}dx_2\,a_{t_1t_2}(x_1,x_2)=1.
\label{at1t2-norm}
$$
\pause

{\bf Задача~5.} Из (\ref{at1t2-norm}) и~(\ref{at1t2}) найдите
\eq$$
z_{t_1t_2}=
\pause
\sqrt{2\pi i\hbar(t_2-t_1)\over m}.
\label{zt1t1}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Композиция двух амплитуд}

{\bf Задача~6.} Перемножьте две амплитуды и просуммируйте произведение по промежуточным состояниям
\eq$$
\int dx\,a_{t_1t}(x_1,x)a_{tt_2}(x,x_2)=
\pause
a_{t_1t_2}(x_1,x_2).
\label{at1t2-composition}
$$
\pause
Отсюда вытекает два следствия:
\pause
\begin{enumerate}

\item Для свободной частицы имеется точная формула
\eq$$
a_{t_At_B}(x_A,x_B)=\sqrt{m\over2\pi i\hbar(t_B-t_A)}\,e^{im(x_B-x_A)^2\over2\hbar(t_B-t_A)}.
\label{at1t2-free}
$$
\pause

\item Для общего случая мы можем рассмотреть предел
\eq$$
a_{t_At_B}(x_A,x_B)=\lim_{\substack{N\to\infty\\t_{i+1}-t_i\to0}}
\prod^{N-1}_{i=0}\sqrt{m\over2\pi i\hbar(t_{i+1}-t_i)}\>\int dx_1\,\cdots\,dx_{N-1}\,e^{{i\over\hbar}S_\text{д}(\{t_i,x_i\})}.
\label{atAtB-gen}
$$
\pause
Правую часть мы назовем \emph{интегралом по траекториям} или \emph{функциональным интегралом}:
\eq$$
a_{t_At_B}(x_A,x_B)=\int^{x(t_B)=x_B}_{x(t_A)=x_A}Dx\,e^{{i\over\hbar}S[x]}.
\label{atAtB-pathint}
$$

\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Свойства амплитуды перехода для свободной частицы}

Рассмотрим решение для свободной частицы. Пусть частицу испустили в момент времени $t_A=0$ в точке $x_A=0$. Тогда амплитуда перехода в точку $x$ в момент времени $t$ равна
\eq$$
G(t,x)=a_{0t}(0,x)=\sqrt{m\over2\pi i\hbar t}\,e^{imx^2\over2\hbar t}.
\label{G-def}
$$
\pause
Очевидно, что вероятность найти частицу в момент времени $t$ в точке $x$ пропорциональна
\eq$$
|G(t,x)|^2={m\over2\pi\hbar t}.
\label{G2}
$$
\pause
Но это значит, что найти частицу в любой точке пространства \emph{равновероятно}!!! Очевидно, мы чего"=то не учли. Любой прибор имеет некоторую погрешность.
\pause

{\bf Задача~7.} Предположим, прибор в начальный момент времени $t=0$ может зафиксировать частицу в одной из двух точек $l/2$ и $-l/2$. Найдите амплитуду
$$
\psi(t,x)={1\over\sqrt2}\bigl(G(t,x-l/2)+G(t,x+l/2)\bigr)=
\uncover<5->{\sqrt{m\over\pi i\hbar t}\,e^{im(x^2+l^2/4)\over2\hbar t}\cos{mlx\over2\hbar t}.}
$$
и величину, пропорциональную плотности вероятности:
$$
|\psi(t,x)|^2=
\uncover<5->{{m\over\pi\hbar t}\cos^2{mlx\over2\hbar t}.}
$$%
\pause\pause
Уже лучше, получилась \emph{интерференционная картина}. В некоторых точках, где фазы одинаковы, амплитуды усиливают друг друга. В других точках ослабляют.
\pause
Но вероятность все равно \emph{ненормируема}. Что делать?

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Свойства амплитуды перехода для свободной частицы}

Рассмотрим прибор, представляющий собой «щель» ширины $l$, то есть в момент времени $t=0$ он пропускает частицы только в интервале $[-l/2,l/2]$ причем амплитуда того, что он пропускает через любую точку этого интервала одинакова и равна $A$.
\pause
Отнормируем эту амплитуду так, чтобы полная вероятность была равна единице:
$$
\int^{l/2}_{-l/2}dx\,|A|^2=1\quad\Rightarrow\quad A={1\over\sqrt l}.
$$
(Мы приняли, что $A$ вещественное положительное число, но это условность.)
\pause

{\bf Задача~8.} Вычислите амплитуду того, что в момент времени $t\gg ml^2/\hbar$ частица будет в точке $x$:
\eq$$
\psi(t,x)={1\over\sqrt l}\int^{l/2}_{-l/2}dy\,G(t,x-y)=
\uncover<4->{
\sqrt{2\hbar t\over i\pi ml}\,{e^{imx^2\over2\hbar t}\over x}\sin{mlx\over2\hbar t}.
}
\label{psi-l}
$$%
\pause\pause

{\bf Задача~9.} Найдите плотность вероятности
\eq$$
|\psi(t,x)|^2=
\uncover<6->{
{2\hbar t\over\pi mlx^2}\sin^2{mlx\over2\hbar t}.
}
\label{psi2-l}
$$
и ее интеграл по всей прямой (доведите от интеграла, не содержащего параметров)
\eq$$
\int^\infty_{-\infty}dx\,|\psi(t,x)|^2=
\uncover<7->{
{1\over\pi}\int^\infty_{-\infty}d\xi\,{\sin^2\xi\over\xi^2}=1.
}
\label{psi2-l-int}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{График плотности вероятности}

График плотности вероятности для свободной частицы, вылетающей из щели в начальный момент времени:
$$
\begin{tikzpicture}[xscale=.2,yscale=4]
\draw[->] (-20,0) -- (0,0) -- (22,0) node[below right] {$x$};
\draw[->] (0,0) -- (0,1.2) node[right] {$|\psi(x,t)|^2$};
\only<1,6->{\draw[-,domain=-20:20,samples=200] plot function{sin(x)**2/x**2};}\only<1>{\draw[-] (15,1) node {$t=1.0$};}
\only<2,6->{\draw[-,domain=-20:20,samples=200] plot function{1.5*sin(x/1.5)**2/x**2};}\only<2>{\draw[-] (15,1) node {$t=1.5$};}
\only<3,6->{\draw[-,domain=-20:20,samples=200] plot function{2*sin(x/2)**2/x**2};}\only<3>{\draw[-] (15,1) node {$t=2.0$};}
\only<4,6->{\draw[-,domain=-20:20,samples=200] plot function{2.5*sin(x/2.5)**2/x**2};}\only<4>{\draw[-] (15,1) node {$t=2.5$};}
\only<5->{\draw[-,domain=-20:20,samples=200] plot function{3*sin(x/3)**2/x**2};}\only<5>{\draw[-] (15,1) node {$t=3.0$};}
\end{tikzpicture}
$$
\onslide<7->
Ширина щели определяет \emph{неопределенность координаты} $\Delta x\sim l$ частицы,
\onslide<8->
а ширина пика "--- \emph{неопределенность импульса} $\Delta p\sim mx_\text{1st min}/t$.
\onslide<9->
Имеем \emph{соотношение неопределенности Гайзенберга}
\eq$$
\Delta p\,\Delta x\sim\hbar.
\label{uncert-rel}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Свойства амплитуды перехода для свободной частицы}

\vspace{-.8\baselineskip}
{\bf Задача~10.} Покажите, что функцию $G(t,x)$ можно представить в виде
\eq$$
G(t,x)=\int^\infty_{-\infty}{d\omega\over2\pi}\int^\infty_{-\infty}{dk\over2\pi}\,
e^{ikx-i\omega t}2\pi\delta\left(\omega-{\hbar k^2\over2m}\right).
\label{G-ft}
$$
\pause

{\bf Задача~11.} Покажите, что функция $G(t,x)$ удовлетворяет уравнению
\eq$$
i\hbar{\d\over\d t}G(t,x)=-{\hbar^2\over2m}{\d^2\over\d x^2}G(t,x).
\label{G-eq}
$$
\pause

{\bf Задача~12.} Покажите, что для любой достаточно гладкой функции $\psi_0(x)$ функция
$$
\psi(t,x)=\int dy\,G(t,x-y)\psi_0(y)
$$
удовлетворяет \emph{уравнению Шрёдингера}
\eq$$
i\hbar{\d\psi\over\d t}=-{\hbar^2\over2m}{\d^2\psi\over\d x^2}.
\label{Schr-free}
$$%
\pause
Любое решение (\emph{волновая функция}) описывает амплитуду некоторого процесса распространения частицы. Простейшее решение из Задачи~10
$$
\psi(t,x)=e^{ikx-i\omega(k)t},
\qquad
\omega(k)={\hbar k^2\over2m},
$$
\pause
можно записать в виде $\psi(t,x)=e^{{i\over\hbar}S(t,x)}$, где $S(t,x)=px-Et$ "--- классическое действие свободной частицы. Поэтому мы можем отождествить
\eq$$
E=\hbar\omega,
\qquad
p=\hbar k.
\label{Ep-omegak-rel}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Уравнение Шрёдингера для частицы в поле}

Рассмотрим теперь частицу в поле $U(x)$. Пусть $\psi_0(x)$ "--- гладкая функция и
$$
\psi(t,x)=\int dy\,a_{0t}(y,x)\psi_0(y).
$$
\pause
Пусть $\Delta t$ "--- маленький промежуток времени. По нашим правилам
$$
\psi(t+\Delta t,x)=\int dy\,a_{t,t+\Delta t}(y,x)\psi(t,y).
$$
\pause
Вспомним, что
$$
a_{t,t+\Delta t}(y,x)=\sqrt{m\over2\pi i\hbar\,\Delta t}\,\exp\left({im(x-y)^2\over2\hbar\,\Delta t}-{i\over\hbar}\Delta t\,U(x)\right).
$$
Вычислим $\psi(t+\Delta t,x)-\psi(t,x)$, поделим на $\Delta t$ и возьмем предел $\Delta t\to0$.
\pause

{\bf Задача~13.} Покажите, что волновая функция $\psi(t,x)$ удовлетворяет \emph{уравнению Шрёдингера}:
$$
i\hbar{\d\psi\over\d t}=-{\hbar^2\over2m}{\d^2\psi\over\d x^2}+U(x)\psi.
$$
\textbf{Подсказка:} вам надо будет разложить $\psi(t,y)$ в ряд Тейлора вблизи точки $y=x$ до второго порядка.

\end{frame}

\end{document}
